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    相關(guān)系數(shù)控制的致密油藏裂縫隨機(jī)表征和生成方法*

    2020-06-30 08:12:50趙玉云姜漢橋李俊鍵成寶洋
    中國海上油氣 2020年3期
    關(guān)鍵詞:指數(shù)分布均勻分布正態(tài)分布

    趙玉云 姜漢橋 李俊鍵 成寶洋 范 楨

    (1. 浙江理工大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系 浙江杭州 310018; 2. 中國石油大學(xué)(北京)油氣資源與探測國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 北京 102249)

    致密油是近年來發(fā)展起來的一種非常規(guī)油氣資源,在我國具有較豐富的儲量,合理有效地開采致密油可以帶來巨大的經(jīng)濟(jì)效益[1-6]。致密油藏中天然裂縫較發(fā)育[7],從天然露頭和巖心樣品的分析表明裂縫各參數(shù)服從一定的統(tǒng)計學(xué)規(guī)律[8]。同時天然露頭和地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)的分析表明,裂縫開度和長度等參數(shù)之間存在一定的相關(guān)性。目前裂縫的隨機(jī)表征方法僅僅考慮了裂縫各參數(shù)的隨機(jī)性,而忽略了這些參數(shù)之間的相關(guān)性[8]。這樣在做致密油藏數(shù)值模擬或者復(fù)雜縫網(wǎng)反演的時候,隨機(jī)生成的裂縫參數(shù)僅僅服從一定的統(tǒng)計分布,而不完全符合實(shí)際情況。

    因此,本文引入相關(guān)系數(shù)對各參數(shù)進(jìn)行控制,建立了基于相關(guān)系數(shù)控制的裂縫隨機(jī)表征方法,將裂縫參數(shù)的每一種隨機(jī)分布都轉(zhuǎn)化為均勻分布來生成,用半解析的方法得到了目標(biāo)相關(guān)系數(shù)和初始相關(guān)系數(shù)之間的關(guān)系,從而給出了相關(guān)系數(shù)控制下裂縫各參數(shù)的隨機(jī)生成方法。

    1 常用隨機(jī)表征方法及存在問題

    致密油藏天然露頭和巖心樣品的分析表明其天然裂縫較發(fā)育,而且裂縫各參數(shù)服從一定的統(tǒng)計學(xué)規(guī)律。

    從地球物理的角度來看,裂縫是地層內(nèi)聚力喪失的表現(xiàn),可以看作是地層破裂的結(jié)果[9],換言之,是地層不連續(xù)、某些物性參數(shù)發(fā)生突變的地方。從幾何角度來看,二維空間中的裂縫可以簡化為具有有限長度的線段。三維空間中的裂縫可以簡化為具有有限面積的多邊形或橢圓形。

    對于二維空間里面的單條裂縫,可以用中心點(diǎn)坐標(biāo)(xc,yc)、長度(L)、方位角(θ)和開度(w)來表征(圖 1)。

    圖1 單條裂縫的幾何參數(shù)表征Fig .1 Characterization of geometric parameters of a single fracture

    即一條裂縫可以用(xc,yc,θ,L,w)5個參數(shù)唯一確定。同時也可以用裂縫的2個端點(diǎn)坐標(biāo)和開度來表征一條裂縫,即(x1,y1,x2,y2,w),可見無論何種表征方法,參數(shù)的數(shù)量都是5。

    根據(jù)地質(zhì)統(tǒng)計學(xué),絕大多數(shù)儲層的裂縫各參數(shù)服從的統(tǒng)計學(xué)規(guī)律如表1[8]所示。

    表1 裂縫各參數(shù)及其服從的統(tǒng)計分布[8]Table 1 Various parameters of fractures and their statistical distribution[8]

    對于一組天然裂縫,傳統(tǒng)的裂縫隨機(jī)表征方法可以表示為如下5組隨機(jī)參數(shù)(axc,bxc)、(ayc,byc)、(μθ,σθ)、(μL,σL)、(μw,σw)。其中,(a,b)為均勻分布的最小值和最大值,(μ,σ)為正態(tài)分布、指數(shù)分布、對數(shù)正態(tài)分布的均值和方差,對于長度的(μL,σL),當(dāng)分布為均勻分布時,也分別指最小值和最大值。對于具體的一組天然裂縫,其參數(shù)為(xc,yc,θ,L,w)。

    但是,對于真實(shí)的裂縫,各參數(shù)之間存在一定的相關(guān)性,比如長度和開度,一般來說具有正相關(guān)性,即裂縫越長,其開度也越大。傳統(tǒng)的裂縫隨機(jī)表征方法忽略了這種參數(shù)之間的相關(guān)性。如表 2顯示的一組裂縫參數(shù),雖然長度和開度均服從對數(shù)正態(tài)分布,但是對于編號為1的裂縫,其長度最長,而開度卻最小,不太符合實(shí)際情況。

    因此傳統(tǒng)的裂縫隨機(jī)表征方法存在一定的缺陷,需要進(jìn)一步完善。

    表2 無相關(guān)系數(shù)控制下隨機(jī)生成的裂縫參數(shù)Table 2 Parameters of the fractures randomly generated without the control of correlation coefficient

    2 相關(guān)系數(shù)控制的裂縫隨機(jī)表征和生成方法

    2.1 相關(guān)系數(shù)控制的裂縫隨機(jī)表征方法

    在統(tǒng)計學(xué)中,相關(guān)系數(shù)也叫皮爾遜積-矩相關(guān)系數(shù),用來度量2個隨機(jī)變量或2組統(tǒng)計數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性,其值在-1和1之間。其定義如下:

    (1)

    (2)

    若ρXY=1則隨機(jī)變量X和Y呈完全正相關(guān),具體表現(xiàn)為X越大則Y越大,X越小則Y越小。若ρXY=-1則隨機(jī)變量X和Y呈完全負(fù)相關(guān),表現(xiàn)為X越大則Y越小,X越小則Y越大。類似的,若r=1則統(tǒng)計數(shù)據(jù)X和Y呈完全正相關(guān),若r=-1則統(tǒng)計數(shù)據(jù)X和Y呈完全負(fù)相關(guān)。

    對于裂縫的5個參數(shù),其兩兩之間的相關(guān)系數(shù)分別如表 3所示。

    表3 裂縫5個參數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)Table 3 Correlation coefficients between 5 parameters of fractures

    基于相關(guān)系數(shù)的控制,一組天然裂縫可以用如下參數(shù)表征:axc、bxc、ayc、byc、μθ、σθ、μL、σL、μw、σw、ρ(xc,yc)、ρ(xc,θ)、ρ(xc,L)、ρ(xc,w)、ρ(yc,θ)、ρ(yc,L)、ρ(yc,w)、ρ(θ,L)、ρ(θ,w)、ρ(L,w)。

    這種表征方法比傳統(tǒng)的表征方法多了相關(guān)系數(shù)的參數(shù),可以反映前面各參數(shù)之間的相關(guān)性。

    2.2 基于統(tǒng)計分布變換的裂縫隨機(jī)生成方法

    由于目前統(tǒng)計得到的裂縫各參數(shù)服從的分布只有均勻分布、正態(tài)分布、指數(shù)分布和對數(shù)正態(tài)分布4種分布,因此只需研究這4種分布的隨機(jī)數(shù)的生成即可。

    在統(tǒng)計學(xué)中,關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)是處理隨機(jī)變量相關(guān)性問題的一種方法。通過關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)來確定2個隨機(jī)變量聯(lián)合分布方法的思想為:將每個邊緣分布都轉(zhuǎn)換為平均分布,即由均勻分布的隨機(jī)數(shù)可以通過一定的變換法則得到任意分布的隨機(jī)數(shù),具體的變換法則如下:

    x=F-1(u)~F

    (3)

    式(3)中:u是服從均勻分布的隨機(jī)數(shù),F(xiàn)是想要得到的隨機(jī)數(shù)服從的分布函數(shù),則由變換法則x=F-1(u)得到的隨機(jī)數(shù)x服從分布F。因此為了得到服從分布F和G的隨機(jī)數(shù),只需要生成2組服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)u1和u2,再做變換x=F-1(u1)和y=G-1(u2)即可。但是,這樣得到的隨機(jī)數(shù)x和y是沒有相關(guān)系數(shù)控制的。為了得到相關(guān)系數(shù)為ρobj的分別服從分布F和G的隨機(jī)數(shù),初始生成的服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)u1和u2應(yīng)該滿足一定的相關(guān)系數(shù)ρu。

    事實(shí)上,要得到相關(guān)系數(shù)為ρu的隨機(jī)數(shù)并不是一件容易的事情,更多的時候需要借助服從正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)來實(shí)現(xiàn)。而由正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)得到均勻分布隨機(jī)數(shù)的變換法則恰好是變換法則(式(3))的逆變換,即

    u=Φ(z)~U

    (4)

    其中:z是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù);Φ是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)

    (5)

    因此基于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)的裂縫隨機(jī)生成方法包含如下3個步驟:①生成相關(guān)系數(shù)為ρ的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)z1和z2。②通過式(4)得到相關(guān)系數(shù)為ρu的服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)u1和u2。③通過式(3)得到相關(guān)系數(shù)為ρobj的分別服從分布F和G的隨機(jī)數(shù)x和y。

    根據(jù)關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)理論中的相關(guān)結(jié)論[10-11],當(dāng)ρobj和ρmin、ρmax之間存在線性關(guān)系時,ρ和ρobj之間存在如下關(guān)系:

    (6)

    (7)

    式(6)~(7)中:ρmin和ρmax分別為ρobj可能取到的最小值和最大值。本文通過半解析的方法確定了ρmin和ρmax,從而得到了ρ和ρobj的關(guān)系。

    1) 均勻分布和正態(tài)分布。

    設(shè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記作Z~N(0,1),則-Z~N(0,1),且Φ(Z)服從[0,1]之間的均勻分布,記作Φ(Z)~U[0,1]。則有

    (8)

    (9)

    易知

    ρ(a+(b-a)Φ(Z),μ-σZ)=

    (10)

    ρ(a+(b-a)Φ(Z),μ+σZ)=

    (11)

    所以只需要求ρ(Φ(Z),Z)的值。直接用解析的方法求ρ(Φ(Z),Z)比較困難,分別生成了200組服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù),每一組有2 000個值,可以求得200個ρ(Φ(Z),Z),如圖2所示,其均值為0.977。

    因此對于任意的均勻分布和正態(tài)分布,有

    (12)

    2) 均勻分布和均勻分布。

    易知對于任意均勻分布有ρmin=-1,ρmax=1,所以對于任意均勻分布

    (13)

    3) 均勻分布和指數(shù)分布。

    設(shè)u服從標(biāo)準(zhǔn)均勻分布,即u~U[0,1],則1-u~U[0,1],X=F-1(u)服從指數(shù)分布,其中,F(xiàn)是參數(shù)為λ的指數(shù)分布的分布函數(shù),其定義為

    F(x)=1-e-λx

    (14)

    圖2 隨機(jī)生成200個ρ(Φ(Z),Z)的統(tǒng)計直方圖Fig .2 Statistical histogram of 200 ρ(Φ(Z),Z) randomly generatedF-1(x)=-ln(1-x)

    (15)

    對于任意的均勻分布隨機(jī)變量Y=a+(b-a)u~U[a,b]和任意的指數(shù)分布隨機(jī)變量,易知

    ρmin=ρ(a+(b-a)u,F-1(1-u))

    (16)

    ρmax=ρ(a+(b-a)u,F-1(u))

    (17)

    其中,F(xiàn)0為參數(shù)λ=1的指數(shù)分布函數(shù),即

    F0(x)=1-e-x

    (18)

    因此對于任意的均勻分布和指數(shù)分布,有

    (19)

    圖3 隨機(jī)生成200個和的統(tǒng)計直方圖Fig .3 Statistical histogram of 200 randomly generated

    4) 均勻分布和對數(shù)正態(tài)分布。

    設(shè)服從標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)正態(tài)分布,記作Z~LN(0,1),根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的定義有l(wèi)nZ~N(0,1),所以-lnZ~N(0,1),1/Z~LN(0,1),ΦL(Z)和ΦL(1/Z)均服從[0,1]之間的均勻分布,ΦL為標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù),其定義為

    (20)

    (21)

    (22)

    同樣采用數(shù)值模擬的方法,分別生成了200組服從標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù),每一組有2 000個值,可以分別求得200個ρ(ΦL(1/Z),Z)和ρ(ΦL(Z),Z),如圖4所示,其均值分別為-0.70和0.70。

    (23)

    圖4 隨機(jī)生成200個ρ(ΦL(1/Z),Z)和ρ(ΦL(Z),Z)的統(tǒng)計直方圖Fig .4 Statistical histogram of 200 ρ(ΦL(1/Z),Z) and ρ(ΦL(Z),Z) randomly generated

    5) 正態(tài)分布和指數(shù)分布。

    設(shè)Z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,即Z~N(0,1),則Φ(Z)~U[0,1],X=F-1(Φ(Z))服從指數(shù)分布,其中,F(xiàn)是參數(shù)為λ的指數(shù)分布的分布函數(shù),其定義見式(12)。

    對于任意的正態(tài)分布隨機(jī)變量X=μ+σZ~N(μ,σ2)和任意的指數(shù)分布隨機(jī)變量,易知

    ρmin=ρ(μ+σZ,F-1(Φ(-Z)))=

    (24)

    ρmax=ρ(μ+σZ,F-1(Φ(Z)))=

    (25)

    其中,F(xiàn)0的定義見式(18)。

    因此對于任意的正態(tài)分布和指數(shù)分布,有

    (26)

    6) 正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布。

    (27)

    (28)

    圖5 隨機(jī)生成200個和的統(tǒng)計直方圖Fig .5 Statistical histogram of 200 randomly generated

    (29)

    7) 指數(shù)分布和對數(shù)正態(tài)分布。

    公式(6)對于指數(shù)分布和對數(shù)正態(tài)分布的情況不再適用,本文采用多項(xiàng)式直接對ρobj和ρ進(jìn)行擬合,擬合結(jié)果如圖7a所示,擬合公式為

    (30)

    8) 對數(shù)正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布。

    公式(7)對于對數(shù)正態(tài)分布和對數(shù)正態(tài)分布的情況也不適用,本文采用多項(xiàng)式直接對ρobj和ρ進(jìn)行

    圖6 隨機(jī)生成200個和的統(tǒng)計直方圖Fig .6 Statistical histogram of 200 randomly generated

    圖7 ρobj和ρ的多項(xiàng)式擬合結(jié)果Fig .7 Polynomial fitting results for ρobj and ρ

    (31)

    3 模型驗(yàn)證及算例分析

    主要針對前6種情況進(jìn)行驗(yàn)證。將半解析公式得到的結(jié)果和200次隨機(jī)模擬取平均值得到的結(jié)果進(jìn)行對比,并計算R2,計算得到的結(jié)果如圖8所示。從圖8可以看出,R2均大于0.99,擬合效果較好。

    在實(shí)際的應(yīng)用中,通常通過對致密油藏的巖心或天然露頭的裂縫進(jìn)行統(tǒng)計分析,得到各參數(shù)的均值方差以及它們之間的相關(guān)系數(shù),再用本文建立的半解析方法進(jìn)行相關(guān)系數(shù)控制下的裂縫隨機(jī)生成,代入到致密油藏數(shù)值模擬器進(jìn)行數(shù)值模擬計算,進(jìn)行產(chǎn)量的預(yù)測等。

    裂縫真實(shí)參數(shù)的獲取是一件較為麻煩的事情,為了對相關(guān)系數(shù)控制下的裂縫生成結(jié)果進(jìn)行分析,研究不同相關(guān)系數(shù)對縫網(wǎng)形態(tài)的影響規(guī)律,本文構(gòu)建了一個理想的二維模型,假設(shè)其裂縫各參數(shù)服從的統(tǒng)計分布及其參數(shù)如表 4所示,相關(guān)系數(shù)如表 5所示。

    在400 m×200 m的區(qū)域,在表5所示的相關(guān)系數(shù)控制下生成300條裂縫,其各參數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)的相對誤差如表 7所示。

    從表7可以看出,相對誤差都控制在了25%以內(nèi),對于相關(guān)系數(shù)絕對值大于0.5的分量,相對誤差均控制在了6%以內(nèi),6次隨機(jī)模擬得到的裂縫圖像如圖9所示。

    圖8 200次隨機(jī)模擬取平均值結(jié)果和半解析結(jié)果的對比Fig .8 Comparison of semi-analytical results and the average of 200 random simulations

    表4 理想模型裂縫各參數(shù)服從的統(tǒng)計分布及其參數(shù)Table 4 Statistical distribution of the fracture parameters of the ideal model

    表5 裂縫5個參數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)Table 5 Correlation coefficients between 5 parameters of fractures

    表6 當(dāng)時的對數(shù)正態(tài)分布與其他各分布的ρ和ρobj的關(guān)系Table 6 Relationship of ρ and ρobj between the lognormal distribution and others when

    表7 按半解析方法得到的50條裂縫各參數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)的相對誤差Table 7 Relative errors of correlation coefficients between parameters of 50 fractures obtained by semi-analyticalmethod %

    如果只按照表所示的參數(shù)而忽視了表所示的相關(guān)系數(shù)的信息,隨機(jī)生成的裂縫各參數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)誤差會很大。在無相關(guān)系數(shù)控制的情況下隨機(jī)生成了6組天然裂縫,并計算了相關(guān)系數(shù)的相對誤差的平均值,得到的裂縫圖像如圖 10所示,結(jié)果如表 8所示。結(jié)果表明,無相關(guān)系數(shù)控制下得到的相對誤差均大于95%,縫網(wǎng)的幾何形態(tài)也有較大的差異。

    如果把裂縫各參數(shù)的相關(guān)系數(shù)改為如表9所示,得到的裂縫圖像如圖11所示。

    從圖 9和圖 11可以很直觀地看出,即使是同一組隨機(jī)參數(shù),對于不同的相關(guān)系數(shù)控制,得到的天然裂縫的縫網(wǎng)結(jié)構(gòu)在幾何形態(tài)上有著很大的差異。裂縫中心點(diǎn)橫坐標(biāo)xc和縱坐標(biāo)yc的相關(guān)性決定了裂縫富集的方向,當(dāng)xc和yc呈正相關(guān)時,裂縫向西南-東北對角線富集(圖 11),當(dāng)xc和yc呈負(fù)相關(guān)時,裂縫向西北-東南對角線富集(圖 9)。裂縫方位角和中心點(diǎn)橫坐標(biāo)xc的相關(guān)性決定了裂縫沿x軸方向的走向趨勢線形狀,當(dāng)θ和xc呈正相關(guān)時,xc越大,θ越大,裂縫沿x軸方向的走向趨勢線呈上凸形狀(圖 11),當(dāng)θ和xc呈負(fù)相關(guān)時,xc越大,θ越小,裂縫沿x軸方向的走向趨勢線呈下凹形狀(圖 9)。

    圖9 表5所示的相關(guān)系數(shù)控制下6次隨機(jī)模擬生成的300條裂縫Fig .9 Six images of 300 fractures generated with the control of the correlation coefficients shown in Table 5

    圖10 無相關(guān)系數(shù)控制下生成的300條裂縫Fig .10 Image of 300 fractures generated without the control of correlation coefficients

    表8 無相關(guān)系數(shù)控制下生成的300條裂縫各參數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)的相對誤差Table 8 Relative errors of the correlation coefficients between the parameters of 300 fractures generated without the control of correlation coefficients %

    表9 裂縫各參數(shù)呈正相關(guān)的相關(guān)系數(shù)矩陣Table 9 Correlation coefficient matrix with positive correlation of fracture parameters

    圖11 表9所示的相關(guān)系數(shù)控制下生成的300條裂縫Fig .11 Image of 300 fractures generated with the control of the correlation coefficients shown in Table 9

    4 結(jié)論

    本文引入相關(guān)系數(shù)來定量表征裂縫各參數(shù)的相關(guān)性,建立了基于相關(guān)系數(shù)控制的致密油藏裂縫隨機(jī)表征方法;并且將裂縫參數(shù)的每一種隨機(jī)分布都轉(zhuǎn)化為均勻分布來生成,從而給出了相關(guān)系數(shù)控制下的裂縫各參數(shù)的隨機(jī)生成方法。本文用半解析的方法給出了目標(biāo)相關(guān)系數(shù)和初始相關(guān)系數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系,為相關(guān)系數(shù)控制下的裂縫隨機(jī)生成提供了更加快捷有效的方法。

    本文提供的方法可以有效的控制裂縫各參數(shù)的相關(guān)性,得到的裂縫參數(shù)更加符合實(shí)際情況,為致密油藏裂縫系統(tǒng)的數(shù)值模擬和縫網(wǎng)反演提供了基礎(chǔ)。

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