基于減基概念的凸集結(jié)構(gòu)可靠性分析方法

張 正，吳曼穎，畢仁貴

(1.吉首大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，張家界 427000；2.懷化學(xué)院 機(jī)械與光電物理學(xué)院，懷化 418008；3.吉首大學(xué) 物理與機(jī)電工程學(xué)院，吉首 416000)

1 引 言

準(zhǔn)確而又高效地求解結(jié)構(gòu)可靠性是機(jī)械設(shè)計(jì)、制造以及維護(hù)等領(lǐng)域不容忽視的一個(gè)重要工程分析問題[1,2]。結(jié)構(gòu)可靠性分析中，較為常見的方法有改進(jìn)的一次二階矩法和蒙特卡洛法MCM[3,4]。在工程實(shí)踐中，改進(jìn)的一次二階矩法通過構(gòu)建驗(yàn)算點(diǎn)上的線性函數(shù)面去逼近極限狀態(tài)曲面來模擬結(jié)構(gòu)的可靠概率，所得到的可靠度較為粗糙保守且難具精準(zhǔn)性，在應(yīng)用上具有較大的工程局限性；MCM通過模擬隨機(jī)變量進(jìn)行計(jì)算，在不需考慮極限狀態(tài)曲面性態(tài)的條件下可以準(zhǔn)確地獲得結(jié)構(gòu)的可靠度，具有較佳的工程適宜性，該方法雖然具有較高的計(jì)算適應(yīng)性，但是由于需要抽樣大量的數(shù)據(jù)進(jìn)行多次重分析，其計(jì)算效率直接與抽樣數(shù)量和一次重分析的時(shí)間有關(guān)，故而最終的計(jì)算過程較為耗時(shí)。當(dāng)工程結(jié)構(gòu)可靠性分析涉及到大規(guī)模的有限元計(jì)算時(shí)，MCM模擬需要反復(fù)解算大量級的有限元問題，有限元的求解過程將使其可靠性分析流程極為耗時(shí)，甚至?xí)怪畣适Чこ炭尚行浴Ｒ虼?，針對大?guī)模工程結(jié)構(gòu)可靠性分析問題，如何使MCM模擬呈現(xiàn)出高效率的計(jì)算狀態(tài)有重要意義。

減基法RBM[5-8]是一種能快速逼近工程問題解的概念性方法，文獻(xiàn)[9]基于此開發(fā)了一種快速分析區(qū)間參數(shù)域結(jié)構(gòu)可靠性的減基方法，發(fā)現(xiàn)引入減基法的MCM模擬具有較高的工程應(yīng)用價(jià)值。然而在工程實(shí)踐中，可靠性分析所遇到的問題不僅限于區(qū)間參數(shù)域結(jié)構(gòu)情形，往往還會出現(xiàn)橢球凸集之類的復(fù)雜參數(shù)域結(jié)構(gòu)問題[10-13]。橢球凸集參數(shù)域(以下簡稱橢球域)具有異于區(qū)間參數(shù)域的幾何形態(tài)和特征性態(tài)，相較于區(qū)間參數(shù)域，其既不便于結(jié)構(gòu)減基空間及減基列式的建構(gòu)，也不便于MCM的減基抽樣和模擬，新的問題需要新的解決方式。

鑒于此，針對橢球域結(jié)構(gòu)的可靠性分析問題，提出了一種基于減基概念的高效解算方法。綜合坐標(biāo)系的正交變換及其逆向變換，在結(jié)構(gòu)的橢球域上建立合適的減基空間和減基算法，同時(shí)在結(jié)構(gòu)的橢球域上構(gòu)建均勻的等概率參數(shù)抽樣點(diǎn)集，之后在低維的減基空間中快速運(yùn)行MCM模擬，從而實(shí)現(xiàn)了對結(jié)構(gòu)可靠性的高效率分析。算例驗(yàn)證了該方法的工程可行性，并驗(yàn)證了其較之有限元分析具有較高的計(jì)算時(shí)效性。

2 可靠性問題描述

將橢球域結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)函數(shù)表達(dá)為

(1)

(2)

(3)

3 可靠性減基分析

圖1 橢球域下結(jié)構(gòu)可靠性減基分析

Fig.1 Structural reliability reduction analysis on ellipsoid domain

3.1 橢球域下的減基列式

3.1.1 參數(shù)域正交變換

對于橢球域結(jié)構(gòu)可靠性問題(3)所定義的橢球域Ω,分析其特征矩陣W，將W進(jìn)行正交坐標(biāo)變換，即進(jìn)行如下的Schur變換[14]，

W=TTΛΤ

(4)

3.1.2 樣本點(diǎn)逆向變換

將特征矩陣W的分解式(4)代入結(jié)構(gòu)可靠性問題(3)所定義的橢球域Ω,得

(5)

或記為

(6)

(7)

也可寫為

(8)

3.1.3 減基列式的構(gòu)建

(9)

(10)

以及

3.2 橢球域下的減基模擬

3.2.1 抽樣點(diǎn)逆向變換

(12)

St={μi,1≤i≤t}

(13)

(14)

3.2.2 MCM減基模擬

對于橢球域結(jié)構(gòu)可靠性問題(3)，利用減基法進(jìn)行快速逼近，并依據(jù)減基列式(10，11)可以將其變?yōu)闇p基形式下的極限狀態(tài)函數(shù)式

(15)

(17)

4 可靠性計(jì)算流程

針對橢球域結(jié)構(gòu)的可靠性問題，本文提出的可靠性分析方法可分為離線處理和在線計(jì)算兩個(gè)階段。離線處理階段，主要是構(gòu)建橢球域下的減基列式和橢球域中的均勻抽樣點(diǎn)集，并予以保存；在線計(jì)算階段，主要是實(shí)施MCM減基快速模擬，并獲得結(jié)構(gòu)的可靠度逼近值及其數(shù)值可靠域，其計(jì)算流程如圖2所示。其中，在線計(jì)算模塊MCM的減基模擬的具體計(jì)算步驟如下。

圖2 橢球域結(jié)構(gòu)的可靠性計(jì)算流程

Fig.2 Computational process of reliability for the ellipsoidal structure

5 數(shù)值算例測試

(18)

圖3 結(jié)構(gòu)數(shù)值算例

Fig.3 Numerical example of structure

圖4 測試算例的兩種橢球域情況

Fig.4 Two ellipsoidal domains for the testing example

圖5 關(guān)于橢球域Ω1的減基空間樣本點(diǎn)分布

Fig.5 Distribution of sample points for the ellipsoid domainΩ1

圖6 橢球域Ω1中MCM減基模擬的數(shù)值可靠域

Fig.6 Numerical reliability domain by MCM reduced-basis simulation on the ellipsoid domainΩ1

在同一臺計(jì)算機(jī)上，對于橢球域Ω1情況，利用MCM減基模擬執(zhí)行的可靠性分析，消耗的在線平均計(jì)算時(shí)間約為166 s；如果在MCM減基模擬同時(shí)加入稀疏矩陣技術(shù)，則消耗的在線平均計(jì)算時(shí)間可進(jìn)一步降為約59 s；而利用MCM有限元模擬并配合相應(yīng)的稀疏矩陣技術(shù)所實(shí)施的可靠性分析，耗費(fèi)的平均計(jì)算時(shí)間約為1495 s。顯見，在橢球域結(jié)構(gòu)的可靠性分析中，MCM減基模擬方法相較于MCM有限元模擬方法具有較高的計(jì)算時(shí)效性，而這種相對的高時(shí)效性主要是由MCM的大批量和RBM的低維性所造成的。

圖7 橢球域Ω1中MCM有限元模擬的數(shù)值可靠域

Fig.7 Numerical reliability domain by MCM finite-element simulation on the ellipsoid domainΩ1

圖8 關(guān)于橢球域Ω2的減基空間樣本點(diǎn)分布

Fig.8 Distribution of sample points for the ellipsoid domainΩ2

圖9 橢球域Ω2中MCM減基模擬的數(shù)值可靠域

Fig.9 Numerical reliability domain by MCM reduced-basis simulation on the ellipsoid domainΩ2

圖10 橢球域Ω2中MCM有限元模擬的數(shù)值可靠域

Fig.10 Numerical reliability domain by MCM finite-element simulation on the ellipsoid domainΩ2

6 結(jié) 論

工程實(shí)踐中，針對結(jié)構(gòu)可靠性分析過程存在的計(jì)算效率低下等問題，基于減基概念提出了一種新的面向橢球域結(jié)構(gòu)的可靠性高效分析方法。通過對結(jié)構(gòu)參數(shù)域的坐標(biāo)正交變換以及參數(shù)樣本點(diǎn)的坐標(biāo)逆向變換，構(gòu)建出橢球域結(jié)構(gòu)的減基空間及其減基計(jì)算模型，并在此基礎(chǔ)上通過在新坐標(biāo)系下的等概率抽樣以及參數(shù)抽樣點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)橢球域判別及坐標(biāo)逆向變換，實(shí)現(xiàn)了可靠性分析的MCM減基模擬。本文的算例測試驗(yàn)證了所提方法能夠獲得準(zhǔn)確的計(jì)算可靠度及數(shù)值可靠域，并具有較高的計(jì)算時(shí)效性。此外，本文方法對于結(jié)構(gòu)可靠性分析具有重要的通用意義和實(shí)踐價(jià)值，后續(xù)的研究可進(jìn)一步拓展到有關(guān)大型設(shè)備和高端裝備的可靠性設(shè)計(jì)等 領(lǐng)域。