流體力學(xué)與其他力學(xué)課程交叉教學(xué)方法的探討1)

胡開鑫 吳 丹

(寧波大學(xué)機械工程與力學(xué)學(xué)院，浙江寧波315211)

流體力學(xué)是研究流體在靜止和運動狀態(tài)下的運動規(guī)律及流體與固壁相互作用力的一門學(xué)科，在機械、能源、汽車、化工、航空、航天等諸多領(lǐng)域有著極廣泛的應(yīng)用[1]。該課程是力學(xué)、機械等專業(yè)本科生的專業(yè)基礎(chǔ)課程。由于其涉及數(shù)學(xué)、物理、力學(xué)等內(nèi)容，概念多，公式推導(dǎo)繁瑣，理論性強，實際應(yīng)用廣，對學(xué)生綜合利用知識的要求較高，是普遍公認的教師難教、學(xué)生難學(xué)的課程之一[2]。

筆者從2016 年起承擔(dān)寧波大學(xué)機械學(xué)院力學(xué)、機械和車輛三個專業(yè)的本科生流體力學(xué)課程的教學(xué)工作。這門課程是學(xué)生在本科期間唯一的一門流體課程。如何在有限的教學(xué)時間內(nèi)深入淺出地講解新理論，加深學(xué)生的理解，提高學(xué)生的積極性和主動性以增強教學(xué)效果，為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)并培養(yǎng)研究能力，是當(dāng)前流體力學(xué)教學(xué)工作者急需要考慮的問題。

課堂教學(xué)使我們意識到：學(xué)生在學(xué)習(xí)流體力學(xué)基礎(chǔ)理論時感到困難往往是由于他們對以往學(xué)過的理論力學(xué)、材料力學(xué)等課程的基礎(chǔ)知識和概念已經(jīng)生疏。如果在講授流體力學(xué)知識的同時，將其他力學(xué)課程的相關(guān)內(nèi)容進行復(fù)習(xí)和比較，可以“溫故而知新”。事實上，各門力學(xué)學(xué)科之間本身就具有很強的內(nèi)在聯(lián)系性，著名物理學(xué)家、量子理論創(chuàng)始人普朗克說：“科學(xué)是內(nèi)在的整體。它被分解為單獨的部分不是取決于事物的本質(zhì)，而是取決于人類認識能力的局限性。實際上存在著由物理、化學(xué)，通過生物學(xué)和人類學(xué)到社會科學(xué)的連續(xù)的鏈條?！睂τ诹W(xué)的各門分支學(xué)科而言，從概念、方法到公式、定理都具有巨大的相通性，完全可以在教學(xué)中融合交叉[3]。

在研究生面試和指導(dǎo)研究生科研的過程中，我們發(fā)現(xiàn)多數(shù)力學(xué)、機械專業(yè)的學(xué)生盡管在本科階段學(xué)習(xí)過多門力學(xué)課程，但一兩年后對這些學(xué)科只依稀記得幾個專業(yè)名詞，而將基本概念、方法幾乎全部遺忘。造成這種現(xiàn)象的一個重要原因就是學(xué)生沒有在各門力學(xué)學(xué)科的知識點之間建立起足夠的聯(lián)系，未能構(gòu)建有效知識體系，從而造成迅速遺忘。如果在教學(xué)過程中讓學(xué)生有機會對各門力學(xué)進行對比、分析，將會十分有助于知識的融會貫通，形成長期記憶。

當(dāng)前流體力學(xué)與其他學(xué)科的交叉更多的是強調(diào)在科研方面，在教學(xué)方面的交叉研究相對較少。目前已知的僅有大連理工大學(xué)鄒麗等[4]將流體力學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)物理知識類比進行交叉教學(xué)的研究。筆者認為，流體力學(xué)與其他力學(xué)的交叉教學(xué)不僅可以觸類旁通，而且有助于充分利用各門力學(xué)課程知識間的聯(lián)系，使得學(xué)生獲得對力學(xué)學(xué)科的整體視野，達到“一以貫之”的效果。以下是將流體力學(xué)與理論力學(xué)、材料力學(xué)、電動力學(xué)進行交叉教學(xué)的案例。

1 交叉教學(xué)的案例

1.1 流體力學(xué)和理論力學(xué)的交叉教學(xué)

流體力學(xué)概念和知識繁復(fù)，初學(xué)者往往會在各種公式推導(dǎo)的細節(jié)中花費大量精力，而缺乏對學(xué)科整體內(nèi)容的把握。為了避免這種“只見樹木，不見森林”的不良教學(xué)效果，我們嘗試了以理論力學(xué)為出發(fā)點來導(dǎo)出流體力學(xué)知識。

理論力學(xué)是包括流體力學(xué)在內(nèi)的其他各門力學(xué)的基礎(chǔ)，兩者的理論體系也存在諸多相似性(見表1)。在介紹流體力學(xué)基礎(chǔ)理論時，我們參照理論力學(xué)，將主要內(nèi)容分成：運動學(xué)、靜力學(xué)和動力學(xué)三部分；在介紹流體運動學(xué)時，又將內(nèi)容分成質(zhì)點運動和微團運動兩部分，并分別與理論力學(xué)中的點運動和剛體運動兩部分對應(yīng)；在介紹動力學(xué)時，將兩門學(xué)科的方程都總結(jié)為質(zhì)量、動量、動量矩和能量的守恒定律，并說明在理論力學(xué)中質(zhì)量守恒已隱含(牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》提出的牛頓第二定律原始公式是F= d(mv)/dt，只有在質(zhì)量為常數(shù)的條件下才能簡化為理論力學(xué)中的常用形式：F=ma，故質(zhì)量守恒已經(jīng)隱含)，因此不需要單獨寫出。

筆者還介紹了其他流體力學(xué)知識和理論力學(xué)中知識點的關(guān)系。比如表1 在具體介紹流體質(zhì)點運動學(xué)時，將“質(zhì)點”、“跡線”、“拉格朗日描述”、“物質(zhì)導(dǎo)數(shù)”等基本概念從理論力學(xué)出發(fā)而導(dǎo)出，可以使得這些流體力學(xué)的重要概念從理論力學(xué)中找到源頭，建立起知識的連續(xù)性。從課后作業(yè)中我們發(fā)現(xiàn)，這樣的教學(xué)設(shè)計明顯提高了學(xué)生對基本概念的接受程度。

表1 理論力學(xué)與流體力學(xué)理論體系的對比

赫姆霍茲速度分解定理是流體微團運動學(xué)中最重要的知識

式(1)表示：流體微團運動可以分解為平移、旋轉(zhuǎn)和變形三部分。其中涉及矢量分析、矩陣分解、實對稱矩陣和反對稱矩陣的數(shù)學(xué)理論及物理意義。理解數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程中每一部分的物理意義是該部分教學(xué)的難點。在這部分內(nèi)容的教學(xué)時，我們首先將流體微團運動學(xué)與理論力學(xué)中的剛體運動進行比較，使學(xué)生意識到平移和旋轉(zhuǎn)是兩者共同具有的部分，兩者差別在于前者只是比后者多一個變形而已。而對于變形(線變形和角變形)的分析，學(xué)生已在材料力學(xué)學(xué)過，就不會感到太困難。這樣在數(shù)學(xué)推導(dǎo)中，學(xué)生就會很容易明白參考點速度v(r)對應(yīng)平移，反對稱矩陣對應(yīng)剛性旋轉(zhuǎn)，而對稱矩陣對應(yīng)流體瞬間的變形。

1.2 流體力學(xué)和材料力學(xué)的交叉教學(xué)

材料力學(xué)和流體力學(xué)都以連續(xù)介質(zhì)假設(shè)作為理論基礎(chǔ)。在原蘇聯(lián)力學(xué)教學(xué)體系中，連續(xù)介質(zhì)力學(xué)曾作為單獨的一門課程[5]，但目前國內(nèi)普遍將材料力學(xué)和流體力學(xué)分開教學(xué)。其實，將兩者的基礎(chǔ)部分特別是變形、本構(gòu)理論來對比、交叉教學(xué)，不僅可以提升教學(xué)進度，而且可以加深學(xué)生對流體和固體的理解。

在流體微團運動學(xué)理論中，應(yīng)變率張量的內(nèi)容公式較多，初學(xué)者往往記不住各部分公式細節(jié)，更難以理解數(shù)學(xué)公式背后的物理意義。通常，力學(xué)和機械等專業(yè)的學(xué)生在學(xué)習(xí)流體力學(xué)之前都已上過材料力學(xué)的課程，對應(yīng)力、應(yīng)變的概念已有了一定程度的了解。我們在這部分教學(xué)過程中先讓學(xué)生復(fù)習(xí)材料力學(xué)中應(yīng)變理論的內(nèi)容，然后讓多名學(xué)生到黑板前推導(dǎo)應(yīng)變矩陣并解釋各部分的物理意義。由于有了材料力學(xué)的基礎(chǔ)，多數(shù)學(xué)生在一定的提示下可以完成該部分的推導(dǎo)。然后通過設(shè)物質(zhì)變形為無窮小而對時間求導(dǎo)，便可以由應(yīng)變得到應(yīng)變率。最后還比較了應(yīng)變張量和應(yīng)變率張量的數(shù)學(xué)性質(zhì)：兩者同為實對稱矩陣，因此都具有主特征值、主軸、不變量等性質(zhì)。

流體力學(xué)和材料力學(xué)都會涉及物質(zhì)的本構(gòu)方程。牛頓內(nèi)摩擦定律和胡克定律分別是流體和固體最簡單的本構(gòu)方程。我們在介紹流體黏性時讓學(xué)生從多個方面比較了兩者的異同(見表2)，并向?qū)W生說明了流體與固體最重要的區(qū)別：在外加一定應(yīng)力下，固體變形有限，而流體可以持續(xù)變形。流體和固體的本構(gòu)對比還可以解決“先有應(yīng)力還是先有應(yīng)變”的爭論：對于固體本構(gòu)理論，通常是應(yīng)力、應(yīng)變同時存在；而對于流體，可以先有應(yīng)力(只要有應(yīng)變率)，后有應(yīng)變。通過上述對比交叉教學(xué)，學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)積極性有明顯提升。

這種“在復(fù)習(xí)材料力學(xué)基礎(chǔ)上導(dǎo)出流體力學(xué)知識”的教學(xué)設(shè)計在教學(xué)方法上改變了以往老師講、學(xué)生聽的單一模式，讓學(xué)生參與到發(fā)現(xiàn)知識的過程中，最大程度發(fā)揮了學(xué)生自主性；在知識內(nèi)容上將兩門課程的知識有機結(jié)合起來，使得學(xué)生在復(fù)習(xí)原有知識的同時，輕松掌握了應(yīng)變率張量推導(dǎo)的來龍去脈及各種數(shù)學(xué)性質(zhì)。

表2 胡克定律與牛頓內(nèi)摩擦定律的對比

1.3 流體力學(xué)和電動力學(xué)的交叉教學(xué)

流體力學(xué)和電動力學(xué)具有很深的淵源。在歷史上，流體力學(xué)的發(fā)展早于電動力學(xué)。牛頓在1687年出版的名著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》中已建立了前者的基本概念和理論[6]。1847年，湯姆遜意識到了電磁現(xiàn)象和流體運動的相似性[7]。而后受湯姆遜工作的啟發(fā)，麥克斯韋將流體力學(xué)中通量、環(huán)流、散度和旋度等基本概念應(yīng)用到電磁學(xué)中，在1873年發(fā)表的《電磁學(xué)專論》中正式提出了電動力學(xué)的基本方程[8]。

盡管力學(xué)、機械專業(yè)一般不設(shè)置專門的電動力學(xué)課程，但是學(xué)生大都在大學(xué)物理的課程中學(xué)習(xí)過電磁場和麥克斯韋方程組的基本知識。與歷史上兩門學(xué)科發(fā)展的順序相反，理工科學(xué)生的大學(xué)物理課程一般放在大一，而流體力學(xué)課程則在大三，因此，了解麥克斯韋方程組的時間反而早于學(xué)習(xí)流體力學(xué)。介紹麥克斯韋建立電動力學(xué)理論的過程，不僅可以為學(xué)生展示流體力學(xué)和電動力學(xué)的歷史淵源以及基本概念的相似性，還將十分有助于學(xué)生對兩門學(xué)科的深化理解，并培養(yǎng)類比、聯(lián)想等學(xué)習(xí)和研究能力。

在講授流體速度場的理論時，旋度和散度是初學(xué)者感覺頗有難度的知識。它們不僅涉及標量、矢量、點乘、叉乘、梯度算子等數(shù)學(xué)概念，還具有深刻的物理意義。如：不可壓縮流體的速度場散度為0，而流體速度場的旋度反映流體微團的剛性旋轉(zhuǎn)。為了使得學(xué)生更好地理解這部分內(nèi)容，筆者給學(xué)生復(fù)習(xí)了電動力學(xué)中的麥克斯韋方程組，并介紹了該方程組的發(fā)現(xiàn)歷史：麥克斯韋精通流體力學(xué)，他將法拉第提出的“磁力線”與流體速度場進行類比，還受流體中的渦啟發(fā)而提出“渦旋電場”[9]，從而建立了以他名字命名的方程組。該方程組被譽為人類歷史上最優(yōu)美的方程之一，而其基本概念都源自流體力學(xué)。在教學(xué)過程中，通過對比電流激發(fā)的磁場與渦的流線(如圖1)，以及磁場散度方程?·B=0 與不可壓縮流體的連續(xù)性方程?·u=0，可以使得學(xué)生對電磁場與流場的相似性有進一步的了解。

圖1 電流激發(fā)的磁場與不可壓縮無旋運動的點渦流場的對比

圖2 機翼的升力與運動電荷受到洛倫茲力對比

2 教學(xué)效果

交叉教學(xué)取得了不錯的教學(xué)效果。2018年，在筆者指導(dǎo)的本科生中有1 人以第一作者在流體力學(xué)頂級期刊Physics of Fluids上發(fā)表科研論文，另有4 人次在國際和國內(nèi)的流體力學(xué)會議上做了口頭報告。在全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽中，獲得的全國獎項也從2017年的16項增加到2019 年的33項。這顯示了學(xué)生不僅對流體力學(xué)的學(xué)習(xí)更加積極主動，對其他力學(xué)課程知識的掌握程度也得到了很好的提升。

3 結(jié)語

流體力學(xué)和其他力學(xué)交叉教學(xué)的方法得到了廣大學(xué)生的好評。2019年，筆者作為該課程的主講教師被評選為學(xué)院“最受學(xué)生喜愛的青年教師”。這既是對本課程的肯定，也為后續(xù)的教學(xué)方法探索和改進積累了寶貴的經(jīng)驗。希望交叉教學(xué)方法能為其他講授此課程的教師提供一定的幫助。