振動(dòng)條件下液體內(nèi)部氣泡下沉現(xiàn)象研究

張 旭 李晉斌

?(南京航空航天大學(xué)理學(xué)院，南京210016)

?(南京航空航天大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京210016)

氣泡普遍存在于核反應(yīng)堆、火箭推進(jìn)燃料以及化學(xué)實(shí)驗(yàn)等領(lǐng)域采用的液體材料[1]中。在振動(dòng)條件下，這類液體材料會(huì)呈現(xiàn)出復(fù)雜的非線性渦流場[2-3]，并且伴隨著氣泡下沉現(xiàn)象，該現(xiàn)象對(duì)材料的性能及應(yīng)用會(huì)產(chǎn)生較大影響。比如在液體火箭燃料的早期階段[4]，火箭起飛時(shí)的振動(dòng)迫使燃料箱中的氣泡下沉到容器底部，使得底部壓強(qiáng)減小，壓力傳感器被觸發(fā)，進(jìn)而導(dǎo)致火箭飛行時(shí)發(fā)生爆炸現(xiàn)象。因此，振動(dòng)液體中氣泡運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究，對(duì)液態(tài)金屬動(dòng)力裝置以及氣泡下沉過程中兩相流動(dòng)的發(fā)展都有著重要的意義，受到越來越多國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。

氣泡在振動(dòng)液體中運(yùn)動(dòng)時(shí)存在臨界位移X0，在X0以下的液體區(qū)域會(huì)發(fā)生氣泡下沉現(xiàn)象，而火箭燃料的低壓區(qū)正是氣泡運(yùn)動(dòng)到臨界位移以下時(shí)形成的。因此，對(duì)于振動(dòng)液體中氣泡下沉運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究，前人主要關(guān)注下沉運(yùn)動(dòng)過程的臨界位移以及速度變化。根據(jù)流體力學(xué)原理，Sorokin等[5-6]建立了無靜壓力波情況下氣泡下沉效應(yīng)的理論模型，并且推導(dǎo)出氣泡在流體中運(yùn)動(dòng)的平均速度公式。對(duì)于氣泡下沉原理的研究，Bleich和Blekhman分別從不同角度出發(fā)，分析了氣泡在不可壓縮無黏流體中的運(yùn)動(dòng)行為：Bleich[7]根據(jù)壓力梯度原理，提出氣泡下沉的“波誘導(dǎo)機(jī)制”；Blekhman 等[8-9]根據(jù)氣泡壓縮性原理，提出氣泡下沉的“振動(dòng)誘導(dǎo)機(jī)制”。兩者的理論推導(dǎo)都著重強(qiáng)調(diào)了氣泡下沉的臨界位移X0，但由于流體內(nèi)氣泡大小各異且體積形狀始終發(fā)生變化，因此實(shí)驗(yàn)中X0界線的準(zhǔn)確測量具有一定的難度。隨后Kana等[10]對(duì)Bleich的工作進(jìn)行改進(jìn)，提出了氣液系統(tǒng)的壓縮性和容器壁的彈性對(duì)氣泡運(yùn)動(dòng)的影響。Apshtein[11]描述了液體中氣泡群在垂直管內(nèi)產(chǎn)生的垂直振蕩現(xiàn)象，對(duì)空氣進(jìn)入液體的機(jī)理和單個(gè)微小氣泡的行為給出了解釋，研究了氣泡群的空化及聚集現(xiàn)象，著重分析了氣泡群的穩(wěn)定性，最后比較了實(shí)驗(yàn)研究和理論計(jì)算的結(jié)果。Fritz 等[12]和Buchanan等[13]從理論和實(shí)驗(yàn)方面，對(duì)氣泡在振動(dòng)液體中的循環(huán)遷移運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了分析。尤明慶[14]提出，物體在液體中的平衡姿態(tài)與其長徑比有關(guān)。因此，在分析氣泡下沉過程的受力狀態(tài)時(shí)，應(yīng)關(guān)注氣泡形變對(duì)其受力帶來的影響[15-17]。

本文采用數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)研究相結(jié)合的方法，通過對(duì)氣泡進(jìn)行受力分析，研究多種振動(dòng)條件下氣泡下沉運(yùn)動(dòng)的行為特性。采用氣泡壓縮性原理進(jìn)行理論分析，并通過實(shí)驗(yàn)研究不同激勵(lì)振幅、頻率對(duì)氣泡運(yùn)動(dòng)過程中臨界位移X0以及下沉速度的影響，總結(jié)氣泡在正弦振動(dòng)液體中下沉運(yùn)動(dòng)行為的變化規(guī)律，為研究振動(dòng)條件下氣液兩相流動(dòng)提供一種思路。

1 氣泡下沉動(dòng)力學(xué)分析

通常情況下，液體內(nèi)部的氣泡受到浮力作用，會(huì)上升到液體表面。但當(dāng)液體以特定的振幅、頻率振動(dòng)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)“反?！爆F(xiàn)象，即液體內(nèi)的氣泡不再上升，而是在液體內(nèi)懸浮，甚至下沉。氣泡的下沉現(xiàn)象與通常的上升現(xiàn)象有所不同，該現(xiàn)象會(huì)對(duì)液體的物質(zhì)性能及應(yīng)用產(chǎn)生顯著影響。

1.1 氣泡下沉機(jī)理

引發(fā)氣泡下沉現(xiàn)象的原因主要有兩個(gè)：一是壓力脈動(dòng)，振動(dòng)過程中壓力的周期性變化導(dǎo)致氣泡在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)的體積和形狀發(fā)生變化，氣泡液膜受力不平衡，當(dāng)壓力引起的向下加速度大于向上加速度時(shí)，氣泡向下運(yùn)動(dòng)；二是附加質(zhì)量[18]，當(dāng)氣泡通過流體加速時(shí)，氣泡所受的推力不僅要增加氣泡的動(dòng)能，還要增加周圍流體的動(dòng)能。此時(shí)需要有大于合外力ma的附加力，使氣泡有效質(zhì)量增加，產(chǎn)生向下的加速度。

1.2 氣泡受力分析

假設(shè)氣泡為可壓縮性理想氣體，容器為剛性壁，且忽略氣泡間的相互作用力。則氣泡在振動(dòng)液體中運(yùn)動(dòng)時(shí)，所受之力有重力、浮力、流體阻力、附加質(zhì)量力以及液體正弦振動(dòng)產(chǎn)生的脈動(dòng)壓力，其中，附加質(zhì)量力和脈動(dòng)壓力的數(shù)量級(jí)較大，是影響氣泡下沉的主要因素。

當(dāng)氣泡通過流體加速時(shí)，氣泡所受的推力要增加氣泡和周圍流體的動(dòng)能。此時(shí)需要有額外的附加質(zhì)量力，置換氣泡一半體積的液體，增大氣泡有效質(zhì)量，產(chǎn)生向下的加速度。而增加的這部分質(zhì)量就是附加質(zhì)量matt[18]

其中，ρ為水的密度，R為氣泡的半徑，χ為球體附加質(zhì)量系數(shù)，matt為氣泡附加質(zhì)量，mf為氣泡體積下置換的水的質(zhì)量。

綜合考慮氣泡在振動(dòng)液體中運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的重力、浮力、流體阻力、附加質(zhì)量力以及脈動(dòng)壓力，最終得氣泡受力方程等式[19]

其中，m為氣泡質(zhì)量；matt為氣泡附加質(zhì)量；C為流體阻力系數(shù)；V(x,t) 為氣泡體積；A為振幅；ω=2πf，ω為角頻率，f為頻率。

1.3 氣泡形態(tài)變化

Bleich 等[7]的理論分析建立在球形氣泡的理想狀況下，忽略了氣泡形變對(duì)下沉運(yùn)動(dòng)的影響。而實(shí)際情況下，在振動(dòng)液體中運(yùn)動(dòng)的氣泡，其體積和形狀會(huì)隨周圍壓力的改變而發(fā)生明顯的變化，不再為理想球形狀態(tài)，會(huì)呈現(xiàn)橢球形或球冠形。

設(shè)氣泡的體積變化為等溫準(zhǔn)靜態(tài)過程，水為不可壓縮性液體，因此容器內(nèi)的液體均勻振動(dòng)，脈動(dòng)壓強(qiáng)為ρxAω2sinωt且處處相等。氣泡除受此脈動(dòng)壓強(qiáng)作用外，還受到大氣壓強(qiáng)P(0,t)、與距離x有關(guān)的液體壓強(qiáng)ρgx以及表面張力產(chǎn)生的附加壓強(qiáng)2σ/R，因此，振動(dòng)液體中氣泡所受總壓強(qiáng)為

壓強(qiáng)脈動(dòng)導(dǎo)致氣泡在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)體積脈動(dòng)變化，根據(jù)理想氣體定律，此時(shí)氣泡體積為

其中，P(0,t)為大氣壓強(qiáng)；V(0,t)為氣泡液面處體積；σ為液體(水)表面張力系數(shù)。

氣泡在實(shí)際運(yùn)動(dòng)中所受的黏滯力、慣性力以及表面張力對(duì)氣泡形狀有很大影響，因此一般情況下氣泡為非球形狀態(tài)。閆紅杰等[15]提出使用韋伯?dāng)?shù)(We)表征氣泡形狀變化，當(dāng)We<0.02時(shí)，氣泡為球形；當(dāng)0.02< We <0.8 時(shí)，氣泡為橢球形；當(dāng)We>0.8 時(shí)，氣泡形變進(jìn)一步加大。

通過數(shù)值計(jì)算，本文得出在實(shí)驗(yàn)振動(dòng)條件下氣泡的We>0.2，因此應(yīng)考慮振動(dòng)液體中氣泡的體積和形狀變化。使用高速攝像機(jī)拍攝，發(fā)現(xiàn)氣泡體積越大，變形幅度越大，并且氣泡隨容器做似正弦運(yùn)動(dòng)時(shí)，其形狀隨x-t運(yùn)動(dòng)曲線呈現(xiàn)周期性變化，如圖1。

圖1 氣泡形狀隨正弦激勵(lì)的變化

當(dāng)氣泡運(yùn)動(dòng)到波腹附近，氣泡上下表面壓力差較大，氣泡受壓變化，呈橢球形狀態(tài)或變形狀態(tài)，如圖1(a)和圖1(c)；當(dāng)氣泡運(yùn)動(dòng)到波節(jié)附近，氣泡上下表面壓力差較小，氣泡受壓均勻，呈球形狀態(tài)，如圖1(b)和圖1(d)。并且氣泡運(yùn)動(dòng)到上波腹時(shí)，其下表面逐漸凹陷，曲率半徑變大，下表面處壓強(qiáng)變小，如圖1(a)；氣泡運(yùn)動(dòng)到下波腹時(shí)，其上表面逐漸凹陷，曲率半徑變大，上表面處壓強(qiáng)變小，如圖1(g)。這是由于氣泡具有壓縮性，當(dāng)其周圍渦流場變化復(fù)雜時(shí)，液膜所受表面張力不平衡，且黏滯力、慣性力有所變化，導(dǎo)致氣泡受力不均勻，體積和形狀發(fā)生脈動(dòng)變化。并且實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)氣泡體積和形狀的脈動(dòng)與正弦激勵(lì)脈動(dòng)有直接關(guān)系，呈現(xiàn)周期性變化。

2 “快慢運(yùn)動(dòng)”模型及數(shù)值模擬

為準(zhǔn)確表征氣泡下沉運(yùn)動(dòng)過程，采用分離變量法對(duì)氣泡運(yùn)動(dòng)方程(2)進(jìn)行求解。求解發(fā)現(xiàn)氣泡并非勻速或勻加速下沉而是震蕩式下沉，即氣泡下沉過程為時(shí)均運(yùn)動(dòng)(總運(yùn)動(dòng)趨勢)以及脈動(dòng)運(yùn)動(dòng)(正弦運(yùn)動(dòng))的疊加，如圖2。

以Blekhman 等[8-9]推導(dǎo)的“快慢運(yùn)動(dòng)模型”為基礎(chǔ)，從“振動(dòng)”的角度分析氣泡下沉運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。使用振動(dòng)力學(xué)的概念和運(yùn)動(dòng)直接分離的方法[20]，分析氣泡運(yùn)動(dòng)行為，求出了“快慢運(yùn)動(dòng)”方程的解。其中，“快運(yùn)動(dòng)”即為氣泡下沉脈動(dòng)運(yùn)動(dòng)，“慢運(yùn)動(dòng)”即為氣泡下沉?xí)r均運(yùn)動(dòng)。因此，氣泡的運(yùn)動(dòng)方程式可寫成

圖2 氣泡下沉運(yùn)動(dòng)數(shù)值模擬曲線

圖2為Matlab數(shù)值模擬的氣泡下沉的距離與時(shí)間的關(guān)系曲線，可見氣泡在做“慢運(yùn)動(dòng)”下沉的同時(shí)，也在做正弦“快運(yùn)動(dòng)”，“快運(yùn)動(dòng)”的振幅為B，虛線斜率為慢運(yùn)動(dòng)速度(t)，并且“慢運(yùn)動(dòng)”決定氣泡整體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

2.1 “快運(yùn)動(dòng)”模型

快運(yùn)動(dòng)方程[20]為

其中，matt為氣泡附加質(zhì)量。

使用諧波平衡法可求出“快運(yùn)動(dòng)”方程(7)的近似解

此處B和φ都是常數(shù)，又因?yàn)橐虼说脷馀荨翱爝\(yùn)動(dòng)”振幅B的表達(dá)式

本研究的不足之處是未分析HSP27表達(dá)對(duì)骨髓瘤患者接受BTZ治療后療效和預(yù)后的影響，這是后續(xù)研究的內(nèi)容之一?？傊?，本研究揭示了HSP27通過負(fù)反饋機(jī)制介導(dǎo)骨髓瘤對(duì)BTZ耐藥，深化了對(duì)骨髓瘤耐藥機(jī)制的認(rèn)識(shí)，為靶向HSP家族蛋白治療MM提供了新的治療靶點(diǎn)和體外實(shí)驗(yàn)依據(jù)。

其中，χ是附加質(zhì)量系數(shù)，ψ∞≡0.2。

“快運(yùn)動(dòng)”為氣泡下沉瞬間的脈動(dòng)運(yùn)動(dòng)，即正弦運(yùn)動(dòng)。氣泡的“快運(yùn)動(dòng)”過程受外界激勵(lì)振幅、激勵(lì)頻率的影響較大，其運(yùn)動(dòng)振幅B接近于激勵(lì)振幅A，其運(yùn)動(dòng)頻率與激勵(lì)頻率相一致。

2.2 “慢運(yùn)動(dòng)”模型

慢運(yùn)動(dòng)方程[20]為

根據(jù)式(10)可得氣泡下沉的條件為

假設(shè)氣泡“慢運(yùn)動(dòng)”加速度很小，對(duì)其“慢運(yùn)動(dòng)”速度，可確定以下近似表達(dá)式

其中剛性氣泡“慢運(yùn)動(dòng)”速度的絕對(duì)值

氣泡“慢運(yùn)動(dòng)”速度的正負(fù)代表氣泡的下降上升狀態(tài)，如圖3。當(dāng)X=X0時(shí),氣泡“慢運(yùn)動(dòng)”速度˙X=0，氣泡懸浮在臨界位移X0處；當(dāng)X X0時(shí)， ˙X >0，氣泡下沉。

圖3 氣泡下沉、懸浮、上升時(shí)間–位移數(shù)值模擬曲線

2.3 數(shù)值模擬分析

氣泡是否下沉取決于位移X和臨界位移X0的關(guān)系，而根據(jù)式(12)可知外界激勵(lì)振幅和頻率是影響X0變化的主要因素，因此，本文使用Matlab 對(duì)不同振幅、頻率條件下的氣泡下沉運(yùn)動(dòng)做初步定性分析。圖4(a)和圖4(b)分別為臨界位移X0與振幅A、頻率f的關(guān)系圖象，可見氣泡下沉的臨界位移X0隨振幅和頻率的增加而減小。并且在曲線臨界位移X0以上的區(qū)域，由于X > X0，會(huì)發(fā)生氣泡下沉現(xiàn)象；在曲線臨界位移X0以下的區(qū)域，由于X

圖4 臨界位移X0 與振幅A、頻率f 的關(guān)系曲線

式(13)和式(14)表示，氣泡下沉過程的速度取決于位移X和臨界位移X0的關(guān)系，并且外界激勵(lì)振幅和頻率影響下沉速度的大小。本文使用Matlab數(shù)值模擬不同振幅、頻率下氣泡下沉運(yùn)動(dòng)曲線，比較不同條件下氣泡下沉速度大小，如圖5(a)和圖5(b)。

圖5(a)和圖5(b)分別為不同振幅、頻率下氣泡下沉?xí)r間–位移曲線，并且曲線的整體斜率為“慢運(yùn)動(dòng)”速度。由圖5 可見，氣泡下沉的“慢運(yùn)動(dòng)”速度隨振幅和頻率的增加而增加。

3 實(shí)驗(yàn)分析

3.1 氣泡運(yùn)動(dòng)分析

實(shí)驗(yàn)使用每秒240 幀的高速攝像機(jī)拍攝氣泡下沉運(yùn)動(dòng)的過程，視頻導(dǎo)入到Tracker分析軟件中，數(shù)據(jù)分析氣泡下沉運(yùn)動(dòng)行為，如圖6。

由圖6 可見，氣泡實(shí)際運(yùn)動(dòng)過程與理論分析相一致，下沉過程存在“快慢運(yùn)動(dòng)”，即氣泡在做整體下沉運(yùn)動(dòng)的同時(shí)也做小幅度正弦振動(dòng)。

根據(jù)式(2)，使用Matlab 數(shù)值模擬正弦振動(dòng)激勵(lì)振幅2.5 mm，頻率40 Hz 條件下，半徑為1 mm的氣泡的下沉運(yùn)動(dòng)曲線。使用Tracker 追蹤半徑為1.015 mm的氣泡在此激勵(lì)條件下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，分析實(shí)驗(yàn)與理論的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖7 所示。實(shí)驗(yàn)曲線大致符合理論曲線，驗(yàn)證了理論的正確性。

圖5 不同振幅、頻率下氣泡下沉?xí)r間–位移運(yùn)動(dòng)曲線

圖6 氣泡下沉現(xiàn)象Tracker 分析圖

圖7 氣泡下沉理論與實(shí)驗(yàn)的時(shí)間–位移曲線

為準(zhǔn)確追蹤氣泡運(yùn)動(dòng)軌跡，實(shí)驗(yàn)使用每秒960幀的慢動(dòng)作拍攝，避免Tracker 因取點(diǎn)個(gè)數(shù)太少導(dǎo)致誤差較大。圖8 為960 幀慢動(dòng)作拍攝下氣泡和激勵(lì)的運(yùn)動(dòng)曲線，使用Tracker 進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時(shí)發(fā)現(xiàn)，氣泡下沉過程中氣泡脈動(dòng)振幅B大于外界激勵(lì)振幅A，并且氣泡脈動(dòng)和外界激勵(lì)始終存在小幅度相移差，氣泡先于外界激勵(lì)運(yùn)動(dòng)。宋禹林等[21]在晃蕩條件下氣泡上升的研究中也發(fā)現(xiàn)了這一現(xiàn)象，這是因?yàn)闅馀菰谑艿酵饨缂?lì)的基礎(chǔ)上，還受到來自于空氣和水的密度差提供的驅(qū)動(dòng)，這使得氣泡所受驅(qū)動(dòng)力更大，速度變化更早、更快。

圖8 氣泡與激勵(lì)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間–位移對(duì)比曲線

3.2 振幅、頻率對(duì)氣泡下沉運(yùn)動(dòng)的影響

初步預(yù)實(shí)驗(yàn)下發(fā)現(xiàn)，外界激勵(lì)振幅越大、激勵(lì)頻率越高，氣泡越容易發(fā)生下沉現(xiàn)象。圖9(a)和圖9(b)是半徑為0.5 mm 的氣泡分別在激勵(lì)頻率70 Hz、激勵(lì)振幅1 mm 條件下臨界位移X0的變化曲線，并且將Matlab數(shù)值模擬公式(12)的結(jié)果與實(shí)際測量X0的結(jié)果對(duì)比。由圖可見，隨著激勵(lì)振幅、頻率的變大，臨界位移X0明顯變小。并且當(dāng)振幅、頻率過大時(shí)，氣泡所受脈動(dòng)加速度Aω2sinωt較大，因此氣泡在較小的位移處會(huì)發(fā)生下沉現(xiàn)象。

圖9 不同激勵(lì)振幅A、頻率f 下氣泡臨界位移X0 變化曲線

4 小結(jié)與展望

本文從流體動(dòng)力學(xué)角度分析氣泡下沉現(xiàn)象的機(jī)理，數(shù)值模擬單個(gè)氣泡在振動(dòng)液體中的運(yùn)動(dòng)，并通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步分析氣泡下沉的原因及其影響因素。對(duì)氣泡進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，研究其受力狀況，得出氣泡下沉的原因是壓力脈動(dòng)和附加質(zhì)量。而壓力脈動(dòng)導(dǎo)致氣泡體積脈動(dòng)，因此需要考慮下降過程氣泡的形變規(guī)律。采用分離變量法研究氣泡運(yùn)動(dòng)過程，并結(jié)合Matlab 數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)測量，分析激勵(lì)振幅、頻率對(duì)氣泡下沉過程的影響。數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)振幅、頻率越大，氣泡越容易下沉，且下沉的臨界位移越小，下沉速度越大，這與實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果一致。

實(shí)驗(yàn)觀察到在振動(dòng)的高頻階段，容器中出現(xiàn)大量的氣泡團(tuán)簇，該現(xiàn)象與駐波場內(nèi)Bjerknes 力效應(yīng)導(dǎo)致的空泡潰滅有關(guān)，后續(xù)將對(duì)此展開深入研究。未來工作將考慮彈性壁和氣泡間的相互作用，對(duì)單個(gè)氣泡的分析擴(kuò)展到多個(gè)氣泡，并研究氣泡下沉對(duì)化學(xué)儀器安全性的影響。

致謝感謝陳一鑫、董詩馳等人的討論，感謝南京航空航天大學(xué)振動(dòng)所提供場地、儀器等。