基于STEM教育理念的《曲邊梯形的面積》教學及啟示

竺屹　袁智強

摘要：基于STEM教育理念，以“6E”教學模式為框架，融入工程問題和物理知識以及數(shù)學史，運用GeoGebra軟件，設(shè)計和實施了《曲邊梯形的面積》一課教學，引導學生從實際問題出發(fā)探究知識本質(zhì)，從“割圓術(shù)”出發(fā)探究曲邊梯形面積的計算方法，并通過技術(shù)的運用體會“以直代曲”“無限逼近”的數(shù)學思想，再利用知識遷移啟發(fā)思考、拓展應(yīng)用。得到的教學啟示有：尋找實際問題，凸顯STEM教育應(yīng)用價值;重視技術(shù)應(yīng)用，體現(xiàn)STEM教育時代特征;實現(xiàn)交叉融合，達成STEM教育培養(yǎng)目標。

關(guān)鍵詞：STEM教育“6E”教學模式GeoGebra《曲邊梯形的面積》

進入21世紀，我國的綜合實力日益強盛，但核心技術(shù)受制于人的局面沒有得到根本性改變。2018年1月，《國務(wù)院關(guān)于全面加強基礎(chǔ)科學研究的若干意見》印發(fā)，指出要加強基礎(chǔ)科學研究，促進自然科學、人文社會科學等不同學科間的交叉融合。2018年9月，《教育部等六部門關(guān)于實施基礎(chǔ)學科拔尖學生培養(yǎng)計劃2.0的意見》印發(fā)，要求促進學科交叉、科教融合。2020年1月，《教育部關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學科招生改革試點工作的意見》印發(fā)，決定自2020年起，在部分高校開展基礎(chǔ)學科招生改革試點，這就是“強基計劃”?！皬娀媱潯敝饕x拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學科拔尖的學生;聚焦高端芯片與軟件、智能科技、新材料、先進制造和國家安全等關(guān)鍵領(lǐng)域以及國家人才緊缺的人文社會科學領(lǐng)域，由有關(guān)高校結(jié)合自身辦學特色，合理安排招生專業(yè);要突出基礎(chǔ)學科的支撐引領(lǐng)作用，重點在數(shù)學、物理、化學、生物以及歷史、哲學、古文字學等相關(guān)專業(yè)招生?？梢?，在中小學滲透以科學（Science）、技術(shù)（Technology）、工程（Engineering）和數(shù)學（Mathematics）為主的學科交叉融合教育（即STEM教育）理念變得越來越重要了。

目前，我國中小學開展STEM教育還面臨著很多困難，不少學校的STEM課程是不加修改直接引自國外的。然而，我國的教學模式和國外的教學模式有著較大的差別，生搬硬套國外的教學模式未必能起到較好的效果。因此，在開發(fā)STEM課程的同時，更應(yīng)該尋找國外STEM教學模式與我國分科式教學模式的“中間地帶”，在常規(guī)課程（如中學數(shù)學課程）中融入跨學科的STEM教育理念，培養(yǎng)學生的理工科綜合思維。

根據(jù)上述想法，筆者基于STEM教育理念，以“6E”教學模式為框架，融入工程問題和物理知識以及數(shù)學史，運用GeoGebra軟件，設(shè)計和實施了《曲邊梯形的面積》一課教學，引導學生從實際問題出發(fā)探究知識本質(zhì)，從“割圓術(shù)”出發(fā)探究曲邊梯形面積的計算方法，并通過技術(shù)的運用體會“以直代曲”“無限逼近”的數(shù)學思想，再利用知識遷移啟發(fā)思考、拓展應(yīng)用。

一、設(shè)計思路

“6E”教學模式是在“5E”教學模式的基礎(chǔ)上修改與拓展建立的，教學過程主要包括情境引入（Engage）、科學探究（Explore）、原理解釋（Explain）、數(shù)學實驗（Experiment）、模型精致（Elaborate）和總結(jié)評價（Evaluate）六個環(huán)節(jié)?；谶@一模式，本節(jié)課的教學分為六步：

（1）介紹大橋側(cè)截面面積對側(cè)面抗風能力的影響，提出實際問題，讓學生對曲邊梯形有一個初步的認識，激發(fā)學生的好奇心。

（2）讓學生通過小組合作的方式初步探索曲邊梯形面積的求解方法，培養(yǎng)學生的合作學習能力;然后由學生分享探究結(jié)果，培養(yǎng)學生的語言表達能力。

（3）通過GeoGebra軟件展示“割圓術(shù)”，總結(jié)思想方法，引導學生類比歸納出曲邊梯形面積的求解方法。

（4）引導學生利用GeoGebra軟件求解曲邊梯形的面積，感受不足近似值與過剩近似值之間的關(guān)系，力圖對逼近過程有更直觀的理解。

（5）引導學生利用獲得的數(shù)學模型，通過GeoGebra軟件解決課始提出的問題;然后介紹曲邊梯形面積的求解方法在其他領(lǐng)域的應(yīng)用，促進學生遷移知識，對定積分形成初步認識。

（6）進行總結(jié)性評價，使教師與學生分別對各自的教與學有清晰的認識，促進教學與學習能力的發(fā)展。

二、實施過程

（一）視頻賞析，情境引入

教師帶領(lǐng)學生觀看視頻，了解創(chuàng)造了四項世界紀錄的湘西矮寨大橋（圖1為大橋側(cè)面照片）。

然后，用問題驅(qū)動法引入曲邊梯形概念——

師如果用一個平行于橋側(cè)面的平面去截大橋，會得到什么樣的平面圖形呢？哪位同學能上臺把圖形畫在黑板上？

（一位學生上臺在黑板上畫出圖2。）

師非常好！這就是我們今天要學習的曲邊梯形。（出示圖3）把這個圖形放到平面直角坐標系中，就可以得到曲邊梯形的解析定義：由直線x=a、x=b（a≠b）、y=0和曲線y=f（x）所圍成的圖形。

接著，提出求曲邊梯形面積的實際問題——

已知懸索橋側(cè)截面的上邊界是拋物線，由于側(cè)截面面積對側(cè)面抗風能力有一定的影響，所以，工程師需要算出大橋的側(cè)截面面積。湘西矮寨大橋全長1176米，高度330米，懸索最低點與橋面的距離為2米，你能幫助工程師算出矮寨大橋的側(cè)截面面積嗎？

（二）小組合作，科學探究

學生以小組為單位合作探究如何計算矮寨大橋的側(cè)截面面積。小組討論后，全班分享各組的方法——

生（出示圖4）可以連接曲邊梯形的兩個上端點，用梯形的面積代替曲邊梯形的面積。

師這位同學想到了用梯形的面積來代替曲邊梯形的面積，可是誤差是不是有些大了？其他同學有沒有能使誤差更小的方法？

生（出示圖5）我們認為，可以將整體面積分為一個矩形和另一個特殊的曲邊梯形（曲邊三角形）。矩形的面積可以求出，但是特殊曲邊梯形面積的求解有些困難，我們還無從下手。

師這位同學將面積分為了兩部分，其中一部分容易求解，另一部分較難求解。

生老師，我們有好方法。（出示圖6）我們可以先將曲邊梯形一分為二，再用梯形來代替每一個小曲邊梯形，這樣就可以減小誤差了。如果分得更細，則誤差會更小。

師這位同學為我們提供了非常好的思路。我們可以先分割，再近似代替，這樣就可以減小誤差了。

（三）歷史介紹，原理解釋

教師引領(lǐng)學生走進歷史，回顧古人的思想方法——

師其實，這位同學的思路和我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽的思想如出一轍。哪位同學還記得劉徽計算的是哪種圖形的面積？

生圓。

師他使用的是什么方法？

生（遲疑）割圓術(shù)。

師沒錯，我國古代數(shù)學家劉徽用“割圓術(shù)”求出了圓的面積。

然后，帶領(lǐng)學生回顧“割圓術(shù)”的步驟：（1）將圓等分成n個小扇形;（2）用小三角形的面積近似代替小扇形的面積;（3）求小三角形的面積之和（即正多邊形的面積）;（4）隨著n的不斷增大，正多邊形的面積不斷逼近圓的面積。其中，用圓內(nèi)接正n邊形的面積代替圓的面積，稱作“不足近似值”;用圓外切正n邊形的面積代替圓的面積，稱作“過剩近似值”。

接著，用GeoGebra軟件演示“割圓術(shù)”中隨著n的增大，圓內(nèi)接和外切正n邊形面積逐漸逼近圓面積的過程（如圖7）。

最后，引導學生總結(jié)出劉徽的“割圓術(shù)”體現(xiàn)的“以直代曲”“無限逼近”的數(shù)學思想后，利用這一思想，從特殊的情況出發(fā)，探究直線x=0、x=1、y=0和拋物線y=x2所圍成的曲邊梯形的面積的求法——

1.分割。

師采用什么方式分割？

生可以在x軸上將[0，1]等分為n個小區(qū)間。

生也可以在y軸上將[0，1]等分為n個小區(qū)間。

師非常好！我們不妨以x軸為例來分割。（出示下頁圖8）分割后的n個小區(qū)間分別是——

師你發(fā)現(xiàn)了什么？

生兩種近似值的極限相同。

師這就說明了，無論采用小矩形、大矩形還是梯形來近似代替曲邊梯形，最終得出的面積都是一樣的。通過上述方法，我們得到了曲邊梯形的面積。這一方法的核心是四個步驟：分割、近似代替、求和、取極限。

（四）技術(shù)整合，數(shù)學實驗

教師引導學生利用GeoGebra軟件，體會動態(tài)逼近的過程，驗證上述結(jié)論的正確性——

首先，在指令欄中輸入“x^2”，并設(shè)置頁面屬性使繪圖區(qū)只顯示函數(shù)自變量取值在0—1的部分。

然后，點擊“滑動條”，并在繪圖區(qū)單擊創(chuàng)建滑動條，在彈出的對話框中設(shè)置名稱為“a”，類型為“整數(shù)”，區(qū)間為1到500，增量為1。

接著，在指令欄中輸入求下和（不足近似值）指令“Lower Sum（f，0，1，a）”。拖動滑動條逐漸增加a的取值，記錄下不足近似值隨矩形個數(shù)增加的變化趨勢（如表1）。

最后，在代數(shù)區(qū)隱藏不足近似值，并在指令欄中輸入求上和（過剩近似值）指令“Upper Sum（f，0，1，a）”。拖動滑動條逐漸增加a的取值，記錄下過剩近似值隨矩形個數(shù)增加的變化趨勢（如表2）。

（五）遷移啟思，模型精致

教師對“分割—近似代替—求和—取極限”的模型加以拓展，指出此模型是求不規(guī)則圖形面積的一般方法。

然后，回到課始的實際問題，請學生運用這一方法，利用GeoGebra軟件，計算矮寨大橋的側(cè)截面面積：首先，以橋中心為原點建立直角坐標系，由已知條件可以求出矮寨大橋懸索上邊界的函數(shù)表達式為y=0.00095x2+2;其次，在GeoGebra軟件中，運用不足近似值計算得到矮寨大橋的側(cè)截面面積約為130335.57平方米（如圖11）。

接著，引導學生思考計算曲邊梯形面積的數(shù)學模型在其他領(lǐng)域的應(yīng)用——

師大家現(xiàn)在都知道了計算曲邊梯形面積的方法，那么，這種方法還可以運用在哪些實際問題中呢？

生可以計算變速運動中的位移，只需要畫出vt圖。

生還可以求變力做功。

師非常好！那老師就給大家布置一道課后作業(yè)題。

（出示作業(yè)題：某汽車在道路上直線行駛，前8秒鐘的vt圖如圖12所示，已知兩段曲線都為拋物線，求在這8秒中汽車開了多遠？答案保留整數(shù)。）

師其實，農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中常用的土地面積測量儀也是以計算曲邊梯形面積的方法為原理進行工作的。而且，牛頓和萊布尼茲利用計算曲邊梯形面積的思想方法創(chuàng)立了微積分，極大地推動了數(shù)學的發(fā)展，也推動了力學、工程等學科的發(fā)展。

（六）自我反思，總結(jié)評價

教師帶領(lǐng)學生回顧本節(jié)課學習的主要內(nèi)容，并且再次歸納求曲邊梯形面積的四個步驟：（1）分割——化整為零;（2）近似代替——以直代曲;（3）求和——積零為整;（4）取極限——無限逼近。同時，再次明確其中蘊含的重要數(shù)學思想就是“以直代曲”“無限逼近”。

最后，教師與學生對整個探究過程的各個環(huán)節(jié)提出修改意見，并對各個環(huán)節(jié)表現(xiàn)比較好的小組給予積極的評價——當然，評價貫穿于整節(jié)課，即在每個環(huán)節(jié)都給出階段性評價，最后再給出總結(jié)性評價。

三、教學啟示

（一）尋找實際問題，凸顯STEM教育應(yīng)用價值

本節(jié)課的教學由實際的工程情境引入，并將數(shù)學知識遷移運用到物理領(lǐng)域的位移計算和生活中的土地測量中，可以有效引導學生認識數(shù)學在科學技術(shù)和社會發(fā)展中的作用，感悟數(shù)學的價值，提升學生的科學精神、人文素養(yǎng)和應(yīng)用意識。要自然地將STEM教育的理念融入常規(guī)課堂，還需盡可能地挖掘各種素材，將工程、科學與數(shù)學知識融為一體，在實際問題的解決中培養(yǎng)學生的數(shù)學建模素養(yǎng)，凸顯STEM教育的應(yīng)用價值。

（二）重視技術(shù)應(yīng)用，體現(xiàn)STEM教育時代特征

通過本課例不難看出，GeoGebra等軟件能幫助學生感受無限分割與無限逼近的動態(tài)過程，使數(shù)學知識達到“可視化”的效果。也就是說，教育技術(shù)深入到學科中可以幫助學生更加深刻地理解學科內(nèi)涵。在當今“互聯(lián)網(wǎng)+”時代，信息化教學技能是教師必須掌握的核心技能之一。學校應(yīng)當以教育技術(shù)培訓為依托，培養(yǎng)教師實施信息技術(shù)與學科教學深度融合的信息化教學能力。在教學設(shè)計中，教師要以信息技術(shù)支持的跨學科教育為切入點，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力，體現(xiàn)STEM教育的時代特征。

（三）實現(xiàn)交叉融合，達成STEM教育培養(yǎng)目標

學科交叉融合已經(jīng)成為科技和教育發(fā)展的重要趨勢。STEM教育能夠為學生提供充分的機會，有效地發(fā)展多元的思維方式。因此，學校和教師應(yīng)當正確認識STEM教育的內(nèi)涵與意義，結(jié)合我國國情，尋找數(shù)學與工程、科學知識的整合點，系統(tǒng)地進行課程開發(fā)與研究;在教學設(shè)計中，既保留傳統(tǒng)教學內(nèi)容，又結(jié)合科學與工程知識，并且運用信息技術(shù)，搭建起各學科之間的橋梁，實現(xiàn)多學科的交叉融合;同時，著力建設(shè)STEM教育的評價體系，從而達成STEM教育的培養(yǎng)目標——通過跨學科的教學培養(yǎng)具備理工科綜合思維的創(chuàng)新型人才。

參考文獻：

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