數(shù)學(xué)分析中定積分的求解方法

羅睿 貴州民族大學(xué)

幾何定義：可以理解為在Oxy坐標(biāo)平面上，由曲線y=f(x)與直線x=a,x=b以及x軸圍成的曲邊梯形的面積值（一種確定的實(shí)數(shù)值）。

一、提出背景

在生活中，很多與我們?nèi)粘Ｉ钕⑾⑾嚓P(guān)的問(wèn)題需要用數(shù)學(xué)來(lái)解決，以面積為例，比如買房子時(shí)需要計(jì)算面積，而面積怎么計(jì)算就是數(shù)學(xué)的知識(shí)。而通常，能夠通過(guò)具體的公式來(lái)計(jì)算的都是規(guī)則的平面或立體圖形，而那些不規(guī)則的圖形面積又怎么計(jì)算呢？基于此，為了解決就提出了定積分的概念。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，就是利用極限的思想，將曲邊梯形分解成若干小矩形，那么曲邊梯形的面積就近似等于這些小矩形面積之和，分割越精細(xì)，近似程度越高。故為了得到更加精確的接近曲邊梯形面積的近似值，必須用到極限這個(gè)工具，即小矩形的個(gè)數(shù)n要趨于無(wú)窮。

二、定積分的定義及線性性質(zhì)

設(shè)f(x)是定義在[a,b]上的函數(shù)，在(a,b)中任意插入若干分點(diǎn)（這里插入n-1個(gè)），a=x0＜x1＜…＜x(n-1)＜xn=b來(lái)劃分[a,b],在每一個(gè)部分區(qū)間[x(i-1),xi]中任取一點(diǎn)ξi，作和式，其中，Δxi=xi-x(i-1)，設(shè)λ為Δxi(i=1,2......n)中的最大數(shù)，即λ=max{Δxi}，(i=1,2......n)，當(dāng)λ→0時(shí)，如果和式σ的極限存在，即，且此極限不依賴于ξi的選擇，也不依賴于對(duì)[a,b]的分法，就稱此極限值為f(x)在[a,b]上的定積分，

三、定積分的求解方法

（一）湊微分法

這種換元法就稱為湊微分法。

（二）換元積分法

換元公式：f(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，作代換x=φ(t),其中φ(t)在閉區(qū)間[α,β]上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)φ,(t)，當(dāng)α≤t≤β時(shí)，a≤φ(t)≤b，換元積分通常分為代數(shù)換元與三角換元。對(duì)于換元積分，其實(shí)和湊微分的基本思想是一致的。

換元積分的思想就是通過(guò)一些簡(jiǎn)單的代換來(lái)計(jì)算一些復(fù)雜的積分，通常大部分的積分是不能直接計(jì)算的，都需要通過(guò)一些特殊的技巧來(lái)求，有些甚至不止作一次代換。

（三）分部積分法

不定積分中，對(duì)于可微函數(shù)u(x)和v(x)，有（u v）,=u,v+u v,，則有u v,=（uv）,-u,v，兩端作不定積分的運(yùn)算，得，即，我們就把（1）式稱為分部積分公式。而對(duì)于定積分來(lái)說(shuō)，如果u,(x) ,v,(x)在[a,b]上連續(xù)，則。這就是定積分的分部積分公式。

定積分的應(yīng)用不僅僅是求解題目，更得和現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來(lái)，當(dāng)然，前提是求解出結(jié)果。對(duì)于任意給定的定積分，求解思路萬(wàn)變不離其宗，注意觀察選取合適的方法求解，因?yàn)楹芏嗟那蠼夥椒ú⒉晃ㄒ籟3]。

四、結(jié)語(yǔ)

本文主要通過(guò)湊微分法、換元積分法、分部積分公式及其他例子介紹如何求解定積分。定積分是積分的一種，是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上積分和的極限。一個(gè)函數(shù)，可以存在不定積分，而不存在定積分；也可以存在定積分，而不存在不定積分。一個(gè)連續(xù)函數(shù)，一定存在定積分和不定積分；若只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則定積分存在；若有跳躍間斷點(diǎn)，則原函數(shù)一定不存在，即不定積分一定不存在。