理論力學(xué)教具動(dòng)手制作系列(一)小熊爬繩
——摩擦自鎖與解鎖

高云峰

(清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京100084)

在理論力學(xué)教學(xué)中，摩擦角和摩擦自鎖是重要的概念，而多點(diǎn)摩擦問題又是其中的難點(diǎn)。

為了增加學(xué)生對摩擦問題的興趣，也給學(xué)生提供一個(gè)理解摩擦問題的新視角，我特意設(shè)計(jì)制作了一個(gè)簡單巧妙的裝置，同學(xué)們看過之后無不感到摩擦現(xiàn)象的神奇，并由此產(chǎn)生了濃厚的興趣。

1 現(xiàn)象演示

首先嘗試用細(xì)鐵絲做一個(gè)裝置，如圖1所示(可以借助鉛筆把鐵絲繞出小圓圈)，注意不是圖2 的樣子。圖1和圖2兩者的區(qū)別是：圖1中小圓圈與梯型垂直；圖2 中小圓圈與梯形平行。這個(gè)區(qū)別在后面原理解釋中會用到。

圖1 正確的做法

圖2 不正確的做法

然后把細(xì)繩如圖3 穿過裝置上的圓孔，掛在釘子上(也可以用手握鉛筆代替釘子)，再把繩子兩端打結(jié)，手抓住繩結(jié)且左右來回?cái)[動(dòng)，同時(shí)讓繩子保持一定的張力，這時(shí)你會看到鐵絲慢慢向上爬升！第一次見到這個(gè)現(xiàn)象的學(xué)生會很驚訝：鐵絲是怎么爬上去的？裝置如此簡單，卻不容易理解。

圖3 繩子與裝置的連接方式

2 原理說明

為了簡單直觀地說明其中的道理，我們來看看下面更簡單的幾次試驗(yàn)：豎桿垂直插在底盤上，看看圓筒能否停留在圖4 的豎桿上？注意圓筒內(nèi)徑比桿子外徑要大。

第一次把較長的圓筒套在豎桿上，一松手圓筒會落下。這是很自然的結(jié)果，因?yàn)閳A筒內(nèi)徑明顯比豎桿外徑大。

圖4 幾次參數(shù)不同的試驗(yàn)

第二次做一些改變，把較短的圓筒套在豎桿上，一松手圓筒仍會落下。

第三次把配重加在長圓筒上，改變重心位置看看，但一松手還是落下。

當(dāng)然學(xué)生可能會懷疑：長短圓筒內(nèi)徑相同，都比桿子粗，能成功嗎？這時(shí)可以提醒學(xué)生：歷史上很多科學(xué)家做了大量的科學(xué)探究試驗(yàn)，經(jīng)歷過無數(shù)次的失敗后，才從中找出或發(fā)現(xiàn)了有價(jià)值的結(jié)論來為人類造福。所以科學(xué)探究試驗(yàn)，不能保證一定成功，但是每一次失敗都排除了一種可能性，從而使后面的試驗(yàn)更接近成功。

例如，愛迪生成功發(fā)明電燈之前做了兩千多次試驗(yàn)，有個(gè)年輕記者曾經(jīng)問他為什么遭遇這么多次失?。繍鄣仙卮穑骸拔乙淮味紱]有失敗，我發(fā)明了電燈。這只是一段經(jīng)歷了兩千步的歷程?！?/p>

第四次把配重加在短圓筒上，松手后，發(fā)現(xiàn)圓筒真的可以停留在豎桿上了！

前三次試驗(yàn)圓筒都落下，而第四次沒有，有理由認(rèn)為第四次試驗(yàn)是“與眾不同”的。那第四次試驗(yàn)與前幾次有什么明顯不同的地方呢？

通過觀察可以很快看出：第四次試驗(yàn)中裝置的傾斜角度是最大的！所以可以直觀地歸納出這樣一個(gè)結(jié)論：摩擦問題中，物體傾斜角度越大越容易被卡住。這個(gè)結(jié)論的合理性后面會分析，現(xiàn)在利用這一結(jié)論，可以很容易解釋前面試驗(yàn)中鐵絲會向上升的現(xiàn)象。

設(shè)開始時(shí)裝置水平，當(dāng)手掌抓住繩子逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，左邊繩子AB段下降，右邊繩子CD段上升(圖 5)。

圖5 逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的狀況

由于鐵絲與繩子之間有摩擦，裝置跟隨繩子作逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)(A點(diǎn)下降D點(diǎn)上升，此階段裝置中心基本不動(dòng))。當(dāng)裝置轉(zhuǎn)動(dòng)至A、B兩圓環(huán)接近垂直位置時(shí)，等價(jià)于左邊AB繩子穿過一個(gè)比較細(xì)的圓筒中，右邊CD繩子穿過一個(gè)比較粗的圓筒中。注意，只有圓環(huán)與梯形垂直時(shí)，才有這種等價(jià)關(guān)系。如果圓環(huán)與梯形平行，就不能等價(jià)于圓筒了。

根據(jù)前面的結(jié)論：物體傾斜角度越大越容易被卡住，CD繩子與鐵絲容易卡住，AB繩子不容易卡住。所以CD段繩子上升帶動(dòng)鐵絲上升，而AB段繩子下降不妨礙鐵絲上升。

當(dāng)手掌抓住繩子順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，情況正好相反，AB段繩子與鐵絲卡住了，AB段繩子的上升帶著鐵絲上升。當(dāng)然，如果鐵絲彎的形狀不合適，裝置是不會上升的；如果繩子沒有適當(dāng)繃緊，裝置也不會上升。

3 結(jié)合習(xí)題進(jìn)一步分析

前面是定性的分析，下面結(jié)合一道理論力學(xué)習(xí)題，來做定量分析。

習(xí)題:圖6 為工人攀登電桿時(shí)腳上所帶的套鉤。已知套鉤的尺寸b、電桿直徑d，摩擦系數(shù)μ。求套鉤不致下滑時(shí)腳踏力P距電桿中心線的距離l。

圖6 理論力學(xué)習(xí)題

解答：在摩擦問題中，臨界情況下全反力RA和RB分別沿摩擦角θm的邊緣。套鉤在RA，RB和主動(dòng)力P三力作用下處于平衡，三力必匯交，其交點(diǎn)C就是臨界的安全位置(圖7)。由三角形△AEC有

圖7 套鉤受力圖

為什么說求出的尺寸是最小值而不是最大值呢(即C點(diǎn)的左邊是危險(xiǎn)區(qū)域，右邊是安全區(qū)域)？這可以直觀看出：如果P點(diǎn)向左移動(dòng)，在滿足三力匯交的條件下，A和B一定有某一處全反力會超出摩擦角的范圍(圖8)。如果P點(diǎn)向右移動(dòng)，在滿足三力匯交的條件下，A和B兩處的全反力均不會超出摩擦角的范圍(圖9)。所以說C點(diǎn)的左邊危險(xiǎn)，右邊安全。

圖8 危險(xiǎn)區(qū)域受力圖

圖9 安全區(qū)域受力圖

利用習(xí)題的結(jié)論，可以證明前面探究試驗(yàn)的結(jié)論“物體傾斜角度越大越容易被卡住”是合理的。

從圖10可以看出，當(dāng)圓筒較長時(shí)，物體傾斜角度小，摩擦角θm的邊界交點(diǎn)C距離豎桿遠(yuǎn)，重力P的作用點(diǎn)落在危險(xiǎn)區(qū)間，裝置會落下；而當(dāng)圓筒較短時(shí)，物體傾斜角度大，摩擦角θm的邊界交點(diǎn)C距離豎桿近，重力P的作用點(diǎn)落在安全區(qū)間，裝置可以停留在豎桿上。

本問題的核心是摩擦角的交點(diǎn)與重力的位置關(guān)系，雖然“物體傾斜角度越大越容易被卡住”只是一個(gè)表面現(xiàn)象，但是可以幫助我們快速理解一些復(fù)雜的問題，也符合人們的認(rèn)識是不斷深入的規(guī)律，也是有價(jià)值的。

圖10 利用摩擦角驗(yàn)證前面的結(jié)論

4 裝置改進(jìn)

在清楚了其原理后，可以把簡單的鐵絲改進(jìn)為全自動(dòng)裝置，用小熊代替鐵絲，用電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)曲柄連桿機(jī)構(gòu)模擬手的來回?cái)[動(dòng)。裝置做好后，一按開關(guān)，小熊會自動(dòng)慢慢地向上爬升(圖11)。

圖11 自動(dòng)爬升的小熊

改進(jìn)的裝置更有趣味性，也更為復(fù)雜，涉及到靜力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)，是一個(gè)綜合的理論力學(xué)演示道具。

首先，小熊爬升的核心原理是繩子角度的變化導(dǎo)致的摩擦自鎖和解鎖，在前面已經(jīng)解釋了，屬于靜力學(xué)問題。其次，曲柄連桿機(jī)構(gòu)要適當(dāng)設(shè)計(jì)，各部件既不能沖突，又要能模擬手的來回?cái)[動(dòng)，屬于運(yùn)動(dòng)學(xué)問題。最后，電動(dòng)機(jī)要帶動(dòng)裝置的運(yùn)動(dòng)，小電動(dòng)機(jī)的扭矩可能不夠大，要適當(dāng)通過減速增加扭矩，而繩子繃緊的程度也很有講究，太松了小熊上不去，太緊了電動(dòng)機(jī)帶不動(dòng)，這些又屬于動(dòng)力學(xué)問題。

總之，通過這個(gè)教學(xué)道具，可以很好地演示神奇的摩擦現(xiàn)象，激發(fā)學(xué)生深入學(xué)習(xí)的熱情和興趣。