振型歸一化對梁結構柔度曲率損傷指標的影響

唐盛華, 羅承芳, 方 志, 張學兵, 楚加慶

(1.湘潭大學 土木工程與力學學院 工程結構動力學與可靠性分析湖南省高等學校重點實驗室，湘潭 411105；2.湖南大學 土木工程學院，長沙 410082)

1 引 言

至2017年末，我國公路橋梁總數已達 83.25萬座。由于橋梁交通量增長、材料自身性能退化以及外界復雜環(huán)境、地質災害和疲勞等因素共同作用，為防止在役橋梁突發(fā)安全事故，降低維修成本，延長使用壽命，有必要獲得準確、實時的結構狀態(tài)信息，因此橋梁結構健康監(jiān)測備受關注[1-3]。

結構損傷識別是健康監(jiān)測的重要內容之一，近30年來，基于動力特性的損傷檢測方法有了重大發(fā)展，如頻率、振型和柔度矩陣等，其優(yōu)勢在于僅需使用相對較少的傳感器測試且不影響橋梁的正常使用[4,5]。其中，由低階頻率和振型得到的柔度動力指紋指標，對結構損傷具有較高的敏感性，故基于動力參數的柔度矩陣廣泛應用于結構損傷識別。文獻[6,7]利用柔度矩陣得到均勻荷載面ULS(the uniform load surface)和ULS曲率,ULS對截斷效應影響較小且試驗誤差敏感性小。唐小兵等[8]利用損傷結構的柔度矩陣各列最大值元素一次差分得到柔度曲率法指標。Wu等[9]將ULS曲率用于板結構進行損傷檢測和定量，ULS曲率由切比雪夫多項式逼近法求得。曹暉等[10]提出柔度曲率差指標，對判定結構的損傷位置效果較好。Wang等[11]在ULS基礎上提出廣義分形維數和簡化間隙平滑兩種方法，用于碳/環(huán)氧復合材料梁的損傷檢測。李永梅等[12]對結構柔度矩陣行列差分，取每列絕對最大值或對角元素作為損傷指標檢測結構損傷。Sung等[13]提出歸一化ULS曲率損傷識別方法，數值研究表明該方法優(yōu)于ULS曲率法和振型曲率法。Liu等[14]提出一種損傷區(qū)域模態(tài)頻率改變率和ULS曲率差，結合FCM-PSO算法兩階段損傷識別方法，能有效識別異形橋梁的損傷。唐盛華等[15]提出適用于連續(xù)梁的改進ULS曲率指標。

由于柔度類損傷識別方法的模態(tài)振型均需質量矩陣歸一化，而對于實際土木工程結構，由于結構尺寸、剛度和質量巨大，難以施加人為可控激勵，一般采用環(huán)境激勵法進行模態(tài)測試[3,16]，無法實測出結構的質量歸一化振型，使得柔度曲率類損傷識別方法在實際工程中的應用受到限制，故利用環(huán)境激勵下的模態(tài)數據進行柔度曲率類損傷識別是一個重要的研究方向。針對此問題，Duan等[17,18]提出比例柔度矩陣來解決環(huán)境激勵下的損傷問題，比例柔度矩陣與柔度矩陣僅相差一個比例系數，但其計算過程復雜。楊秋偉等[19，20]分別通過環(huán)境激勵下檢測損傷的靈敏度方法和廣義柔度擾動方程結合矩陣拉直和廣義逆技術，均可求出振型歸一化系數。林賢坤等[21]探討了基于附加質量的試驗模態(tài)振型質量歸一化方法，可實現各階試驗模態(tài)振型較高精度的質量歸一化。Jung等[22]根據環(huán)境激勵下加速度響應獲得的模態(tài)柔度矩陣，通過實驗驗證了歸一化ULS曲率方法，結果表明該方法抗噪聲能力好且靈敏度高。

綜上所述，目前學者著重研究如何將環(huán)境激勵的模態(tài)振型質量矩陣歸一化，不同振型歸一化方法對柔度曲率類指標損傷識別的影響鮮有研究報道，而且現有柔度曲率的結構損傷識別方法大多集中在損傷定位方面，不能有效地進行損傷程度識別。本文根據位移曲率與結構剛度的關系，提出利用梁結構損傷前后的ULS曲率計算結構損傷程度的方法。并針對環(huán)境激勵下的振型歸一化問題，提出P-范數振型歸一化方法，通過ULS曲率指標討論不同振型歸一化方法對梁結構損傷識別的影響。

2 梁結構損傷識別理論

圖1 簡支梁結構

Fig.1 A simply-supported beam structure

(i=1,2,3)

(1)

(2)

根據結構力學可得均布荷載q=1作用下，未損傷時各節(jié)點的位移分別為

2L[a+(i-1)ε]2+L3}

(i=1,2,3)

(3)

損傷時各節(jié)點的位移分別為

(4)

(5)

(6)

式中下標u和d分別表示結構未損傷和損傷。

由中心差分法可知，節(jié)點2損傷前后的位移曲率分別為

6a2+6Lε-12aε-7ε2)

(7)

6a2+8Lε-16aε-11ε2)-

(8)

2.1 損傷定位

DI=[DI1DI2…DIn]

(9)

(10)

式中n為測點數目。

2.2 損傷程度定量

節(jié)點2在均布荷載q=1作用下的彎矩為

(11)

由材料力學可知，結構剛度、彎矩和位移曲率存在如下關系：

(12)

節(jié)點2損傷前后的曲率理論值為

(13)

(14)

局部損傷程度較小時，由式(8)可得

(15)

進一步計算得

(16)

聯立式(13,14)可求得損傷程度為

(17)

3 振型歸一化方法

由于采用環(huán)境激勵獲取的各階振型振幅大小不確定，因此需要對振型進行歸一化處理。除了質量矩陣振型歸一化，常用的振型歸一化方法還有單位矩陣振型歸一化和最大絕對值振型歸一化。

3.1 P-范數振型歸一化

引入P-范數振型歸一化的概念，對振型進行范數歸一化處理，由范數定義，具體過程如下，

(18)

(19)

式中φi,n為P-范數歸一化的振型，‖·‖P為向量的P-范數(P=1,2,3,…)。

特別地，當P=2時，實質上為單位矩陣振型歸一化；當P=∞時，實質上為最大絕對值振型歸一化。即該兩種常用的振型歸一化方法實則是P-范數振型歸一化的兩種特殊形式，因此，本文采用P-范數振型歸一化進一步分析振型歸一化方法對梁式結構損傷識別的影響。

3.2 振型歸一化方法對損傷程度定量的影響

由頻率和質量矩陣歸一化的振型可以得到結構的柔度矩陣為

(20)

第i階頻率和振型計算的柔度矩陣Fi為

(21)

(22)

均布荷載作用下結構的位移曲線為ULS[6]，即將模態(tài)柔度矩陣按行(或列)加起來。第i階柔度矩陣Fi得到的ULSi為

(23)

ULSi的第k測點曲率值采用中心差分法計算得到，

(24)

式中dl為測點k-1到測點k與測點k到測點k+1距離的平均值。

假設由某種范數歸一化方法獲得的實測振型為Φ=[φ1,φ2,…,φn]，結構的質量矩陣為Mr,則

(25，26)

(27)

式中αi為振型質量矩陣歸一化系數。

由實測振型Φ構造的結構損傷前后第k測點的ULS曲率值分別為

(28)

(29)

根據靜力平衡方程，柔度矩陣F、均勻荷載面曲率ULS ″和位移曲率w″的關系為

(30)

式中q為單位均布荷載。

將ULS ″代替式(17)的w″，故損傷程度De為

(31)

(32)

(33)

為反映損傷前后振型質量矩陣歸一化系數的相對變化，定義振型質量矩陣歸一化系數差為

xα=(αd 1-αu 1)/αu 1

(34)

式(32)化簡為

(35)

式中無損傷時，Γr k=1；有損傷時，Γr k>1。

將式(35)代入式(31)得

(36)

由式(36)可知Γr k越大，De越大。將式(36)變形并采用泰勒公式展開：

(37)

由于損傷前后的同階振型非常接近，即同階的αd和αu的值接近，故xα較小。由式(37)可知損傷程度De與xα近似呈線性關系。

(38)

dDe(k)/dxα為關于Γr k的減函數，即損傷程度越大，Γr k越大，dDe(k)/dxα的變化越小，其最大值為

(39)

4 三跨連續(xù)梁算例

三跨連續(xù)梁的計算跨徑為18 m+30 m+18 m，1.5 m劃分一個單元，共44個單元，45個節(jié)點，材料彈性模量為E=3.25×104MPa，密度為 2550 kg/m3，泊松比υ=0.2。截面尺寸如圖2所示，其中兩端3 m為等截面，中間變截面梁高變化采用二次拋物線，有限元模型如圖3所示。

假設損傷不引起結構質量的改變，通過彈性模量的降低來模擬單元損傷，考慮中小損傷情況，損傷工況列入表1。

圖2 箱梁截面尺寸(單位：cm)

Fig.2 Section size of box girder(unit:cm)

表1 三跨連續(xù)梁損傷工況

Tab.1 Damage cases of three span continuous beam

工況損傷單元剛度下降/%單元12單元23單元381—10—22020—3303010

圖3 連續(xù)梁有限元模型(單位：cm)

Fig.3 Finite element model of a continuous beam(unit:cm)

4.1 逐跨均勻荷載面曲率差

對于多跨連續(xù)梁，采用均勻荷載q=1加載時，位移曲線將會存在拐點[15]，即存在w″=0，故相應彎矩也為0。此時，無論EI如何取值，式(12)恒成立。因此，在拐點處無法判斷損傷前后結構剛度的變化，即該處無法識別其損傷。以三跨連續(xù)梁為例，均布荷載滿布時有4個拐點，位置如圖4所示，采用ULSC指標計算本算例工況3，結果如圖5所示，單元38在拐點位置而無法識別損傷位置，損傷程度識別在4個拐點位置均有不同程度的峰值，易造成誤判。

故考慮對多跨連續(xù)梁采用逐跨加載，如圖6和圖7所示，每種荷載情況下均只有兩個拐點，并且各荷載作用下的拐點位置不同，故考慮對每跨加載后撓度曲率指標進行絕對值疊加，避免其拐點位置無法識別損傷的問題。

該指標具體實現為，對于N跨連續(xù)梁，按跨取N個均勻荷載向量，對其中任意均勻荷載qi,結構損傷前后的位移差曲率為

圖4 均布荷載q作用下的結構位移

Fig.4 Structural displacement diagram under uniform distributed loadq

圖5 指標損傷識別結果

Fig.5 Damage index identification results

(40)

最終指標取為各指標的絕對值的疊加為

(41)

故損傷程度為

(42)

4.2 損傷前后柔度矩陣差比較

以質量矩陣歸一化的振型為基礎，進行P-范數歸一化處理，當P=0時，不作處理；當P=∞時，歸一化后各階振型的最大值均為1。因不同方法振型歸一化后幅值不同，導致不同振型歸一化方法計算的損傷前后的柔度矩陣差不具有可比性。為比較各振型歸一化方法引起的損傷前后柔度矩陣的變化情況，對按某種范數歸一化振型得到的柔度矩陣差dFP乘以一個待定系數ζ,通過ζ的調整，使ζdFP與dF0具有可比性，待定系數ζ通過式(43，44)進行求解。

min.‖ζdFP-dF0‖f ro

(43)

(44)

圖6 均布荷載qi

Fig.6 Uniform distributed loadqi

圖7 均布荷載qi結構位移

Fig.7 Structural displacement diagram under uniform distributed loadqi

式中dFP=Fd-Fu為范數歸一化振型損傷前后的柔度矩陣差；dF0=F0 d-F0 u為質量矩陣歸一化振型損傷前后的柔度矩陣差，‖X‖f r o表示方陣X的Frobenius矩陣范數。

定義柔度差相對變化指標rdF如式(45)，用來反應不同振型歸一化方法對柔度差的影響。

rdF=‖ζdFP-dF0‖f r o/‖F0 u‖f r o

(45)

為了比較所取模態(tài)階數與柔度矩陣精度的關系，在Frobenius矩陣范數意義下定義誤差指標為

δ=‖F-Ft‖f r o/‖Ft‖f ro

(46)

式中Ft為柔度矩陣理論值，通過計算結構上各點影響線構造得到。

顯然，該誤差指標為模態(tài)階數的函數，繪制三跨連續(xù)梁柔度矩陣誤差指標δ與所取模態(tài)階數的關系曲線，如圖8所示，1階柔度矩陣誤差為27.22%，2階誤差為15.35%，3階誤差為6.64%，5階誤差為 1.92%，之后很快收斂。因此，三跨連續(xù)梁選取誤差最大的1階和誤差較小的5階模態(tài)分析。

分析不同方法振型歸一化下，三跨連續(xù)梁各損傷工況rdF與P范數的關系，如圖9所示，1范數與3范數rdF的誤差較為接近；2范數rdF誤差最?。划擯≥ 2時，rdF增速由大變小，最終趨于平緩；不同模態(tài)階數的rdF有較小偏差。說明2-范數歸一化振型計算的柔度矩陣與質量矩陣歸一化振型的柔度矩陣最接近。

圖8 柔度矩陣誤差與模態(tài)階數關系

Fig.8 Relationship between modal flexibility error and modal order

圖9rdF與范數P關系

Fig.9 Relationship betweenrdFand normP

4.3 系數差xα和損傷程度De的關系

損傷識別方法采用逐跨均勻荷載面曲率差SULSC(the span-by-span uniform load surface curvature difference)指標，取P=0,1,2,3,5,10,30,80,150,300和∞。1階和5階模態(tài)分析結果如圖10所示，其中損傷程度De取損傷單元左右節(jié)點的平均值，可見，系數差xα與De均近似呈線性關系，設擬合函數為De=kxα+b，De是關于xα的增函數，損傷程度10%的斜率基本在1.6～1.9，損傷程度20%的斜率基本在1.3～1.6，損傷程度30%的斜率基本在1.3及以下；不同工況比較發(fā)現，De越大，斜率k越?。桓鞴r斜率k均小于2，故可根據xα和最大斜率2估算損傷程度的偏差。

連續(xù)梁在相同損傷程度下，不同位置單元損傷時，系數差xα與損傷程度De的關系均較為相似；不同損傷程度時，隨著損傷程度的增加，系數差xα與損傷程度De的斜率減小，說明振型歸一化方法對損傷程度的影響減小。

圖10 系數差xα與損傷程度De的關系

Fig.10 Relationship betweenxαandDe

4.4 損傷識別

各損傷工況以5階模態(tài)計算，得到不同P范數振型歸一化損傷識別結果，取P=0，10和∞(對應rdF分別為最小、居中和最大)的結果如圖11所示。工況1的rdFmax=0.006，P取任何值rdF都較小，定位精確且接近質量歸一化，如圖11(a)所示(圖中定位指標DI最大值化為1)；工況2和工況3的rdFmax分別為0.017和0.022，相比質量矩陣振型歸一化，10和∞-范數振型歸一化在未損傷處有多個連續(xù)變化峰值，隨著rdF增大，其干擾峰值越大，如圖11(c，e)所示。三工況的損傷程度定量在不同振型歸一化下有明顯偏差，雖然單元30附近有較小峰值干擾，結合損傷定位指標可排除。

考慮柔度曲率指標的差異性，采用模態(tài)柔度曲率差MFC(the modal flexibility curvature difference)指標[10]對三跨連續(xù)梁進行對比分析，該指標先計算損傷前后柔度矩陣的曲率矩陣，

(47)

(48)

然后計算損傷前后柔度曲率矩陣的差值，并取各列的絕對最大值作為損傷識別指標MFC，即

MFC=max.|CFu-CFd|

(49)

以工況3為例，結果如圖12所示。相比質量矩陣振型歸一化，∞-范數振型歸一化在單元38處無法識別損傷位置，在未損傷處有多個連續(xù)變化峰值易造成干擾，隨著rdF增大，其干擾峰值越大，故不同振型歸一化方法對MFC指標有較大影響。相比SULSC指標(圖11(e))，在不同振型歸一化方法下，MFC指標的損傷定位在損傷位置單元12和38的峰值較小，干擾峰值更容易影響損傷定位。

圖11 指標損傷識別結果

Fig.11 Damage index identification results

圖12 工況3指標損傷識別結果

Fig.12 Damage index identification results under condition 3

5 結 語

(1)通過梁結構損傷前后均布荷載作用下的位移曲線，證明了位移曲率差指標可用于結構損傷定位；根據結構剛度、彎矩和位移曲率的關系，建立了由損傷前后位移曲率計算結構損傷程度的理論公式。由于ULS近似等于均布荷載作用的位移曲線，因此，采用模態(tài)類參數ULS代替靜力位移曲線進行損傷識別，得到ULSC損傷定位和定量指標。對連續(xù)梁，由于位移曲線存在拐點，提出逐跨ULS曲率差損傷指標SULSC避免拐點影響。

(2)針對土木工程結構環(huán)境激勵模態(tài)測試難以獲得質量矩陣歸一化振型，提出范數振型歸一化方法。建立了ULSC指標在不同振型歸一化方法下系數差xα與結構損傷程度De的關系，定量分析振型歸一化方法對損傷程度識別的影響。

(3)對三跨連續(xù)梁，不同振型歸一化下，系數差xα與SULSC指標損傷程度De呈線性關系，xα變化范圍較小；當P取值較大時，柔度差相對變化rdF較大，結構損傷定位干擾變大；損傷程度定量偏差可由2xα估算。相比SULSC指標，不同振型歸一化方法對MFC指標影響更大。

(4)梁式結構損傷識別使用柔度矩陣曲率類損傷指標時，若無法獲得質量矩陣歸一化振型，可采用2-范數歸一化振型代替，其損傷識別結果與質量矩陣歸一化振型結果最接近，這將有利于柔度曲率類損傷指標的實際應用。