基于NSGA-II 算法的航天產(chǎn)品裝配公差多目標(biāo)優(yōu)化

施祥玲，徐小明，蘇林林，徐培利，皮 剛

（上海航天設(shè)備制造總廠有限公司，上海 200245）

0 引言

公差優(yōu)化設(shè)計(jì)是在確保產(chǎn)品制造精度、功能及性能要求的基礎(chǔ)上，按照特定的方法以及相應(yīng)的約束條件合理分配產(chǎn)品尺寸鏈中各組成零件的公差，其是決定產(chǎn)品的制造成本及質(zhì)量等的重要因素。傳統(tǒng)的公差優(yōu)化設(shè)計(jì)主要是依據(jù)相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)或設(shè)計(jì)人員的經(jīng)驗(yàn)等方法確定，其研制生產(chǎn)過程中經(jīng)常發(fā)生由于幾何精度設(shè)計(jì)不合理導(dǎo)致零件返工、零件互換性差以及裝配精度難以滿足等問題，直接影響了產(chǎn)品的功能和性能。因此，考慮公差分配對產(chǎn)品生產(chǎn)研制成本的影響，在確保產(chǎn)品功能及性能實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ)上，圍繞著降低生產(chǎn)成本、質(zhì)量損失成本進(jìn)行的產(chǎn)品裝配公差優(yōu)化分配的研究具有重要意義。

針對傳統(tǒng)的公差優(yōu)化方法的不足，文獻(xiàn)［1］以制造成本及質(zhì)量損失為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，分別采用粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）和遺傳算法（GA）進(jìn)行了求解，實(shí)現(xiàn)了公差優(yōu)化設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)［2］利用模擬退火算法，以產(chǎn)品裝配精度和加工成本建立目標(biāo)函數(shù)，獲得裝配精度優(yōu)化結(jié)果，能夠在很大程度上提高產(chǎn)品裝配精度。文獻(xiàn)［3］構(gòu)建了含裝配成本的公差優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，利用改進(jìn)的PSO，求解基于制造成本以及質(zhì)量損失的裝配公差多目標(biāo)優(yōu)化問題。文獻(xiàn)［4］利用PSO 與層次分析法相結(jié)合的方法，對以裝配性能、加工成本和裝配操作復(fù)雜度為目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)的公差優(yōu)化設(shè)計(jì)模型進(jìn)行求解。文獻(xiàn)［5］以制造成本、質(zhì)量損失及加工能力指數(shù)為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，提出了一種多工序尺寸和公差的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，采用目標(biāo)層解法優(yōu)化特征內(nèi)的各個(gè)工序基本尺寸和尺寸公差，實(shí)現(xiàn)降低產(chǎn)品研制總成本的目的。文獻(xiàn)［6］提出了一種公差優(yōu)化分配方法，在綜合考慮成本-公差函數(shù)、尺寸公差和形位公差之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，利用公差混合優(yōu)化分配法和傳統(tǒng)方法進(jìn)行非線性優(yōu)化分配求解。然而，僅考慮單目標(biāo)優(yōu)化無法滿足實(shí)際裝配生產(chǎn)中多項(xiàng)產(chǎn)品指標(biāo)相互協(xié)調(diào)的決策需求，通過多個(gè)目標(biāo)函數(shù)線性相加組合，該方法會由于各個(gè)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的量綱或數(shù)量級不同，導(dǎo)致權(quán)重系數(shù)的分配有一定的主觀性和不穩(wěn)定性，無法解決Pareto 最優(yōu)前沿面為非凸的問題。

文獻(xiàn)［7］在綜合考慮加工成本、質(zhì)量損失成本和公差敏感性的基礎(chǔ)上，以裝配性能要求和加工能力為優(yōu)化的約束條件，利用改進(jìn)的PSO 進(jìn)行求解，得到Pareto 最優(yōu)解集。文獻(xiàn)［8］以零件設(shè)計(jì)公差作為優(yōu)化變量，以裝配偏差與質(zhì)量損失為優(yōu)化目標(biāo)，提出了一種基于NSGA-II 算法的解決公差多目標(biāo)優(yōu)化分配的有效方法，獲得了多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解集。但上述方法在建立產(chǎn)品成本-公差模型方法上，主要考慮零件的加工成本與質(zhì)量損失，未關(guān)注產(chǎn)品零件公差與裝配成本之間的關(guān)系。

近年來，隨著航天的快速發(fā)展，航天類產(chǎn)品呈現(xiàn)出批量小、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、精度要求高等特點(diǎn)，產(chǎn)品的裝配操作占據(jù)了生產(chǎn)的大量成本支出與工時(shí)，是航天類產(chǎn)品研制生產(chǎn)過程的重要環(huán)節(jié)。裝配成本也是決定航天類產(chǎn)品生產(chǎn)制造成本的一個(gè)重要指標(biāo)，必須將其考慮進(jìn)產(chǎn)品制造的成本模型中。

本文針對航天產(chǎn)品生產(chǎn)過程中裝配工藝方法，在同時(shí)考慮產(chǎn)品零件的加工成本以及產(chǎn)品裝配成本的基礎(chǔ)上，提出一種航天產(chǎn)品成本-公差模型，建立了以產(chǎn)品成本與質(zhì)量損失為目標(biāo)的多目標(biāo)公差優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，采用NSGA-II 算法對航天產(chǎn)品裝配公差多目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行分析求解。最后，以空間站某型號的一個(gè)部件產(chǎn)品的公差多目標(biāo)優(yōu)化為例對算法進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果表明：基于NSGA-II 算法的裝配公差優(yōu)化結(jié)果在滿足設(shè)計(jì)功能及性能要求的前提下，可以提高產(chǎn)品裝配公差優(yōu)化分配的有效性和合理性。

1 裝配公差多目標(biāo)優(yōu)化模型

隨著我國航天事業(yè)飛速發(fā)展，航天產(chǎn)品呈現(xiàn)出結(jié)構(gòu)精密、裝配精度要求高等特點(diǎn)，導(dǎo)致裝配占據(jù)了航天產(chǎn)品研制過程的大量工時(shí)和成本支出。因此，本文建立成本公差模型時(shí)引入裝配成本概念，綜合考慮加工成本和裝配成本，同時(shí)構(gòu)建產(chǎn)品質(zhì)量損失模型，以產(chǎn)品質(zhì)量的損失及生產(chǎn)制造的成本作為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行航天產(chǎn)品裝配公差優(yōu)化設(shè)計(jì)，以獲得合理的公差優(yōu)化設(shè)計(jì)方案，均衡公差對成本及質(zhì)量損失的影響。

1.1 目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建

1.1.1 成本公差模型

1）加工成本-公差模型。

加工成本基本上決定了機(jī)械產(chǎn)品的成本的絕大部分，而零件公差又是影響加工成本的重要因素，因此，在保證產(chǎn)品的裝配精度及功能、性能前提下，不同的公差分配設(shè)計(jì)成為決定成本高低的重要因素。

目前，國內(nèi)外學(xué)者相繼提出了10 多種“成本-公差”的基本數(shù)學(xué)模型，如指數(shù)模型、冪指數(shù)模型、多項(xiàng)式模型以及指數(shù)和冪指數(shù)復(fù)合模型等公差模型［9］，見表1。

根據(jù)表1 中各模型的誤差數(shù)據(jù)，為提高模型建立的準(zhǔn)確性，本文采用絕對誤差較小的5 次多項(xiàng)式模型，加工成本-公差模型為

表1 加工成本-公差模型及誤差對比Tab.1 Comparisons of machining cost-tolerance models and errors

式中：Cm為總的加工成本；n為產(chǎn)品中尺寸公差的數(shù)目；Ti為第i個(gè)組成環(huán)的公差；Cmi為第i個(gè)組成環(huán)的公差造成的加 工成本；a0i、a1i、a2i、a3i、a4i及a5i為與公差相關(guān)的加工成本系數(shù)。

2）裝配成本-公差模型。

在航天產(chǎn)品機(jī)構(gòu)精密化、功能復(fù)雜化的發(fā)展進(jìn)程中，裝配已經(jīng)成為航天類產(chǎn)品制造過程的主要環(huán)節(jié)，占據(jù)了產(chǎn)品研制的大部分時(shí)間。所以，裝配成本也是評價(jià)航天類產(chǎn)品研制成本的關(guān)鍵指標(biāo)，建立裝配成本-公差模型［3］為

為減小計(jì)算量并提高計(jì)算精度，根據(jù)式（3），對裝配成本Cai求其麥克勞林級數(shù)，則有Cai的5 次展開式為

式中：b0i、b1i、b2i、b3i、b4i及b5i為裝配成本系數(shù)。

1.1.2 質(zhì)量損失模型

產(chǎn)品研制完成交付使用或上市后由于其質(zhì)量特性的波動(dòng)所造成的損失表征為其質(zhì)量損失［10］，最為常用的為田口二次型模型。假設(shè)某一產(chǎn)品的質(zhì)量特征值為y，目標(biāo)值為m，利用基于田口二次型質(zhì)量損失函數(shù)的質(zhì)量損失-公差模型，則有

式中：k為質(zhì)量損失系數(shù)，與y不相關(guān)。

將公差取雙向?qū)ΨQ分布，可得

因此，根據(jù)產(chǎn)品的公差尺寸可建立質(zhì)量損失-公差模型為

則有產(chǎn)品總的質(zhì)量損失成本為

1.2 約束條件建立

在公差優(yōu)化研究領(lǐng)域，約束條件一般包括加工合格率約束、裝配功能要求、裝配的工藝性、工序能力指數(shù)及經(jīng)濟(jì)加工能力等。本文建立最常用的裝配功能公差鏈約束和加工方法的經(jīng)濟(jì)性公差約束模型。

1.2.1 裝配功能要求

極值法以及均方根法是傳統(tǒng)公差設(shè)計(jì)與分析的主要方法。其中，相比于極值法，均方根法可以在確保產(chǎn)品的裝配精度、功能及性能要求的基礎(chǔ)上，獲得更為合理的公差限。本文以均方根法作為裝配性能要求計(jì)算的依據(jù)，則

式中：δi為第i個(gè)尺寸公差的靈敏度系數(shù)；ΔA為裝配功能的要求值。

1.2.2 經(jīng)濟(jì)加工能力

傳統(tǒng)公差設(shè)計(jì)優(yōu)化時(shí)，設(shè)計(jì)公差必須在經(jīng)濟(jì)加工的能力范圍之內(nèi)，即

式中：Timin為第i個(gè)組成環(huán)的公差的最小加工能力公差；Timax為第i個(gè)組成環(huán)的公差的最大加工能力公差。

1.3 公差優(yōu)化多目標(biāo)模型

綜合1.1 節(jié)及1.2 節(jié)所述，本文在考慮裝配成本的前提下，以產(chǎn)品的制造成本以及質(zhì)量損失為優(yōu)化目標(biāo)，以裝配的功能要求及經(jīng)濟(jì)加工的能力為優(yōu)化約束條件，可建立裝配公差的優(yōu)化模型如下：

式中：C（T）=Cm（T）+Ca（T）。

由于零件公差與裝配成本間不存在顯式的表達(dá)關(guān)系，但零件公差越小，加工所需時(shí)間越長，加工成本越大，裝配工藝性越好，裝配成本越小，所以，為減小計(jì)算量并確保計(jì)算精度，對同用5 次多項(xiàng)式構(gòu)建模型的加工成本與裝配成本進(jìn)行量化處理，取Cmi（Ti）=ζiCai（Ti），以便公差優(yōu)化設(shè)計(jì)的定量分析，ζi為與公差有關(guān)的常數(shù)。

2 基于NSGA-II 的公差多目標(biāo)優(yōu)化

多目標(biāo)優(yōu)化問題是指一個(gè)系統(tǒng)中的多個(gè)目標(biāo)函數(shù)在相應(yīng)約束條件下同時(shí)得到優(yōu)化的問題，該類問題的優(yōu)化結(jié)果一般為一個(gè)解集，這個(gè)解集稱作Pareto 最優(yōu)解或者非支配解，解集中任一解針對優(yōu)化的多目標(biāo)函數(shù)來說是不存在絕對的優(yōu)劣。帶精英策略的非支配排序遺傳算法（NSGA-II 算法）［11］就是基于Pareto 最優(yōu)概念的非支配排序遺傳算法。該算法具有復(fù)雜度低、最優(yōu)解的多樣性好等優(yōu)點(diǎn)，算法優(yōu)化的主要步驟如圖1 所示。

圖1 NSGA-II 算法步驟Fig.1 NSGA-II procedure

針對公差多目標(biāo)優(yōu)化問題，基于NSGA-II 算法以各組成環(huán)的公差為決策變量=行多目標(biāo)軌跡優(yōu)化求解，首先，根據(jù)給定的各組成環(huán)公差隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)種群大小為N的初始父代種群H0，同時(shí)通過交叉、變異的遺傳算子產(chǎn)生一個(gè)種群大小也為N的子代種群I0；然后，匯總父代種群Ht與子代種群It，得到規(guī)模為2N的種群Rt；根據(jù)非支配排序算法將Rt種群中的全部2N個(gè)個(gè)體重新排列，得到等級F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，…；再根據(jù)非支配排序、擁擠度距離和約束違背值計(jì)算的排序結(jié)果選取N個(gè)個(gè)體作為新的父代種群Ht+1，通過選擇、交叉及變異的遺傳操作產(chǎn)生新的子代種群It+1，重復(fù)迭代直至最終得到滿足裝配功能要求和加工能力的公差Pareto 最優(yōu)解。

3 實(shí)例驗(yàn)證

3.1 驗(yàn)證條件與參數(shù)設(shè)置

以空間站某型號組件為例，驗(yàn)證本文提出的基于NSGA-II 算法的航天產(chǎn)品裝配公差多目標(biāo)優(yōu)化模型的有效性。組件三維模型如圖2 所示，組成環(huán)各零件的設(shè)計(jì)公差見表2，裝配尺寸鏈如圖3 所示，其中x0為封閉環(huán)，即下平面到凸臺平面的距離為（127±0.1）mm，其余為組成環(huán)。

圖2 空間站某產(chǎn)品裝配體Fig.2 Assembly of a component of the space station

表2 公差分配結(jié)果Tab.2 Tolerance distribution results

圖3 裝配尺寸鏈Fig.3 Dimension chain for assembly

3.2 仿真結(jié)果及解的選擇

根據(jù)產(chǎn)品零件實(shí)際加工工藝方法，選用車削加工的公差-成本模型［9］建立本文加工成本-公差模型：

因質(zhì)量損失系數(shù)A/4T2表征的是不同的公差對零件質(zhì)量損失的成本影響大小，在優(yōu)化計(jì)算過程中可將其指定為一常數(shù)，本文取為80。最后以C（T）、L（T）為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，裝配功能要求及經(jīng)濟(jì)加工能力為約束條件，取裝配成本系數(shù)ζ=0.35，NSGA-II算法的迭代次數(shù)設(shè)置為200，種群的數(shù)量設(shè)置為200，優(yōu)化可得到成本和質(zhì)量損失綜合優(yōu)化的Pareto 前沿面如圖4 所示。由圖4 可知，越靠近坐標(biāo)系原點(diǎn)產(chǎn)品質(zhì)量損失越大，越遠(yuǎn)離時(shí)產(chǎn)品生產(chǎn)成本越高。質(zhì)量損失最優(yōu)性能制約著生產(chǎn)成本最優(yōu)性能。

為了方便在Pareto 前沿面中選擇出理想的最優(yōu)解，構(gòu)建歸一化權(quán)重目標(biāo)函數(shù)如下：

式中：N1、N2是范圍系數(shù)，用于將各優(yōu)化目標(biāo)置于統(tǒng)一數(shù)量級；α1、α2為權(quán)重系數(shù)，代表各優(yōu)化目標(biāo)的權(quán)重，可根據(jù)實(shí)際需要確定。最小化組合目標(biāo)函數(shù)即可獲得實(shí)際工程需要的理想最優(yōu)解。

指定α1=α2=1/2，N1=100，N2=1，由式（13）求解組合目標(biāo)函數(shù)fc的最小值，得到最優(yōu)解C=685.530，L=1.361，得到各組成環(huán)公差見表2。

圖4 公差優(yōu)化的Pareto 最優(yōu)解分布Fig.4 Distribution of the Pareto optimal solution of tolerance optimization

據(jù)實(shí)際加工情況，在考慮產(chǎn)品零部件材料的加工工藝性與零件的裝配性等條件基礎(chǔ)上，圓整得到整合后各組成環(huán)公差見表2，利用該公差進(jìn)行零件機(jī)加工，與原公差比較，減少了零件的加工工時(shí)，降低了產(chǎn)品加工成本，提高了裝配成功率，降低了質(zhì)量損失，驗(yàn)證了本文基于NSGA-II 算法的裝配公差優(yōu)化方法的適用性和有效性。在航天機(jī)構(gòu)產(chǎn)品結(jié)構(gòu)越來越精密、性能要求越來越復(fù)雜、裝配精度越來越高的發(fā)展背景下，本文的算法可應(yīng)用在航天領(lǐng)域，特別在機(jī)構(gòu)類產(chǎn)品的設(shè)計(jì)與裝配階段，為航天機(jī)構(gòu)產(chǎn)品裝配公差設(shè)計(jì)提供了有效的設(shè)計(jì)方案。

4 結(jié)束語

本文在考慮航天產(chǎn)品裝配成本條件下，建立了一種基于成本和質(zhì)量損失的裝配公差多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型。對航天產(chǎn)品裝配而言，提高了裝配公差優(yōu)化設(shè)計(jì)模型中的制造成本的可信度。利用NSGA-II 算法對裝配公差的多目標(biāo)優(yōu)化模型進(jìn)行求解，獲得了均勻分布的Pareto 最優(yōu)解，并構(gòu)建歸一化目標(biāo)函數(shù)選擇期望解。通過空間站某型號組件裝配實(shí)例，驗(yàn)證了模型及優(yōu)化方法的有效性以及適用性，模型方法獲得的優(yōu)化公差可提高裝配成功率，降低產(chǎn)品加工成本及質(zhì)量損失。在構(gòu)建裝配的成本模型時(shí)進(jìn)行了量化處理，獲得裝配成本和公差的精確數(shù)學(xué)表達(dá)模型需要進(jìn)一步加以研究。