結(jié)構(gòu)力學(xué)求解器在力學(xué)與結(jié)構(gòu)中應(yīng)用探討

鄭元鋒

（福建水利電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院，福建 永安，366000）

1 引言

結(jié)構(gòu)力學(xué)求解器[1]是一個(gè)面向教師、學(xué)生及工程技術(shù)人員的結(jié)構(gòu)計(jì)算分析軟件。軟件包括編輯器與觀覽器兩個(gè)窗口，其界面簡(jiǎn)潔，操作方便。該軟件具有建?？焖佟⒅庇^，求解顯示準(zhǔn)確、美觀等特點(diǎn)。在建筑力學(xué)與建筑結(jié)構(gòu)中，常用結(jié)構(gòu)力學(xué)求解器[2]來解決力學(xué)與結(jié)構(gòu)問題，

本文探討結(jié)構(gòu)力學(xué)求解器在應(yīng)用中遇到的一些問題，以及如何應(yīng)用結(jié)構(gòu)力學(xué)求解器快速求解建筑力學(xué)與建筑結(jié)構(gòu)中常用結(jié)構(gòu)[3]的內(nèi)力系數(shù)。為敘述方便，下面將“結(jié)構(gòu)力學(xué)求解器”簡(jiǎn)稱為“求解器”。

2 求解器求解結(jié)構(gòu)內(nèi)力的步驟

應(yīng)用求解器繪制（或求解）結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖（或截面內(nèi)力）分兩步：第一步，建立結(jié)構(gòu)模型；第二步，求解顯示內(nèi)力圖（或截面內(nèi)力）。

結(jié)構(gòu)建模步驟：定義結(jié)點(diǎn)→定義單元→位移約束→荷載條件→材料性質(zhì)（超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算時(shí)）。

內(nèi)力圖顯示步驟：求解→內(nèi)力計(jì)算→內(nèi)力顯示。

3 求解器在建筑力學(xué)中應(yīng)用探討

下面通過一些實(shí)例，來探討求解器在建筑力學(xué)內(nèi)力計(jì)算中的應(yīng)用。

3.1 拱的內(nèi)力計(jì)算

拱屬于曲桿，拱截面內(nèi)力計(jì)算復(fù)雜，手工計(jì)算繪制拱的內(nèi)力圖更是一個(gè)龐大而煩瑣的工程。采用求解器計(jì)算拱內(nèi)力[4]，目前也只是近似計(jì)算，其方法是采用分段的直桿近似代替拱（曲桿）。如何提高求解器計(jì)算拱內(nèi)力的相對(duì)精度？其要點(diǎn)：一是適當(dāng)增加拱的分段數(shù)；二是拱上有集中荷載、集中力偶或分布荷載的兩端點(diǎn)必須是分段點(diǎn)。下面是同一拱結(jié)構(gòu)，通過兩種不同分段數(shù)來比較拱的內(nèi)力（軸力、剪力與彎矩）。

實(shí)例一：試?yán)L制圖1 所示三鉸拱的內(nèi)力圖，并求D 截面的內(nèi)力。拱軸為二次拋物線，其拱軸線方程為。拱上荷載q=2k N/m，F(xiàn)=6kN。

圖1 三鉸拱

下面應(yīng)用求解器[1]建立上述三鉸拱模型并顯示內(nèi)力圖。

情況一：拱跨沿水平方向（x 向）等分為八段。圖中1，2……9 為分段節(jié)點(diǎn)號(hào)，拱的內(nèi)力圖如下圖2、圖3、圖4 所示。

圖2 拱軸力圖——圖（kN）

圖3 拱剪力圖——圖（kN）

圖4 拱彎矩圖——圖（kN·m）

情況二：拱跨沿水平方向（x 向）等分為十六段。圖中1，2……17 為分段節(jié)點(diǎn)號(hào)，拱的內(nèi)力圖如下圖5、圖6、圖7 所示。

圖5 拱軸力圖——圖（kN）

圖6 拱剪力圖——圖（kN）

圖7 拱彎矩圖——

圖（kN·m）

應(yīng)用求解器求得拱D 截面內(nèi)力值如下：

情況一：

情況二：

比較上述兩種不同分段拱的內(nèi)力圖可知：當(dāng)拱的分段數(shù)越多時(shí)，其內(nèi)力值越接近拱內(nèi)力精確值；拱的分段數(shù)對(duì)拱的剪力影響更大。

3.2 采用符號(hào)表示的結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算

在建筑力學(xué)或建筑結(jié)構(gòu)中，常遇到用符號(hào)表示桿件長(zhǎng)度與荷載的結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖，應(yīng)用求解器又該如何繪制或計(jì)算結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖？下面通過實(shí)例二來說明。

實(shí)例二：試?yán)L制圖8 所示結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖（剪力圖與彎矩圖）。

圖8 實(shí)例二計(jì)算簡(jiǎn)圖

實(shí)例二采用求解器建模[5]時(shí)，其方法是：

取a=1，q=1，則桿件長(zhǎng)度取2a=2，4a=4，a=1；荷載取q=1，3qa=3，2qa2=2。

繪制（顯示）內(nèi)力時(shí)，桿件實(shí)際內(nèi)力值為：

剪力實(shí)際值為計(jì)算值*qa（即V實(shí)=V計(jì)*qa）。

彎矩實(shí)際值為計(jì)算值*qa2（M 實(shí)=M計(jì)*qa2）。實(shí)例二采用求解器顯示其內(nèi)力圖如圖9、圖10 所示。

圖9 剪力圖——圖（*qa）

圖10 彎矩圖——圖（*qa2）

對(duì)于以下實(shí)例三（圖11），若未知長(zhǎng)度a 與b，荷載q 與F、m1之間的具體比例關(guān)系，則無法應(yīng)用求解器建立結(jié)構(gòu)模型，當(dāng)然也無法計(jì)算內(nèi)力或繪制內(nèi)力圖。

圖11 實(shí)例三計(jì)算簡(jiǎn)圖

3.3 單跨超靜定結(jié)構(gòu)系數(shù)計(jì)算

在建筑力學(xué)[6]或工程力學(xué)[7]中，采用位移法或力矩分配法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力時(shí)，須用到“等截面單跨超靜定梁的形常數(shù)和載常數(shù)”（桿端彎矩與桿端剪力），計(jì)算時(shí)通常直接查表使用。對(duì)表中的數(shù)值（桿端彎矩與桿端剪力），也可采用求解器計(jì)算所得。

下面選擇表[7]中兩個(gè)實(shí)例，采用求解器來驗(yàn)證表中的數(shù)值。習(xí)慣將梁因單位位移引起的端內(nèi)力稱為形常數(shù)；將梁因荷載引起的端內(nèi)力稱為載常數(shù)。

（1）形常數(shù)求解

實(shí)例四（圖12）：兩端固定的AB 桿件在A 端發(fā)生單位轉(zhuǎn)角（φA=1），桿件長(zhǎng)為l，抗彎剛度為EI，求桿端彎矩值（MAB與MBA）及桿端剪力值（VAB與VBA）。

圖12 實(shí)例四結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖

采用求解器建立結(jié)構(gòu)模型時(shí)，其方法是：

求解→內(nèi)力計(jì)算→內(nèi)力顯示，得到以下剪力圖（圖13）與彎矩圖（圖14）。

圖13 剪力圖--圖（*EI/l2）

圖14 彎矩圖--圖（*EI/l）

根據(jù)桿端內(nèi)力正負(fù)號(hào)規(guī)定：桿端彎矩以順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎鏁r(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù)；桿端剪力以使桿件順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)為正，反之為負(fù)。從圖14 彎矩圖與圖13 剪力圖可知：

（2）載常數(shù)求解

圖15 實(shí)例五結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖

采用求解器建立結(jié)構(gòu)模型時(shí)，其方法是：

求解→內(nèi)力計(jì)算→內(nèi)力顯示，得到以下剪力圖（圖16）與彎矩圖（圖17）。

圖16 剪力圖——圖（*ql）

圖17 彎矩圖——圖（）

在上面的剪力圖與彎矩圖中，求解器軟件只顯示到小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)值，更準(zhǔn)確的數(shù)值可通過內(nèi)力計(jì)算中“桿端內(nèi)力值”或“單元內(nèi)力分析”計(jì)算，如下圖18 所示。

圖18 桿端內(nèi)力值

根據(jù)圖18，可知：

（四）構(gòu)件內(nèi)力圖顯示問題

實(shí)例六：如圖19 等截面三跨連續(xù)梁，每跨作用有兩個(gè)集中荷載，試?yán)L制其剪力圖。

圖19 三跨連續(xù)梁

采用求解器建立圖19 三跨連續(xù)梁模型。

求解→內(nèi)力計(jì)算→內(nèi)力顯示，得到以下剪力圖（圖20）。

圖20 剪力圖——圖

從圖20 剪力圖可知，該連續(xù)梁在中間跨的剪力圖顯示不正確。中間跨在集中荷載作用處剪力應(yīng)該是垂直突變的，但上面剪力圖顯示的是斜線漸變，其錯(cuò)誤原因是求解器軟件對(duì)桿件（單元）內(nèi)力圖顯示，默認(rèn)劃分段數(shù)為10 段而造成的。當(dāng)以上中間跨的分段點(diǎn)不在集中荷載作用時(shí)，這時(shí)顯示的構(gòu)件剪力圖就不正確。如何正確地顯示以上構(gòu)件剪力圖？采用的辦法是增加構(gòu)件內(nèi)力圖的分段數(shù)，具體操作步驟是“觀察器→設(shè)置→選項(xiàng)→劃分段數(shù)”。當(dāng)構(gòu)件內(nèi)力圖劃分為50 段時(shí)，其剪力圖如下圖21 所示：

圖21 剪力圖——（劃分為50 段時(shí)）

4 求解器在建筑結(jié)構(gòu)中應(yīng)用

4.1 連續(xù)梁的內(nèi)力系數(shù)

在各類《混凝土結(jié)構(gòu)》[8]或《混凝土結(jié)構(gòu)與砌體結(jié)構(gòu)》[9]的附錄表中，通常都附有“均布荷載和集中荷載作用下等跨連續(xù)梁的內(nèi)力系數(shù)表”，對(duì)附表中的數(shù)值，多數(shù)使用者只懂得查表計(jì)算，不知表中數(shù)值如何得到，更不關(guān)心表中數(shù)值是否正確。

下面以集中荷載作用下四跨連續(xù)梁為例，講解如何應(yīng)用求解器快速計(jì)算附表[8-9]中內(nèi)力系數(shù)值。

圖22 四跨連續(xù)梁（集中荷載）

實(shí)例七：試確定上圖22 集中荷載作用下四跨連續(xù)梁的內(nèi)力系數(shù)（彎矩系數(shù)與剪力系數(shù)）。

附表[9]中上圖四跨連續(xù)梁的內(nèi)力計(jì)算公式：應(yīng)用求解器建立四跨連續(xù)梁模型時(shí)，其方法是：取，集中荷載 作用在每跨三分點(diǎn)處。計(jì)算分析：當(dāng)時(shí)，則1=k1，V=k2P=k2×1=k2

以上計(jì)算可知，此時(shí)彎矩圖與剪力圖中對(duì)應(yīng)截面的彎矩值與剪力值就是相應(yīng)的內(nèi)力系數(shù)k1與k2值。

以下為求解器顯示的剪力圖（圖23）與彎矩圖（圖24）

圖23 四跨連續(xù)梁剪力圖——圖

圖24 四跨連續(xù)梁剪力圖——圖

在上面的剪力圖與彎矩圖中，軟件只顯示到小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)值，更精確的數(shù)值如下圖25 所示。

圖25 四跨連續(xù)梁桿端內(nèi)力值

桿件跨中截面的內(nèi)力值可通過上圖25 中“單元內(nèi)力分析”選擇“單元”與“距桿端1”的1/3 或2/3 處顯示，最后得到集中荷載作用下四跨連續(xù)梁內(nèi)力系數(shù)如下表1 所示。

表1 集中荷載作用下等跨連續(xù)梁內(nèi)力系數(shù)表（四跨）

（二）框架結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算

圖26 實(shí)例八框架結(jié)構(gòu)

在框架結(jié)構(gòu)[10]內(nèi)力計(jì)算中，其桿件抗彎剛度只需相對(duì)值即可。本例應(yīng)用求解器建模時(shí)，重點(diǎn)是確定桿件的抗彎剛度相對(duì)值即可）。由桿件線剛度定義（），可求出桿件的抗彎剛度（），即桿件與桿件的抗彎剛度（相對(duì)值），桿件的抗彎剛度（相對(duì)值）。

實(shí)例八應(yīng)用求解器建模程序如下：

TITLE,框架結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算

結(jié)點(diǎn),1,0,0

結(jié)點(diǎn),2,0,6

結(jié)點(diǎn),3,12,6

結(jié)點(diǎn),4,12,0

單元,1,2,1,1,1,1,1,1

單元,2,3,1,1,1,1,1,1

單元,3,4,1,1,1,1,1,1

結(jié)點(diǎn)支承,1,6,0,0,0,0

結(jié)點(diǎn)支承,4,6,0,0,0,0

單元荷載,1,3,4,0,1,90

單元材料性質(zhì),1,1,-1,6,0,0,-1

單元材料性質(zhì),2,2,-1,14.4,0,0,-1

單元材料性質(zhì),3,3,-1,6,0,0,-1

END

實(shí)例八框架結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖如下：

圖27 軸力圖——圖（kN）

圖28 剪力圖——圖（kN）

圖29 彎矩圖——圖（kN·m）

5 結(jié)語

本文從具體實(shí)例入手，一是探討了結(jié)構(gòu)力學(xué)求解器在結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算或繪制中遇到的一些問題，以及如何較好地解決這些問題；二是探討了如何應(yīng)用結(jié)構(gòu)力學(xué)求解器計(jì)算建筑力學(xué)與建筑結(jié)構(gòu)中各類系數(shù)（形常數(shù)、載常數(shù)、連續(xù)梁內(nèi)力系數(shù)）。