第二類(lèi)與Gamma函數(shù)有關(guān)的Hardy型不等式的等價(jià)條件

鐘建華, 曾志紅, 陳燕清, 陳 強(qiáng)

(1. 廣東第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)系， 廣州 510303; 2. 廣東第二師范學(xué)院學(xué)報(bào)編輯部， 廣州 510303;3. 廣州市聚德中學(xué)， 廣州 510305; 4. 廣東第二師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)系， 廣州 510303)

(1)

其中，常數(shù)因子kp為最佳值.

當(dāng)k1(x,y)=1/(x+y)時(shí),kp=π/sin(π/p),式(1)變?yōu)榻?jīng)典Hardy-Hilbert積分不等式[2]:

(2)

近10余年來(lái)，根據(jù)分析理論及Hilbert型不等式理論，式(2)有很多重要推廣和應(yīng)用[3-8].

(3)

其中,常數(shù)因子φ(1/p)為最佳值.

2009年,文獻(xiàn)[9-10]給出了式(1)、(2)的一個(gè)重要的推廣:

k(ux,uy)=uk(x,y) (u,x,y>0)

(4)

其中,常數(shù)k(1)是最佳值.

(5)

其中,常數(shù)因子φ(σ)為最佳值. 當(dāng)σ=1/p時(shí),式(5)變成式(3).

2013年,文獻(xiàn)[11]通過(guò)增加一個(gè)特殊條件研究了式(4)及式(5)的等價(jià)形式:

(6)

h(u)=k

(7)

結(jié)合Γ函數(shù)[12]的性質(zhì),得到了一些與Γ函數(shù)有關(guān)的且為最佳常數(shù)因子的第二類(lèi)Hardy型積分不等式的幾個(gè)等價(jià)式.

1 重要引理

引理1若參數(shù),μ,β,γ,σ滿足γ>-1,σ,μ>-β,σ+μ=,h(u)如式(7)所定義,則

(8)

證明由引理?xiàng)l件及函數(shù)h(u)的性質(zhì),在積分過(guò)程中作變換u=ev,t=(μ+β)v,有

證畢.

當(dāng)σ=時(shí),有μ=0,k2(σ)=Γ(γ+1)/βγ+1.

引理2設(shè)h(u)如式(7)所定義,若,μ,β,γ,σ滿足引理1條件,如果存在常數(shù)M2>0,且任意函數(shù)f(x)和g(y)在(0,)上非負(fù)可測(cè),則不等式

(9)

成立,從而有σ=σ1,且M2≥k2(σ),這里,k2(σ)為式(8)所定義.

證明(應(yīng)用反證法)首先，假設(shè)σ1<σ,對(duì)于n≥1/(σ-σ1)(n),考察2個(gè)非負(fù)可測(cè)函數(shù)

設(shè)u=xy,得

(10)

則

J2∶=

設(shè)u=xy,μ1=-σ1,根據(jù)Fubini定理[13]及式(9),有

M2J2=M2n<.

(11)

綜上所述,可得σ=σ1，則μ=μ1,因此由式(11)推得

(12)

證畢.

2 主要結(jié)果

定理1若參數(shù),μ,β,γ,σ滿足引理1條件,h(u)如式(7)所定義,則以下命題等價(jià)：

(i)存在一個(gè)正常數(shù)M2,使當(dāng)(0,)上任意非負(fù)可測(cè)函數(shù)f(x)滿足時(shí),以下具有非齊次核的第二類(lèi)Hardy型積分不等式成立:

(13)

(ii)存在一個(gè)正常數(shù)M2,使當(dāng)(0,)上任意非負(fù)可測(cè)函數(shù)f(x)和g(y)滿足和時(shí),以下不等式成立：

(14)

證明(i)→(ii):若式(13)成立,由H?lder不等式[14],有

(15)

則由式(15)、(13)可得到式(14).

(ii)→(iii):由于式(14)成立,則(ii)滿足引理2的條件,則由引理2及式(9)可得到σ=σ1.

(iii)→(i):若σ=σ1成立,設(shè)u=xy,y>0,結(jié)合式(8),對(duì)以下的權(quán)函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算:

(16)

由加權(quán)的H?lder不等式[14]及式(16),當(dāng)y>0時(shí),有

(17)

假設(shè)存在y>0,使式(17)取等號(hào),則由文獻(xiàn)[15],必存在不全為零的常數(shù)A和B,使得

即式(13)成立,所以命題(i)～(iii)均等價(jià).

當(dāng)σ=σ1時(shí)，假設(shè)(i)、(ii)的常數(shù)因子M2≤k2(σ),則式(14)成立,從而式(9)成立. 這時(shí)由引理2得到M2≥k2(σ),由假設(shè)推出M2=k(σ),即式(14)的常數(shù)因子為最佳值. 式(13)的常數(shù)因子M2=k2(σ)也為最佳值,否則由式(15)及σ=σ1,得到式(14)的常數(shù)因子M2=k2(σ)不是最佳的,這是矛盾的. 證畢.

在定理1中,作變換y=1/Y,設(shè)G(Y)=Y×g(1/Y),μ=-σ,μ1=-σ1,然后把符號(hào)對(duì)[G(Y),Y]重新?lián)Q成[g(y),y],則有以下關(guān)于齊次核:

的第二類(lèi)Hardy型積分不等式：

推論1若參數(shù),μ,β,γ,σ滿足引理1條件,則以下命題等價(jià)：

(i)存在一個(gè)正常數(shù)M2,使當(dāng)(0,)上任意非負(fù)可測(cè)函數(shù)f(x)滿足時(shí),以下具有齊次核的第二類(lèi)Hardy型積分不等式成立：

(18)

(ii)存在一個(gè)正常數(shù)M2,使當(dāng)(0,)上任意非負(fù)可測(cè)函數(shù)f(x)和g(y)滿足和時(shí),以下不等式成立：

(19)

(iii)μ=μ1.

致謝：衷心感謝楊必成教授的細(xì)心指導(dǎo).