雙連續(xù)n次積分C-半群與抽象Cauchy問(wèn)題的強(qiáng)解

杜雨亭，劉 瑞，王小霞

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

2003年，Kuhnemund F[1]在Banach空間上附加了一個(gè)比范數(shù)拓?fù)浯值木植客雇負(fù)?，使得半群在局部凸拓?fù)湎逻B續(xù)，從而提出雙連續(xù)半群的概念，半群理論得到進(jìn)一步發(fā)展。在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上，王文娟等在文獻(xiàn)[2-4]中提出了雙連續(xù)C-半群和雙連續(xù)n次積分C-半群的概念，并得到了一系列結(jié)果；另一方面，孫國(guó)正等在文獻(xiàn)[5-10]中研究了幾類半群在抽象柯西問(wèn)題中的應(yīng)用。所以本文將兩者結(jié)合起來(lái)，研究了雙連續(xù)n次積分C-半群與抽象柯西問(wèn)題的關(guān)系，進(jìn)一步推廣算子半群理論，擴(kuò)展其應(yīng)用領(lǐng)域，從而使算子半群理論更加完善。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X為Banach空間，X′為X的共軛空間。τ是X上由半范數(shù)族pτ所確定的并具有以下性質(zhì)的一個(gè)局部凸拓?fù)洹?/p>

(1)空間(X，τ)在‖·‖-有界集上序列完備。即每個(gè)‖·‖-有界柯西列在(X，τ)中收斂。

(2)τ拓?fù)涫潜取ぁ?拓?fù)浯智沂荋ausdorff拓?fù)洹?/p>

(3)空間(X，‖·‖)中的范數(shù)可以由空間(X,τ)′定義。即對(duì)每一x∈X，有

‖x‖=

sup{||:φ∈(X,τ)′,‖φ‖(X,τ)′≤1}。

記φ={φ∈(X,τ)′:‖φ‖(X,τ)′≤1}，L(X)表示空間(X，‖·‖)上線性有界算子全體。不失一般性，假設(shè)p(x)≤‖x‖,x∈X,p∈pτ。

定義1[4]設(shè)C∈L(X)且為單射，算子族

{T(t):t≥0}?L(X)，如果

(1)T(0)=0,T(t)C=CT(t),t≥0；

(2)對(duì)?x∈X，s,t≥0，有

T(t)T(s)x=

(3){T(t):t≥0}強(qiáng)τ-連續(xù)，即對(duì)每個(gè)x∈X，映射t→T(t)xτ-連續(xù)；

(4){T(t):t≥0}局部等度雙連續(xù)；

(5){T(t):t≥0}指數(shù)有界。

則稱{T(t):t≥0}為指數(shù)有界雙連續(xù)n次積分C半群。

定義2[4]設(shè){T(t):t≥0}∈G(n,M,ω,C)，對(duì)任意λ∈Λω，記

{x∈X,Cx∈Im[R(λ)]}。

線性算子A:D(A)?X→X定義為

Ax=[λ-R(λ)-1C]x,x∈D(A)。

則算子A稱為{T(t):t≥0}的生成元。

性質(zhì)1[4]設(shè){T(t):t≥0}∈G(n,M,ω,C)，A為{T(t):t≥0}的生成元，則以下結(jié)論成立：

(1)Im[R(λ)]?D(A)且

R(λ)(λ-A)?(λ-A)R(λ)=C，?λ∈Λω；

(2)T(t)Ax=AT(t)x,x∈D(A),t≥0；

(3)x∈D(A)且

考慮下列抽象柯西問(wèn)題

①

定義3 設(shè)A是雙連續(xù)n次積分C-半群{T(t):t≥0}∈G(n,M,ω,C)的無(wú)窮小生成元，u(t)∈C(I,X)，C稠值。若

(1)u(t)在I上幾乎處處τ-可微且

(2)u(t)在I上幾乎處處滿足①。

則稱u(t)是抽象Cauchy問(wèn)題①的強(qiáng)解。

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)A是雙連續(xù)n次積分C-半群{T(t):t≥0}∈G(n,M,ω,C)的無(wú)窮小生成元，C稠值，x∈X,f(t)∈L1(I,X)，定義

證明必要性：

設(shè)u(t)是抽象Cauchy問(wèn)題①的一個(gè)強(qiáng)解，記α(s)=T(t-s)u(s)，0≤s≤t≤T，則由定義3及性質(zhì)1知，對(duì)幾乎所有的s∈I有

T(t-s)(Au(s)+Cf(s))=

將其兩邊從0到t積分得

T(0)u(t)-T(t)u(0)=-T(t)x。

?

τ-y(n)(t)=u(t)。

所以y(n)(t)是①式的強(qiáng)解。

充分性：

故β(t)∈D(A)。

又由(A，D(A))是雙閉算子且

②

對(duì)②式關(guān)于t求n次導(dǎo)數(shù)得

且y(k)(0)=0,k=1，2，…,n-1。關(guān)于t再求一次導(dǎo)數(shù)得

由此可知，τ-y(n)滿足(1)且τ-y(n)(0)=x，故τ-y(n)是問(wèn)題①的強(qiáng)解。

定理2 設(shè)A是雙連續(xù)n次積分C-半群{T(t);t≥0}∈G(n,M,ω,C)的無(wú)窮小生成元，x∈D(An+1),f∈C(I,X),C稠值，定義x(t)=y(t)-C-1T(t)x，則問(wèn)題①存在強(qiáng)解的充分必要條件是下列條件之一成立：

(2)x(t)∈Cn(I,X),對(duì)幾乎所有的t∈I,

τ-x(n)(t)∈D(A),τ-Ax(n)(t)∈L1(I,X)。

證明(1)對(duì)x∈D(An+1)?D(A)，由性質(zhì)1得C-1T(t)x∈Cn+1(I,X)，再由定理1充要性成立。

(2)必要性顯然，下證充分性。

由已知得

x(n)(t)=y(n)(t)+(τ-C-1T(n)(t)x)，

③

又由x(t)∈Cn(I,X)得y(t)∈Cn(I,X),因?yàn)閤(n)(t)在I上幾乎處處τ-可微，由③式得y(n)(t)在I上幾乎處處τ-可微，從而

τ-Ay(n)(t)+Cf(t)-(τ-AC-1T(n)(t)x)=

τ-Ax(n)(t)+Cf(t)。

又因τ-Ax(n)(t)∈L1(I,X),可得

從而由(1)可知充分性成立。