基于粒子群的非規(guī)則區(qū)域連續(xù)覆蓋星座設(shè)計(jì)

劉 明 楊 明 高 興 楊 丁 葛亞杰

1.國(guó)防科技大學(xué), 長(zhǎng)沙410073 2.空間物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京100076

0 引言

采用對(duì)地靜止軌道衛(wèi)星進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)通信傳輸服務(wù)具有發(fā)射成本高、空間資源有限等缺點(diǎn)，近年來(lái)，隨著各類微小衛(wèi)星和低成本、快速響應(yīng)運(yùn)載器技術(shù)的發(fā)展，利用近地軌道衛(wèi)星組網(wǎng)來(lái)執(zhí)行網(wǎng)絡(luò)通信傳輸服務(wù)已成為各國(guó)的研究熱點(diǎn)。美國(guó)Space-x公司提出的“星鏈計(jì)劃”以及中國(guó)的“虹云工程”即屬于此類低軌星座，且都已成功部署相關(guān)技術(shù)驗(yàn)證衛(wèi)星。近地軌道衛(wèi)星組網(wǎng)實(shí)現(xiàn)區(qū)域覆蓋時(shí)，要求單顆衛(wèi)星的星下點(diǎn)能夠?qū)崿F(xiàn)周期性的重復(fù)，從而保證在某天的固定時(shí)段或者全天候?qū)μ囟▍^(qū)域進(jìn)行連續(xù)覆蓋，圓回歸軌道的軌道高度均勻，適合進(jìn)行對(duì)地觀測(cè)，此類星座中的單顆衛(wèi)星軌道通?；趫A回歸軌道進(jìn)行設(shè)計(jì)[1]。共地面軌跡星座是一類特殊的星座形式，星座中的所有衛(wèi)星具有一致的星下點(diǎn)運(yùn)行軌跡，適用于特定區(qū)域的覆蓋系統(tǒng)[2]。近地軌道衛(wèi)星區(qū)域周期性連續(xù)覆蓋星座的設(shè)計(jì)方法主要分為解析法和優(yōu)化法。朱仁璋討論了衛(wèi)星循環(huán)軌道問(wèn)題并給出了一種覆蓋軌道的設(shè)計(jì)方法[3]，吳廷勇等針對(duì)高軌通信衛(wèi)星對(duì)規(guī)則區(qū)域連續(xù)覆蓋問(wèn)題，采用遺傳算法求解了共星下點(diǎn)軌跡星座的設(shè)計(jì)問(wèn)題[2,4-5]。Gao等考慮傳感器模型，針對(duì)特定緯度范圍內(nèi)具有一定時(shí)間間隔的覆蓋問(wèn)題，采用解析法設(shè)計(jì)了星座參數(shù)[6]。文獻(xiàn)[7-8]將包含特定目標(biāo)城市的規(guī)則區(qū)域連續(xù)覆蓋星座設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了求解。張文敦基于解析法設(shè)計(jì)了針對(duì)特定目標(biāo)點(diǎn)覆蓋任務(wù)的共星下點(diǎn)軌跡星座，并采用遺傳算法對(duì)星座組網(wǎng)形式進(jìn)行了優(yōu)化[9]。馬劍等考慮重訪周期約束，以星座內(nèi)衛(wèi)星數(shù)量最少為目標(biāo)，優(yōu)化設(shè)計(jì)了共星下點(diǎn)軌跡星座實(shí)現(xiàn)了對(duì)規(guī)則區(qū)域的覆蓋[10]。范麗提出一種搭載不同有效載荷的區(qū)域覆蓋混合星座設(shè)計(jì)方法[11]。

針對(duì)非規(guī)則區(qū)域連續(xù)覆蓋星座設(shè)計(jì)問(wèn)題，受推導(dǎo)條件限制，以上研究成果的解析法難以直接解析求解星座設(shè)計(jì)參數(shù)[12]；而采用數(shù)值尋優(yōu)的方式，較多優(yōu)化變量的星座設(shè)計(jì)參數(shù)將會(huì)導(dǎo)致計(jì)算效率較差[13-15]。針對(duì)該問(wèn)題，本文采用了一種具有回歸軌道屬性的共星下點(diǎn)軌跡星座方案，提出了一種優(yōu)化法與解析法相結(jié)合的星座優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，基于衛(wèi)星對(duì)地觀測(cè)的傳感器視場(chǎng)覆蓋模型，采用粒子群算法(PSO)優(yōu)化算法，以非規(guī)則區(qū)域覆蓋范圍最大為性能指標(biāo)，選擇軌道傾角和升交點(diǎn)赤經(jīng)為優(yōu)化變量，獲得單顆衛(wèi)星的最優(yōu)軌道參數(shù)，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)共星下點(diǎn)軌跡星座約束關(guān)系，解析求解星座軌道參數(shù)，可實(shí)現(xiàn)星座軌道的快速求解，同時(shí)滿足非規(guī)則區(qū)域連續(xù)覆蓋的性能要求。

1 回歸軌道計(jì)算模型

針對(duì)圓軌道衛(wèi)星，建立地心慣性坐標(biāo)系E-xyz，原點(diǎn)位于地心，其中x軸在赤道平面內(nèi)指向春分點(diǎn)方向，z軸由地心指向北極，y軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。如圖1所示的軌道半徑a、軌道傾角i、升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω、緯度幅角u(升交點(diǎn)到衛(wèi)星所在位置的地心夾角)4個(gè)參數(shù)即可表示衛(wèi)星在空間中的位置。

圖1 圓軌道描述參數(shù)示意圖

地球引力非球形攝動(dòng)(地球并不是一個(gè)正球體，其內(nèi)部的密度分布不均勻而產(chǎn)生的攝動(dòng)稱為非球形攝動(dòng))對(duì)近地軌道具有較大的影響，衛(wèi)星升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω與緯度幅角u隨在軌時(shí)間的變化而變化，其變化趨勢(shì)由軌道半徑a和軌道傾角i確定。J2項(xiàng)是非球形攝動(dòng)的主要攝動(dòng)項(xiàng)，考慮J2項(xiàng)攝動(dòng)可滿足近地軌道設(shè)計(jì)時(shí)的精度要求，相應(yīng)升交點(diǎn)赤經(jīng)與緯度幅角平均攝動(dòng)為

(1)

(2)

其中，RE為軌道半徑，ω為圓軌道角速度。

軌道周期T定義為衛(wèi)星由升交點(diǎn)出發(fā)繞行一周再次回到升交點(diǎn)的時(shí)長(zhǎng)，可根據(jù)下式進(jìn)行計(jì)算

(3)

因此，一個(gè)軌道周期內(nèi)升交點(diǎn)赤經(jīng)的增量ΔΩ為

(4)

式中，ωe為地球自轉(zhuǎn)角速度。

回歸軌道或準(zhǔn)回歸軌道是星下點(diǎn)按照一定周期重復(fù)的軌道，回歸軌道衛(wèi)星的星下點(diǎn)軌跡重復(fù)周期為1天，準(zhǔn)回歸軌道的重復(fù)周期為多天。當(dāng)滿足式(5)時(shí)，星下點(diǎn)軌跡在d天后恰好轉(zhuǎn)過(guò)n圈回到原位。

n·ΔΩ=2π·d

(5)

當(dāng)d為1時(shí)，式(5)表示回歸軌道條件，當(dāng)d大于1時(shí)，表示準(zhǔn)回歸軌道條件。以下討論的所有問(wèn)題均為回歸軌道問(wèn)題，因此，式(5)可以改寫(xiě)為

n·ΔΩ=2π

(6)

即衛(wèi)星在一天時(shí)間內(nèi)運(yùn)行n圈后，星下點(diǎn)軌跡回歸，聯(lián)立式(3)和式(4)得到

(7)

將式(1)與式(2)代入式(7)，得到考慮J2項(xiàng)攝動(dòng)的回歸軌道條件

(8)

通常而言，軌道高度H小于500km時(shí)，氣動(dòng)力攝動(dòng)項(xiàng)對(duì)軌道的影響較大，將引起衛(wèi)星能量的耗散，軌道高度難以長(zhǎng)時(shí)間保持，因此近地軌道高度H一般在500km至1000km之間。由于J2項(xiàng)攝動(dòng)在式(8)中的影響較小，可忽略其影響，估算H∈[500km,1000km]時(shí)，所對(duì)應(yīng)的回歸周期T內(nèi)的運(yùn)行圈數(shù)n∈[13.66,15.18]，取整后n=14，15，其相應(yīng)的軌道高度約為800km以及500km。

2 共星下點(diǎn)軌跡星座約束條件

近地回歸軌道衛(wèi)星只能以回歸周期一天為時(shí)間間隔對(duì)覆蓋區(qū)域進(jìn)行重訪，無(wú)法在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)持續(xù)性的覆蓋。針對(duì)此類任務(wù)，具有回歸軌道屬性的共星下點(diǎn)軌跡星座可實(shí)現(xiàn)對(duì)特定區(qū)域的周期性連續(xù)覆蓋。此衛(wèi)星組網(wǎng)星座的優(yōu)點(diǎn)是滿足單顆衛(wèi)星的覆蓋效果最優(yōu)時(shí)，組網(wǎng)形成的星座覆蓋效果最好。共星下點(diǎn)軌跡星座設(shè)計(jì)一系列軌道高度與軌道傾角相同的近地回歸軌道，每個(gè)軌道面內(nèi)一顆衛(wèi)星，考慮地球自轉(zhuǎn)特性、回歸軌道參數(shù)、傳感器模型的條件下，通過(guò)設(shè)計(jì)各軌道面間的升交點(diǎn)經(jīng)度差ΔΩ以及緯度幅角差Δu，實(shí)現(xiàn)對(duì)特定區(qū)域的周期性連續(xù)覆蓋。

如圖2所示為相鄰軌道面內(nèi)兩顆衛(wèi)星的空間幾何關(guān)系，衛(wèi)星Si的升交點(diǎn)赤經(jīng)為Ωi，衛(wèi)星Sj的升交點(diǎn)赤經(jīng)為Ωj，兩軌道面的升交點(diǎn)赤經(jīng)差值ΔΩ=|Ωi-Ωj|，兩軌道同為順行軌道，Δu是衛(wèi)星Sj滯后于衛(wèi)星Si的緯度幅角差值。

圖2 相鄰軌道面衛(wèi)星空間幾何關(guān)系

由圖2可知，若衛(wèi)星Sj由當(dāng)前位置運(yùn)行到其升交點(diǎn)λj的時(shí)間和地球自轉(zhuǎn)ΔΩ的時(shí)間相同，則衛(wèi)星Si和Sj具有相同的星下點(diǎn)軌跡，由此可得共星下點(diǎn)軌跡星座相鄰軌道面衛(wèi)星應(yīng)滿足的條件為

(9)

考慮地球非球形引力攝動(dòng)J2項(xiàng)，將式(1)和式(2)代入式(9)得到

(10)

依據(jù)式(10)即可在已知相鄰軌道緯度幅角相位差Δu的條件下，快速解析計(jì)算升交點(diǎn)赤經(jīng)差值ΔΩ。

3 非規(guī)則區(qū)域連續(xù)覆蓋星座設(shè)計(jì)方法

3.1 基于傳感器特性的星座分布設(shè)計(jì)

衛(wèi)星通常攜帶各類傳感器作為有效載荷，實(shí)現(xiàn)對(duì)地面目標(biāo)的通信中繼、對(duì)地觀測(cè)等任務(wù)，其覆蓋范圍通常由軌道高度、傳感器視場(chǎng)角、傳感器視場(chǎng)形狀等因素決定，典型的對(duì)地觀測(cè)為圓錐形視場(chǎng)傳感器，圓錐形傳感器的視場(chǎng)如圖3所示，衛(wèi)星所在位置為S，星下點(diǎn)為S′，其軌道高度為SS′長(zhǎng)度H，視場(chǎng)半錐角(Cone Half Angle)定義為θ，每一時(shí)刻傳感器所覆蓋的圓形區(qū)域半徑AS′長(zhǎng)度為d，掃過(guò)的地面幅寬為2d，視場(chǎng)投影半徑d可根據(jù)集合關(guān)系計(jì)算

d=H·tan(θ)

(11)

圖3 圓錐形傳感器示意圖

(12)

圖4 圓錐形傳感器地面覆蓋區(qū)域示意圖

在確定兩星下點(diǎn)軌跡距離2Δs的條件下，可求出相應(yīng)的地心夾角β

β=2Δs/R

(13)

其中，R為地球平均半徑。地心夾角β即為相鄰軌道面緯度幅角差Δu。

一條完整的共地面軌跡衛(wèi)星環(huán)所分布的衛(wèi)星數(shù)量由式(14)計(jì)算

m=2π/β

(14)

若m不為整數(shù)，應(yīng)對(duì)其向上取整。

3.2 單顆衛(wèi)星軌道參數(shù)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

由于星座內(nèi)衛(wèi)星星下點(diǎn)軌跡相同，只要單顆衛(wèi)星的覆蓋效果最佳，即可保證星座對(duì)于特定區(qū)域的覆蓋效果最佳。分析可知，共星下點(diǎn)軌跡星座的設(shè)計(jì)參數(shù)主要包含：軌道半徑a；軌道傾角i；衛(wèi)星總數(shù)；星座內(nèi)第1顆衛(wèi)星的升交點(diǎn)赤經(jīng)Ωo；相鄰軌道面間的升交點(diǎn)赤經(jīng)差ΔΩ。

已知傳感器特性，對(duì)覆蓋效果產(chǎn)生影響的參數(shù)主要包括a、i和Ωo。定義傳感器1個(gè)軌道周期內(nèi)所掃過(guò)的面積在總面積中的占比為特定區(qū)域周期累計(jì)覆蓋率η。在軌道半徑以及傳感器視場(chǎng)角選定的情況下，累計(jì)覆蓋率僅與i及Ωo相關(guān)，因此在合理選取軌道半徑以及傳感器視場(chǎng)角的情況下，只需對(duì)i和Ωo進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。建立如下的優(yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)模型，性能指標(biāo)為特定區(qū)域周期累計(jì)覆蓋率η最大。

(15)

其中，[imin,imax]為優(yōu)化i的取值范圍，[Ωmin,Ωmax]為優(yōu)化Ωo的取值范圍。以上優(yōu)化變量的約束根據(jù)任務(wù)區(qū)域的形狀及位置確定。

3.3 基于粒子群算法(PSO)求解優(yōu)化問(wèn)題

選用粒子群算法(PSO)求解式(15)所示的參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，PSO算法起源于對(duì)鳥(niǎo)群捕食行為的觀察和研究，其基本設(shè)計(jì)思想來(lái)源于2個(gè)方面：人工生命和進(jìn)化計(jì)算。在PSO算法中，用沒(méi)有質(zhì)量和體積的粒子來(lái)模擬捕食的鳥(niǎo)，每個(gè)粒子只有簡(jiǎn)單的行為規(guī)則，通過(guò)粒子間的集體協(xié)作使群體達(dá)到最優(yōu)[15]。

PSO算法中，每個(gè)粒子根據(jù)它自身和群體的經(jīng)驗(yàn)，向更好的位置“飛行”。粒子本身找到的最優(yōu)解稱為個(gè)體最優(yōu)位置，就是每個(gè)粒子在飛行過(guò)程所經(jīng)歷過(guò)的最好位置。整個(gè)群體目前找到的最優(yōu)解稱為全局最優(yōu)值，就是整個(gè)群體所經(jīng)歷過(guò)的最好位置。分別用D維速度矢量Vq=(v1,v2,…,vqd,…,vqD)和位置矢量Xq=(x1,x2,…,xqd,…,xqD)表示第q個(gè)粒子的狀態(tài)，則每個(gè)粒子根據(jù)以下公式來(lái)更新自己的速度和位置，從而產(chǎn)生新一代群體。

(16)

PSO算法的主要運(yùn)算過(guò)程如下：

1)初始化。在問(wèn)題搜索空間允許范圍內(nèi)隨機(jī)設(shè)置粒子的初始位置和速度，設(shè)定PSO算法參數(shù)和算法終止條件。

2)適應(yīng)度評(píng)價(jià)。根據(jù)目標(biāo)函數(shù)計(jì)算每個(gè)粒子的合適值，根據(jù)個(gè)體極值和全局極值評(píng)選條件，計(jì)算每個(gè)粒子的最優(yōu)和群體的最優(yōu)。

3)更新粒子。根據(jù)粒子速度和位置更新公式計(jì)算，并根據(jù)粒子速度和位置的限定范圍，調(diào)整粒子位置和速度。

4)算法結(jié)束判斷。檢查終止條件，如果滿足條件則終止算法，輸出最優(yōu)解，否則轉(zhuǎn)到步驟2，繼續(xù)迭代。

(17)

3.4 非規(guī)則區(qū)域連續(xù)覆蓋星座設(shè)計(jì)流程

采用回歸軌道的共地面軌跡星座優(yōu)化設(shè)計(jì)流程為：

1)依據(jù)覆蓋區(qū)域的位置形狀，確定軌道傾角i以及首顆衛(wèi)星的升交點(diǎn)赤經(jīng)Ωo取值范圍，基于3.3節(jié)所述的參數(shù)優(yōu)化方法求取一個(gè)軌道周期內(nèi)累計(jì)覆蓋率最大所對(duì)應(yīng)的軌道傾角i以及Ωo；

2)已知軌道傾角i，選取回歸周期內(nèi)運(yùn)行圈數(shù)n，迭代求解式(8)等于0時(shí)所對(duì)應(yīng)的軌道半徑a，進(jìn)而求得軌道高度H；

3)已知軌道高度H，依據(jù)傳感器類型以及覆蓋區(qū)域幅寬約束，設(shè)計(jì)合理的傳感器視場(chǎng)角，基于3.1節(jié)方法計(jì)算共地面軌跡衛(wèi)星環(huán)內(nèi)所包含的衛(wèi)星總數(shù)m及緯度幅角差值Δu；

4)根據(jù)持續(xù)覆蓋時(shí)間長(zhǎng)度，計(jì)算共地面軌跡衛(wèi)星環(huán)數(shù)量C，從而得到衛(wèi)星總數(shù)N；

5)基于式(10)計(jì)算得到各衛(wèi)星升交點(diǎn)赤經(jīng)Ωq(q=1,…,N)以及緯度幅角uq(q=1,…,N)，完成共地面軌跡星座設(shè)計(jì)。

圖5 星座設(shè)計(jì)流程

4 仿真驗(yàn)證

仿真中的覆蓋區(qū)域?yàn)橐訮lace1(18.45°N,108.97°E)，Place2(36.71°N ,126.46°E)，Place3(40.24°N ,115.46°E)，Place4(22.23°N ,97.36°E)四地位置坐標(biāo)連線構(gòu)成的非規(guī)則封閉區(qū)域，覆蓋時(shí)間為每天的00：00(UTCG)至03：00(UTCG)的不間斷覆蓋，衛(wèi)星傳感器類型為圓錐形傳感器，視場(chǎng)半錐角為50°。

按照3.4節(jié)所述的設(shè)計(jì)步驟，對(duì)首顆衛(wèi)星的升交點(diǎn)赤經(jīng)Ωo以及軌道傾角i進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，相應(yīng)的取值范圍為Ωo∈[105,150]，i∈[30,70]。在衛(wèi)星軌道高度為800km，選擇傳感器視場(chǎng)半錐角(Cone Half Angle)θ為50°的條件下，一個(gè)周期的累計(jì)覆蓋率η隨Ωo及i變化的趨勢(shì)如圖6所示。

圖6 單周期累計(jì)覆蓋率隨升交點(diǎn)赤經(jīng)及軌道傾角變化趨勢(shì)

采用粒子群算法(PSO)優(yōu)化得到首顆衛(wèi)星升交點(diǎn)赤經(jīng)Ωo為127.5°，軌道傾角i為55°。選取回歸周期內(nèi)運(yùn)行圈數(shù)n為14。采用迭代方法求解等式約束式(8)，獲得對(duì)應(yīng)的軌道半徑a為7211.14km，相應(yīng)的軌道高度H為833km。

傳感器視場(chǎng)半錐角(Cone Half Angle)θ為50°的條件下，基于3.1節(jié)方法計(jì)算共地面軌跡星座內(nèi)相鄰衛(wèi)星的緯度幅角差值Δu應(yīng)為18°，相鄰衛(wèi)星的升交點(diǎn)赤經(jīng)差值ΔΩ為1.286°。

相鄰衛(wèi)星空間相對(duì)位置及覆蓋特性如圖7所示，一條完整的共地面軌跡衛(wèi)星環(huán)所需衛(wèi)星數(shù)量m為20顆，為實(shí)現(xiàn)3小時(shí)連續(xù)覆蓋，共地面軌跡衛(wèi)星環(huán)數(shù)量C=1.5，從而得到衛(wèi)星總數(shù)N=30，基于STK的仿真表明，所設(shè)計(jì)的共地面軌跡星座可以實(shí)現(xiàn)所要求的非規(guī)則區(qū)域每日固定時(shí)間連續(xù)覆蓋3小時(shí)的需求。

圖7 相鄰衛(wèi)星空間位置及覆蓋特性

表1 星座組網(wǎng)參數(shù)

上述對(duì)非規(guī)則區(qū)域3小時(shí)的連續(xù)覆蓋仿真的問(wèn)題中，30顆衛(wèi)星可實(shí)現(xiàn)100%非規(guī)則區(qū)域的連續(xù)覆蓋要求，對(duì)應(yīng)星座軌道參數(shù)的計(jì)算時(shí)間在5s以內(nèi)，表明該方法求解效率高，星座覆蓋效果好。

5 結(jié)論

針對(duì)非規(guī)則區(qū)域連續(xù)覆蓋的問(wèn)題，采用回歸軌道的共星下點(diǎn)軌跡星座方案，設(shè)計(jì)了一種優(yōu)化法與解析法相結(jié)合的星座優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。該方法基于粒子群算法(PSO)優(yōu)化求解單顆衛(wèi)星軌道參數(shù)，共星下點(diǎn)軌跡星座約束關(guān)系解析求解星座軌道參數(shù)，具有較高的求解效率，為衛(wèi)星組網(wǎng)的工程實(shí)現(xiàn)提供了新的設(shè)計(jì)思路和新途徑。