分布階最優(yōu)控制問題的Petrov-Galerkin譜方法數(shù)值模擬

宋家斌 周兆杰

(山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,250358,濟(jì)南)

1 引 言

設(shè)Λ=(-1,1),考慮如下控制問題：

(1)

(2)

分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題廣泛應(yīng)用于地下水污染等實(shí)際工程問題中. 隨著分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值方法和算法的發(fā)展[1-5], 分?jǐn)?shù)階最優(yōu)控制問題的數(shù)值方法的研究引起眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注， 例如有限元方法[6,7]、配置法[8]以及譜伽遼金法[9]等. 然而, 據(jù)我們所知, 關(guān)于分布階分?jǐn)?shù)階微分方程最優(yōu)控制問題數(shù)值方法的文獻(xiàn)很少. 在文獻(xiàn)[9]中,建立了分布階最優(yōu)控制問題的譜配置法. 在文獻(xiàn)[10]中,采用雅可比-高斯-勒貝格積分公式建立了分布階最優(yōu)控制問題的偽譜方法.

本文旨在建立求解分布階微分方程最優(yōu)控制問題的Petrov-Galerkin(PG)離散化格式, 利用第一類廣義雅可比多項(xiàng)式逼近狀態(tài)變量, 第二類廣義雅可比多項(xiàng)式逼近伴隨變量,采用先最優(yōu)后離散的策略構(gòu)造了PG譜方法離散格式. 在第二節(jié), 給出了一些必要的微分學(xué)預(yù)備知識；第三節(jié)中,推導(dǎo)了最優(yōu)控制問題的PG格式；最后,通過數(shù)值算例說明了該算法的有效性.

2 預(yù)備知識

在這一部分,首先回顧分?jǐn)?shù)階微積分的有關(guān)概念.設(shè)n=「α?, 這里「α?表示大于或等于α的最小整數(shù).

引理1[11]對任意的α∈(0,1], 如果f∈H1(Λ), 使得y(-1)=0并且v∈Hα/2(Λ), 則有

下面引入分布階索布列夫空間以及廣義雅可比多項(xiàng)式. 設(shè)Hφ(R)表示在R上的分布階索布列夫空間, 其范數(shù)定義為[5]：

引理2[5]假設(shè)α,μ>0且i=1,2, 則有

3 Petrov-Galerkin 近似

在這一部分中,將通過先最優(yōu)后離散的策略建立最優(yōu)控制問題(1)的PG方法.

3.1離散格式設(shè)試探函數(shù)空間和檢驗(yàn)函數(shù)空間分別為

U={v|v∈Hφ(Λ),v(-1)=0},V={w|w∈Hφ(Λ),w(1)=0},

并滿足

根據(jù)文獻(xiàn)[5], 可知雙線性形式a(p,q)滿足inf-sup條件, 再由引理1, 最優(yōu)控制問題(1)和(2)的弱形式可改寫為

(3)

并且滿足下面的等式：

a(y,v)=(f(t)+u(t),v),?v∈V.

(4)

為了推導(dǎo)連續(xù)的一階最優(yōu)性條件,定義拉格朗日泛函為

L(y,z,u):=J(y,u)+(f(t)+u(t),z)-a(y,z),

其中z∈V. 然后分別在(y,z,u)方向?qū)(y,z,u)求導(dǎo). 注意到

并且

總結(jié)上面的方程,得出連續(xù)的一階最優(yōu)性條件為

(5)

注意到積分約束條件,(5)式中的不等式可以改寫為

(6)

其中|Λ|表示Λ的測度. 另外通過分部積分, 由伴隨方程可得

(7)

為了建立PG方法的格式, 引入如下有限維的子空間

這里分別采用第一類和第二類廣義雅可比多項(xiàng)式逼近狀態(tài)變量和伴隨變量. 由此得出離散分布階最優(yōu)控制問題的PG格式為

(8)

其中g(shù)(vN)=(f+uN,vN),l(wN)=(yN-yd,wN). 與連續(xù)的情況類似,可知

(9)

3.2數(shù)值實(shí)現(xiàn)本節(jié)考慮在一般區(qū)間[0,T]的最優(yōu)控制問題.將一般區(qū)間[0,T]映射到標(biāo)準(zhǔn)的區(qū)間[-1,1][5],可得

其中

(10)

下一步處理α, 從[αmin,αmax]到[-1,1]作映射如下：

然后利用高斯-勒讓德求積公式得到

(11)

其中

(12)

(13)

其中

skn中的積分可以通過下列以(1+ξ)ηj(1-ξ)ηj為權(quán)函數(shù)的高斯-雅可比-洛巴特?cái)?shù)值積分公式求解.

與狀態(tài)方程一樣, 伴隨方程類似可得

(14)

其中

根據(jù)最優(yōu)不等式(9),可得

(15)

注意, 這里仍然采用權(quán)函數(shù)為(1-ξ)μ的高斯-雅可比-洛巴特?cái)?shù)值積分公式.

4 數(shù)值算例

在這一節(jié)中,通過一個(gè)數(shù)值算例證明PG格式的穩(wěn)定性.

算例1設(shè)問題(1)和(2)中的y,z,u定義如下：

這里T=1,γ=1,α∈(0,1],μ=0.5,φ(α)=Γ(p+1-α)sin(h(α)),右端項(xiàng)f和yd可以通過計(jì)算求出.

可以通過選擇不同的p值獲得光滑解(p=0.5)或不光滑解(p=3).狀態(tài)變量、伴隨變量以及控制變量的精確解與數(shù)值解如圖1和圖2所示.

圖1 p=0.5時(shí)，y,u,z的數(shù)值解與精確解

圖2 p=3時(shí)，y,u,z的數(shù)值解與精確解

表1 p=0.5對應(yīng)的狀態(tài)、控制和伴隨變量的誤差及誤差階

表2 p=3對應(yīng)的狀態(tài)、控制和伴隨變量的誤差及誤差階

當(dāng)p=0.5或p=3時(shí)，狀態(tài)變量、控制變量以及伴隨變量的誤差及誤差階分別如表1和表2所示. 可以看出，變量的收斂速度與解的正則性有關(guān)，這意味著PG譜方法具有光譜收斂速度.