基于穩(wěn)健估計不同權(quán)函數(shù)抗差效果分析

王剛，葉林，郝晨曦，郭力娜

(華北理工大學(xué) 礦業(yè)工程學(xué)院，河北 唐山 063210)

0 引言

隨著工業(yè)建筑與民用建筑建設(shè)，原有的地貌特征逐漸改變，大中型建筑的地基牢靠性變得尤為重要。變形監(jiān)測中水準(zhǔn)高程測量是現(xiàn)代工程中最常用的觀測方法[1]，但是觀測數(shù)據(jù)可能會存在著由于多種原因造成的粗差，例如儀器設(shè)備、人為使用操作不規(guī)范等，粗差被定義為比最大偶然誤差還要大的誤差，在含有粗差的情況下使用最小二乘法，那么粗差不可避免地就會被運用到計算中從而造成整體數(shù)據(jù)的失真[2]。生產(chǎn)實踐與科學(xué)試驗需要大量數(shù)據(jù)支持，而人為采集數(shù)據(jù)過程中又無可避免的出現(xiàn)概率為1%～10%的粗差[3]。如果沉降數(shù)據(jù)中含有這種粗差，即使數(shù)量很少，仍將嚴(yán)重歪曲參數(shù)的最小二乘估計，影響成果的質(zhì)量[4]。所以需要使用穩(wěn)健估計的方法，把數(shù)據(jù)中粗差去除。本項研究在最小二乘法達(dá)不到剔除粗差效果時引入穩(wěn)健估計的方法，并進(jìn)一步研究穩(wěn)健估計中不同權(quán)函數(shù)的抗差效果，從而得到最優(yōu)的穩(wěn)健估計權(quán)函數(shù)。

1 最小二乘法原理

根據(jù)觀測數(shù)據(jù)和平差函數(shù)模型，列出誤差方程式：

(1)

(2)

2 穩(wěn)健估計

2.1 穩(wěn)健估計思想

粗差就是比最大偶然誤差還要大，數(shù)據(jù)運用中使用了含粗差的數(shù)據(jù)，會嚴(yán)重扭曲參數(shù)，影響結(jié)果，對生產(chǎn)、科學(xué)、工程造成巨大損失。穩(wěn)健估計的基本思想就是在粗差不可避免地情況下，選擇合適的估計方法，使參數(shù)的估計值盡最大可能的避免粗差的影響，得到正常模式下的最佳估值?；驹瓌t就是充分利用觀測數(shù)據(jù)中的有效數(shù)據(jù)，對質(zhì)量精度不好的數(shù)據(jù)進(jìn)行限制，對錯誤的粗差數(shù)據(jù)排除。穩(wěn)健估計的目標(biāo)就是使估值受到粗差的影響達(dá)到最小，達(dá)到抗干擾效果。

2.2 穩(wěn)健估計回歸模型

穩(wěn)健估計有多種，分為M估計、R估計和L估計，本文實現(xiàn)只采用了穩(wěn)健估計法中的M估計的選權(quán)迭代法。

誤差方程式：

(3)

權(quán)函數(shù)矩陣：

P(V)=Diog[p1(v1)p2(v2)…pn(vn)]

(4)

估計準(zhǔn)則：

VTP(V)V=min

(5)

2.3 穩(wěn)健估計權(quán)函數(shù)及閾值介紹

實驗中采用了Huber、Fair、Cauchy、和Welsch，4種常用的穩(wěn)健估計方法的權(quán)函數(shù)進(jìn)行對比分析，這4種權(quán)函數(shù)閾值如下[5-7]。

(6)

(7)

(8)

(9)

在上述公式中，w(u)代表權(quán)函數(shù)，c為權(quán)函數(shù)權(quán)重閾值。穩(wěn)健估計達(dá)到目的的方法是剔除粗差或者達(dá)到減弱粗差的效果，想要達(dá)到這個效果與權(quán)重函數(shù)的選取及閾值的改變有著密切的聯(lián)系，權(quán)函數(shù)不同閾值的改變都會出現(xiàn)不同的穩(wěn)健估計效果。

3 計算實例

3.1 數(shù)據(jù)來源

該研究數(shù)據(jù)來源于重慶市草堂隧道中部斜井地表觀測點DBXDK+065-1在2017年8月份沉降監(jiān)測中的一組數(shù)據(jù)進(jìn)行沉降分析，數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 沉降觀測數(shù)據(jù)

3.2 實驗過程

首先用回歸分析方法分析數(shù)據(jù)中有沒有粗差的存在，圖1所示為數(shù)據(jù)粗差回歸分析。

圖1 數(shù)據(jù)粗差回歸分析圖

由圖1可以看出，原始數(shù)據(jù)中沒有出現(xiàn)粗差，這是進(jìn)行最小二乘估計與穩(wěn)健估計分析的前提，下一步開始用最小二乘方法與穩(wěn)健估計的思想對數(shù)據(jù)分析實驗。

圖2所示為無粗差時最小二乘法與穩(wěn)健估計回歸對比情況。

圖2 無粗差時最小二乘與穩(wěn)健估計回歸對比

由圖2可以看出，當(dāng)數(shù)據(jù)中不含粗差對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合時最小二乘方法與穩(wěn)健估計方法，2種方法擬合的直線基本上重合，2種方法對不含粗差的數(shù)據(jù)預(yù)測效果基本上相似；可以認(rèn)為2種估計方法的擬合效果基本上相同。

因為原始數(shù)據(jù)中不存在粗差，現(xiàn)在人為地加入粗差，在第3天的原始基礎(chǔ)上加入+0.5 mm，在第18天加入-0.5 mm，再進(jìn)行穩(wěn)健估計與最小二乘法的比較。

圖3所示為有粗差時最小二乘法與Huber權(quán)函數(shù)對比，圖4所示為有粗差時最小二乘法與Fair函數(shù)對比，圖5所示為有粗差時最小二乘法與Cauchy函數(shù)對比，圖6有粗差時最小二乘法與Welsch函數(shù)對比。

圖3 有粗差時最小二乘與Huber函數(shù)對比

圖4 有粗差時最小二乘與Fair函數(shù)對比

圖5 有粗差時最小二乘與Cauchy函數(shù)對比

圖6 有粗差時最小二乘與Welsch函數(shù)比較

由圖3可以看出，當(dāng)數(shù)據(jù)中含粗差時，最小二乘估計的方法線性擬合受到明顯影響，最小二乘的擬合直線已經(jīng)嚴(yán)重偏離數(shù)據(jù)點的平均分布位置。由圖4～圖6可以看出，穩(wěn)健估計的權(quán)函數(shù)方法線性擬合受粗差影響程度較小，說明了穩(wěn)健估計相比于最小二乘具有明顯的抗差能力。接下來分析比較4種權(quán)函數(shù)對于含粗差數(shù)據(jù)的權(quán)重處理情況。

圖7所示為Huber函數(shù)權(quán)重向量，圖8所示為Fair函數(shù)權(quán)重向量，圖9所示為Cauchy函數(shù)權(quán)重向量，圖10所示為Welsch函數(shù)權(quán)重向量。

圖7 Huber函數(shù)權(quán)重向量

圖8 Fair函數(shù)權(quán)重向量

圖9 Cauchy函數(shù)權(quán)重向量

圖10 Welsch函數(shù)權(quán)重向量

由圖7～圖10可以得出，4種穩(wěn)健估計的權(quán)函數(shù)在處理含粗差數(shù)據(jù)時，達(dá)到的效果不同，運用相應(yīng)的調(diào)和系數(shù)對同一組數(shù)據(jù)進(jìn)行降權(quán)處理。其中人為加入2次粗差不用權(quán)函數(shù)都進(jìn)行了降權(quán)處理，充分證明了穩(wěn)健估計相比于最小二乘方法擁有優(yōu)秀的抗差能力；但是其中也出現(xiàn)了不足，這4種權(quán)函數(shù)不但對粗差進(jìn)行了降權(quán)處理，同時也對其他個別的數(shù)據(jù)進(jìn)行了降權(quán)處理，導(dǎo)致正常的數(shù)據(jù)出現(xiàn)了偏差，也將影響穩(wěn)健估計方法的準(zhǔn)確性。通過不同的穩(wěn)健估計方法對數(shù)據(jù)處理的權(quán)重不同可以得出，Huber權(quán)重函數(shù)效果比其他3種權(quán)函數(shù)效果好，但也會出現(xiàn)對正確數(shù)據(jù)降權(quán)的操作。Fair函數(shù)的穩(wěn)健估計效果最差，雖然對粗差進(jìn)行了降權(quán)處理，同時也對許多正確的數(shù)據(jù)進(jìn)行降權(quán)，這會導(dǎo)致整個數(shù)據(jù)估計的失真。Welsch函數(shù)相比于Cauchy函數(shù)效果好。通過實驗分析可以得出Huber權(quán)函數(shù)能夠達(dá)到消除粗差的最佳效果。

4 結(jié)論

(1)通過對沉降數(shù)據(jù)的實驗研究，當(dāng)數(shù)據(jù)中不含粗差時，穩(wěn)健估計的方法和最小二乘法達(dá)到的擬合效果基本相同；但當(dāng)數(shù)據(jù)中含有粗差時，穩(wěn)健估計相比于最小二乘法優(yōu)勢比較明顯，擬合的效果較好，能夠達(dá)到粗差剔除作用。

(2)由回歸直線和函數(shù)權(quán)重向量圖綜合結(jié)果可知，4種穩(wěn)健估計函數(shù)中Huber函數(shù)對粗差的剔除最好，能夠達(dá)到最好的抗差效果。