周期調(diào)制相互作用對Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou模型熱化進程的影響

李茹，馬麗娟，張振俊

(1. 南京高等職業(yè)技術學校，江蘇 南京 210019；2. 河海大學 理學院，江蘇 南京 210098)

0 引言

能量均分定理是聯(lián)系系統(tǒng)溫度及其平均能量的基本公式，其基本內(nèi)容是：處在溫度為T的平衡態(tài)的系統(tǒng)中，分子熱運動的動能平均分配到每個分子的每個自由度上，每個分子的每個自由度的平均動能都是kT/2，其中k是玻爾茲曼常數(shù)。在本質(zhì)上，能量均分定理是關于熱運動的統(tǒng)計規(guī)律，是對大量分子的統(tǒng)計平均所得到的結果，可以用統(tǒng)計物理進行嚴格證明。其實，能量均分的來源一直是很多物理學家想要解決的問題。由N個原子組成的一維單原子鏈，其振動模為N個格波，這N個格波是相互獨立的。因此，對于理想的線性原子鏈，如果初始時能量集中在某些格波上，不管經(jīng)過多長時間的演化，能量是不會向其他模傳輸?shù)?，也就是不可能達到每個振動模上能量均分的狀態(tài)。但是，如果在線性原子鏈中考慮非線性作用，是否可以使系統(tǒng)達到能量均分狀態(tài)？如果可以，就可以解釋能量均分的來源這一統(tǒng)計物理學中至關重要的問題?；诖丝紤]，并且依賴于計算機性能的快速發(fā)展，1950年，F(xiàn)ermi與Pasta, Ulam, Tsingou等人開展了第1個數(shù)值理論研究。他們研究了一維諧振子鏈耦合上3次方(α-FPUT模型)的勢能相互作用或者4次方(β-FPUT模型)的勢能相互作用后系統(tǒng)的能量傳輸性質(zhì)。他們期待系統(tǒng)能夠達到熱化狀態(tài)，也就是初始的影響將消失，每個模上的能量是相等的。但是，令他們意想不到的是，系統(tǒng)出現(xiàn)了能量向初始狀態(tài)回流的現(xiàn)象，稱之為“FPUT回流”現(xiàn)象。這一現(xiàn)象激發(fā)了廣大學者近70年的研究，推動了非線性科學、混沌理論等的發(fā)展。

Zabusky等人基于對Korteweg-de Vries方程的研究發(fā)現(xiàn)，在連續(xù)極限下，F(xiàn)PUT模型可以約化到Korteweg-de Vries方程[1]。該方程是一個可積方程，有孤子解。穩(wěn)定孤波(孤子)在普通的初始條件下產(chǎn)生，通過介質(zhì)傳播，和其它孤子相互作用，不會改變自身性質(zhì)。這給了FPUT模型的回流現(xiàn)象一個較合理的解釋。1982年，F(xiàn)ucito等人提出了亞穩(wěn)態(tài)觀點[2]。他們認為FPUT在能量傳輸?shù)倪^程中出現(xiàn)了亞穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象,即從某個初始條件出發(fā)，經(jīng)過較短的時間，系統(tǒng)會達到一個相對穩(wěn)定的狀態(tài)。處在這個狀態(tài)時，能量在一些模之間來回傳遞，也就是Fermi等人觀察到的“FPUT回流”現(xiàn)象。然而，這個狀態(tài)只是暫時的，長時間的動力學演化最終會使亞穩(wěn)態(tài)向能量均分的狀態(tài)轉變。近些年來，可積的Toda模型也被用來與FPUT模型的動力學行為作比較[3-5]。研究發(fā)現(xiàn)，在弱非線性作用下，F(xiàn)PUT模型的動力學行為在較短的時間與Toda模型非常的相似[5]，這可以用KdV理論解釋。演化時間足夠長之后，F(xiàn)PUT模型的運動軌道就會與Toda發(fā)生變化，亞穩(wěn)態(tài)會破壞，F(xiàn)PUT模型最終會達到均分狀態(tài)。

還有一種想法是從能量閾值的角度對FPUT模型的動力學行為作出解釋。根據(jù)混沌理論，一個有若干自由度的非線性系統(tǒng)的運動可以顯示出混沌行為，可以用常規(guī)的統(tǒng)計力學來描述。Izraielev等人猜測該系統(tǒng)存在一個能量閾值[6]，超過該臨界值，Kolmogorov-Arnold-Moser軌道將被破壞，系統(tǒng)將處于混沌狀態(tài)，能量可以傳遞到其他模上并最終達到熱化狀態(tài)。在此基礎上，他們給出了能量傳輸?shù)臋C制。非線性可以調(diào)制本征模的頻率，非線性越強，對頻率的調(diào)制作用越大。當非線性強度超過某個臨界值后，會造成不同本征模之間的頻率部分重疊，從而造成不同模之間的共振現(xiàn)象，能量就可以通過這種共振現(xiàn)象從初始激發(fā)的模傳到其他模上，最終達到熱化狀態(tài)。在強非線性作用下，也就是能量超過閾值的FPUT系統(tǒng)的熱化現(xiàn)象已經(jīng)被一些數(shù)值實驗所驗證[7-9]。但是，在任意小的非線性作用下，F(xiàn)PUT系統(tǒng)能否達到熱化狀態(tài)依然是一個充滿了爭議的問題。近些年來，對這一問題的一些嘗試也已經(jīng)開始[10-13]?；诠舱癫?波相互作用理論，Onorato等人認為，對于任意小的非線性作用，α-FPUT模型[10]和β-FPUT模型[11]可以通過非平庸的共振傳遞能量，并最終達到熱化狀態(tài)。如果非平庸的n波共振存在，那么能量均分時間teq與系統(tǒng)能量E之間應滿足如下的標度關系：。對于FPUT短鏈，他們通過推導發(fā)現(xiàn)，最低階的非平庸共振是六波共振?；诹ü舱瘢麄儚睦碚撋系玫搅四芰烤謺r間teq與系統(tǒng)能量E之間應滿足如下的標度關系：。該標度關系已經(jīng)被他們的數(shù)值結果所證實[10，11]。

以往對FPUT模型熱化性質(zhì)的研究都是基于均勻相互作用的情況，該項目將研究弱非線性作用下，周期調(diào)制的相互作用對FPUT模型熱化進程的影響。通過該研究，可以掌握周期調(diào)制的相互作用對該系統(tǒng)的能量傳輸性質(zhì)的影響，從而加深對FPUT系統(tǒng)能量傳輸機制的理解，具有一定的理論價值。

1 研究的模型和數(shù)值算法

研究的模型的哈密頓量如下：

(1)

該項研究采用SABA2C偶對算法[14]研究系統(tǒng)的動力學性質(zhì)。下面對該算法做簡單的介紹?？紤]一個由N個粒子組成的哈密頓系統(tǒng)：

H(q1,q2,…,qN,p1,p2,…,pN)=h=const

(2)

該系統(tǒng)2N維相空間的運動軌道可以由如下矢量表示：

(3)

其中xl(t)=ql(t),xl+N(t)=pl(t)。

(4)

哈密頓運動方程即可以用如下形式來表示：

(5)

LH為微分算符，它的定義為：

(6)

(7)

將系統(tǒng)的哈密頓量表示為：

(8)

(9)

該項研究取N=32。初始時刻，將能量給予頻率最低的本征模，固定α=0.33，計算的步長取Δt=0.1。這個步長保證在我們研究的時間尺度內(nèi)，系統(tǒng)的相對能量誤差小于10-5。進一步減小步長，對結果沒有影響。

2 數(shù)值結果

圖1 不同時刻與k/N的關系

圖隨時間變化的結果

圖3 min(Δωk)的值隨k/N變化的結果

這是由于周期相互作用增加了與基頻模ω1發(fā)生共振的本征模的數(shù)量，從而加快了熱化進程。為了驗證這一猜測，對頻譜進行系統(tǒng)的分析。該項研究計算了jω1與ωk之間的差值，其中j的取值從2到N。將與ωk差值最小的結果定義為min(Δωk)，這個差值越小，說明越容易與基頻模共振。圖3所示為不同調(diào)制強度下，min(Δωk)的值隨k/N變化的結果。圖3(a)給出了δ=0的結果。從圖3(a)中可以看到，頻率較低的一些模極易與基頻模共振，這也是為何開始時能量可以向這些低頻模傳輸?shù)脑?。圖3(b)給出了δ=0.1的結果。從圖3(b)中可以看到，除了頻率較低的一些模容易與基頻模共振外，頻率較高的一些模也容易與基頻模共振。如果以10-2劃一條參考線，就會發(fā)現(xiàn)δ=0.1時容易與基頻模共振的模數(shù)要明顯大于δ=0。這就造成了周期調(diào)制可以加快熱化的進程。另外，從圖3(b)中還可以看到，k=17、18、26、31這幾個模更容易與基頻模共振。對照圖1(b)，發(fā)現(xiàn)這幾個模上的能量傳遞確實比其他模更快。這也證明了能量可以通過與基頻模的共振傳遞這一猜測的正確性。

圖4 δ取不同值時的線性本征頻譜

下面解釋另外一個問題，為何增加周期調(diào)制的強度可以加快熱化的進程。在非線性強度不變的情況下，相鄰本征模的頻率之間的差別如果變小，共振就容易發(fā)生，且差別越小，共振越容易發(fā)生，熱化也就越容易達到。為此，計算了δ取不同值時的線性本征頻譜。圖4所示為δ取不同值時的ωk的值隨k變化的結果。從圖4中可以看到，隨著δ值的增大，相鄰模的頻率間的差別在減小，共振變得更加容易發(fā)生，從而造成了熱化進程的加快。

最后，本文研究了不同強度的周期調(diào)制對熱化時間teq與系統(tǒng)能量E之間標度性質(zhì)的影響。為了描述熱化性質(zhì)，定義了如下物理量[26]：

(10)

如果系統(tǒng)達到了熱化狀態(tài)，這個物理量應該等于1。圖5所示為δ=0.5時，取不同的能量E時，ξ(t)隨時間變化的結果。圖5(a)中，從左至右分別是E=0.06, 0.04, 0.03, 0.025, 0.02和0.0185時，ξ(t)隨時間變化的結果。從圖5(a)可以看到，在研究的能量范圍內(nèi)，ξ(t)的值都從0逐漸趨近于1，也就說在研究的能量范圍內(nèi)，系統(tǒng)最終都可以達到能量均分狀態(tài)。另外，隨著能量的降低，熱化所需要的時間也隨之增加。這是由于隨著系統(tǒng)能量的降低，非線性的強度也會隨之降低，通過共振傳輸能量的速度會變慢，最終導致熱化所需要的時間增加。圖5(b)是將不同能量的曲線通過重新標度移到一起的結果。從圖5(b)中可以看到，只要ξ(t)大于0.4，曲線基本上是重疊在一起的。也就是說，只要取ξ(t)大于0.4，熱化時間teq與系統(tǒng)能量之間的標度關系與ξ(t)的取值無關。該項研究取ξ(t)=0.5所對應的時刻為teq。下面研究熱化時間teq與系統(tǒng)能量之間的標度關系。圖6所示為δ取不同值時熱化時間teq與系統(tǒng)能量E之間的關系。從圖6中可以看到，對于不同的δ，在一定的能量范圍內(nèi)，teq與E均滿足如下的冪律關系：teq～E-4.0。這個冪律關系與文獻[10,11]中得到的結果相同。說明在周期調(diào)制的FPUT系統(tǒng)中，非平庸的六波共振依然存在。但是，隨著能量的進一步減小，這個標度關系就不再成立了。這個現(xiàn)象在文獻[10，11]中并沒有看到，說明在更小的非線性作用下，周期調(diào)制的FPUT模型中，非平庸的六波共振不再起作用。

圖5 δ=0.5時，取不同的能量E時ξ(t)隨時間的變化

圖6 δ取不同值時熱化時間teq與系統(tǒng)能量E之間的關系

3 結論

(1)周期調(diào)制相互作用會加速系統(tǒng)的熱化進程。通過對頻譜的分析，發(fā)現(xiàn)這是由于周期相互作用增加了與基頻模發(fā)生共振的本征模的數(shù)量，從而加快了熱化進程。與基頻模的共振也造成了這些模上的能量傳遞要比其他模的快。加大周期調(diào)制的強度，熱化的進程會進一步加快。這是由于加大周期作用的強度，會造成相鄰本征模的頻率接近，使得共振更加容易發(fā)生。

(2)在一定的能量范圍內(nèi)，teq與E滿足teq～E-4.0的標度關系。說明在周期調(diào)制的FPUT系統(tǒng)中，非平庸的六波共振依然存在。但是，隨著能量的進一步減小，該標度關系不再成立。

(3)周期調(diào)制相互作用會對FPUT鏈的熱化產(chǎn)生重要的影響，這包含著豐富的物理意義，了解相互作用對系統(tǒng)熱化的影響對研究更復雜的或是真實的系統(tǒng)的熱化非常必要。這個方向還有很多問題是非常值得研究的，比如無序相互作用是否會加快FPUT系統(tǒng)的熱化，在其他模型中，如Toda 模型、φ4模型等，通過調(diào)制相互作用，會對熱化造成怎樣的影響。這些問題有待進一步研究。