利用n階完美和幻方構(gòu)造n2階完美和幻方

張 婧，劉興祥，劉娟娟

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

關(guān)于幻方的研究成果[1-10]已頗為豐富，而一種特殊幻方——完美幻方，又稱純幻方或泛對角線幻方剛剛興起。本文在充分掌握幻方定義及性質(zhì)之后，給出完美和幻方的定義，并根據(jù)完美和幻方的定義，給出了利用整數(shù)階完美和幻方構(gòu)造整數(shù)的平方階完美和幻方的一種新的構(gòu)造方法。

1 預(yù)備知識

定義1[1]設(shè)矩陣A=(aij)m×n∈Zm×n，m，n∈N*，若矩陣A滿足以下條件:

①m=n；

③(11…1)1×m(aij)m×n=Sl(11…1)1×n；

⑥Sc=Sl=Smd=Scd。

則稱矩陣A=(aij)m×n為Z上的n階和幻方，幻和記為S。

定義2[1]設(shè)矩陣A=(aij)n×n∈{1，2，…，n2}，n∈N*，若矩陣A滿足以下條件：

②(11…1)1×m(aij)m×n=Sl(11…1)1×n；

⑤Sc=Sl=Smd=Scd。

則稱矩陣A=(aij)m×n為Z上的n階始元和幻方，幻和記為S。

2 主要結(jié)論

定義3 設(shè)矩陣A=(aij)n×n∈Zn×n，n∈N*，?u∈{0，1，…，n-1}，記p≡i+u(modn)，q≡n+1-u-i(modn)，若矩陣A滿足以下條件：

②(11…1)1×m(aij)m×n=Sl(11…1)1×n；

⑤Sc=Sl=Smd=Smd=Scd。

則稱矩陣A=(aij)m×n為Z上的n階完美和幻方，幻和記為S。

定義4 設(shè)矩陣A=(aij)n×n∈{1，2，…，n2}，n∈N*，?u∈{0，1，…，n-1}，記p≡i+u(modn)，q≡n+1-u-i(modn)，若矩陣A滿足以下條件：

②(11…1)1×m(aij)m×n=Sl(11…1)1×n；

⑤Sc=Sl=Smd=Smd=Scd。

則稱矩陣A=(aij)n×n為Z上的n階始元完美和幻方，幻和記為S。

所以矩陣B是完美和幻方，且B=(bij)n2×n2∈{1，2，…，n4}，則矩陣B為n2階始元完美和幻方，證畢。

例：給出5階完美和幻方A，構(gòu)造Dij，如下：

則矩陣B為25階始元完美和幻方，且幻和為7825。

3 小結(jié)

我們知道，單偶數(shù)階完美和幻方不存在，所以只能用奇數(shù)階完美和幻方構(gòu)造奇數(shù)階完美和幻方，或利用雙偶數(shù)階完美和幻方構(gòu)造雙偶數(shù)階完美幻方。幻方遵循一定的規(guī)律，而完美幻方遵循更強(qiáng)的規(guī)律，并且在我們的生活和科研中運(yùn)用很廣，希望有興趣的學(xué)者可以參與其中，使幻方得到更加廣泛的應(yīng)用。