癱船穩(wěn)性橫搖周期計(jì)算方法討論分析

馬坤，梅樹(shù)猛，于津釗

大連理工大學(xué)船舶工程學(xué)院，遼寧大連116024

0 引 言

目前，第2 代完整穩(wěn)性衡準(zhǔn)的制定工作仍在進(jìn)行當(dāng)中，薄弱性評(píng)估方法已基本確定［1-2］。在癱船穩(wěn)性第1 層薄弱性衡準(zhǔn)中，是通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算公式來(lái)確定固有橫搖周期，但該方法沒(méi)有考慮復(fù)原力臂曲線的非線性等因素的影響［3-4］。波蘭在SDC 5/6/8 標(biāo)準(zhǔn)中提出了一種基于非線性的橫搖周期計(jì)算方法，通過(guò)該方法計(jì)算得到的橫搖周期會(huì)隨船舶橫搖角的變化而發(fā)生改變。若將該方法運(yùn)用到癱船穩(wěn)性第1 層薄弱性衡準(zhǔn)中，不僅可以解決橫搖周期計(jì)算方法的適用性問(wèn)題，還可提高穩(wěn)性校核的準(zhǔn)確性。

本文將基于以上2 種橫搖周期計(jì)算方法分別編寫(xiě)程序［5］，并選取漁船、油船、消防船等不同種類的24 艘樣船共72 種載況進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析2 種計(jì)算方法的差異。

1 船舶橫搖周期計(jì)算方法

1.1 癱船穩(wěn)性第1 層薄弱性衡準(zhǔn)中的橫搖周期計(jì)算方法

橫搖周期是指船舶從左舷搖向右舷再回到左舷所經(jīng)歷的時(shí)間。在癱船穩(wěn)性第1 層薄弱性衡準(zhǔn)中，使用固定公式（1）對(duì)橫搖周期進(jìn)行計(jì)算，該公式是基于70 余艘實(shí)船測(cè)試數(shù)據(jù)，由Morita 根據(jù)統(tǒng)計(jì)制定然后簡(jiǎn)化得到［6］。

式中：系數(shù)C=0.373+0.023(B d)-0.043(Lwl100)，其中d 為吃水，Lwl為水線長(zhǎng)；B 為船寬；GM 為經(jīng)自由液面修正后的初穩(wěn)性高。

根據(jù)式（1），可以得到船舶在單一擾動(dòng)力矩下的線性橫搖幅頻曲線，如圖1 所示。從圖中可以看出，船舶線性橫搖頻率nθ為定值，不隨橫搖角θ的變化而發(fā)生任何改變。圖中，ω為波浪頻率。

圖1 線性橫搖幅頻曲線Fig.1 Linear rolling frequency-amplitude curve

癱船穩(wěn)性第1 層薄弱性衡準(zhǔn)考慮的條件是船舶處于不規(guī)則波和陣風(fēng)環(huán)境，但式（1）計(jì)算的是船舶在靜水中且沒(méi)有任何阻力影響情況下的線性橫搖固有周期。在靜水無(wú)阻力條件下，不需要考慮阻尼力矩和擾動(dòng)力矩的影響，線性橫搖，也即橫搖角相對(duì)較小，復(fù)原力矩可采用公式D·GM·θ直接進(jìn)行計(jì)算。根據(jù)牛頓第二定律，可建立如式（2）所示的單自由度線性橫搖運(yùn)動(dòng)微分方程［7］。

式中：θ?為橫搖角加速度；ΔJθθ?為附加慣性力矩；D 為排水量。

假設(shè)全船質(zhì)量（包括附加質(zhì)量）集中于某一點(diǎn)，則該點(diǎn)距橫搖軸的距離為橫搖慣性半徑，通過(guò)該半徑，可相對(duì)容易地計(jì)算出船舶質(zhì)量慣性矩Jθ+ΔJθ。對(duì)式（2）進(jìn)行簡(jiǎn)單的推導(dǎo)后，便可得到現(xiàn)有橫搖周期計(jì)算公式（1）。

若嚴(yán)格按照癱船穩(wěn)性第1 層薄弱性衡準(zhǔn)中的環(huán)境條件，受不規(guī)則橫浪等環(huán)境條件的影響，船舶橫搖勢(shì)必受到阻力作用，同時(shí)，考慮到橫搖角度較大時(shí)復(fù)原力臂曲線的非線性特征，船舶勢(shì)必會(huì)發(fā)生非線性橫搖運(yùn)動(dòng)。因此，通過(guò)式（1）對(duì)橫搖周期進(jìn)行計(jì)算顯然不夠準(zhǔn)確。

1.2 基于非線性的橫搖周期計(jì)算修正方法

船舶做非線性橫搖運(yùn)動(dòng)的主要原因是非線性的橫搖復(fù)原力矩。如圖2 所示，只有當(dāng)橫搖角度θ相對(duì)較小時(shí)復(fù)原力矩M 才與θ呈線性關(guān)系，即等于D·GM·θ。特別是對(duì)于代表大多數(shù)民用船舶的曲線3，線性假設(shè)與實(shí)際差別較大，使用現(xiàn)有方法對(duì)橫搖周期進(jìn)行計(jì)算會(huì)存在一定的誤差，從而導(dǎo)致癱船穩(wěn)性失效模式的評(píng)估結(jié)果不夠準(zhǔn)確。

圖2 不同種類船舶復(fù)原力臂曲線示意圖Fig.2 Schematic diagram of the restoring armcurves with different types of ships

假設(shè)復(fù)原力矩取非線性關(guān)系-M=C1θ+C3θ3，則非線性橫搖運(yùn)動(dòng)微分方程為

式中：Nθ為阻尼比例常數(shù)；C1，C3分別為復(fù)原力的線性和三次項(xiàng)系數(shù)；M擾為擾動(dòng)力矩。通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)，然后忽略高頻部分，便可得到船舶發(fā)生非線性橫搖運(yùn)動(dòng)時(shí)的橫搖頻率：

根據(jù)式（4），船舶非線性橫搖頻率ne不再是一個(gè)定值，而是橫搖幅值θa的函數(shù)。船舶在單一擾動(dòng)力矩下發(fā)生非線性橫搖運(yùn)動(dòng)時(shí)的幅頻曲線如圖3 所示。從圖中可以看出，幅頻曲線分布在橫搖頻率曲線的兩側(cè)，且隨著橫搖頻率曲線的偏斜，幅頻曲線的峰區(qū)也會(huì)隨之呈歪斜狀。

圖3 非線性橫搖幅頻曲線Fig.3 Nonlinear rolling frequency-amplitude curves

所以，經(jīng)綜合考慮非線性復(fù)原力矩曲線的形狀以及橫搖幅值等因素的影響，對(duì)于癱船穩(wěn)性第1層衡準(zhǔn)中的橫搖周期計(jì)算，建議采用SDC 5/6/8標(biāo)準(zhǔn)中的非線性方法［8］，即

式中：T(θa) 為特定橫搖幅值θa下的橫搖周期；GMeq(θa)為特定橫搖幅值θa下的等效初穩(wěn)性高，其計(jì)算公式為

由式（5）和式（6）可知，0～θa范圍內(nèi)的切線平均斜率以及復(fù)原力臂GZ 曲線下的面積是影響船舶橫搖周期計(jì)算結(jié)果的2 個(gè)主要因素。

2 橫搖周期修正方法的驗(yàn)證與應(yīng)用

波蘭對(duì)7 艘樣船共30 種載況進(jìn)行了數(shù)值模擬，并基于影響橫搖周期的主要因素提出了建議的橫搖周期計(jì)算方法［8］。對(duì)比圖1 和圖3 可以發(fā)現(xiàn)，在非線性情況下，線性橫搖頻率nθ與幅頻曲線的交點(diǎn)一定小于橫搖幅值θa的某一點(diǎn)，而非線性橫搖頻率ne與幅頻曲線的交點(diǎn)則為橫搖幅值。

為了進(jìn)一步對(duì)式（5）和式（6）進(jìn)行驗(yàn)證，本文對(duì)3 艘不同種類的樣船進(jìn)行了計(jì)算，樣船基本信息如表1 所示。

表1 樣船基本信息Table 1 Basic information of sample ships

表2 小型漁船橫搖周期簡(jiǎn)化計(jì)算方法Table 2 Simplified method for calculating rolling period of small fishing boat

3 艘樣船的計(jì)算結(jié)果如圖4～圖6 所示。圖中：GM 為基于現(xiàn)有方法計(jì)算得到的初穩(wěn)性高；GMeq為基于修正方法，準(zhǔn)確求得不同橫搖角對(duì)應(yīng)的初穩(wěn)性高；GMeq_simple為基于修正方法，通過(guò)梯形法計(jì)算曲線面積而得到的不同橫搖角對(duì)應(yīng)的初穩(wěn)性高。

由計(jì)算結(jié)果可知，GMeq與GMeq_simple基本重合，誤差主要集中在10°～15°橫搖角之間，這主要是由數(shù)值積分的梯形法則在每個(gè)區(qū)間進(jìn)行線性性質(zhì)的假設(shè)所導(dǎo)致。不過(guò)，在該橫搖幅度范圍內(nèi)，船舶基本不會(huì)發(fā)生安全問(wèn)題，所以通過(guò)近似方法計(jì)算船舶在不同橫搖角下的橫搖周期，其計(jì)算精度完全可以接受。

圖4 小型漁船橫搖周期計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.4 Comparison of rolling period calculation results for small fishing boat

圖5 16 000 t 油船橫搖周期計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.5 Comparison of rolling period calculation results for 16 000 t tanker

圖6 5 000 TEU 集裝箱船橫搖周期計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.6 Comparison of rolling period calculation results for 5 000 TEU container ship

采用IMO 現(xiàn)有方法計(jì)算得到的橫搖周期與方法修正后的計(jì)算結(jié)果間確實(shí)存在一定的差異，該差異大小隨橫搖角的變化而有所不同。5 000 TEU 集裝箱船的結(jié)果差異較為明顯，當(dāng)橫搖角θ=40°時(shí)，通過(guò)兩種方法計(jì)算得到的橫搖周期相差8.5 s。

使用現(xiàn)有方法計(jì)算船舶橫搖周期，一方面有可能使船舶在安全范圍內(nèi)沒(méi)有意義地避開(kāi)一個(gè)速度與航線的配置組合，另一方面還有可能出現(xiàn)因共振而導(dǎo)致大幅橫搖的危險(xiǎn)情況，這種情況在GZ曲線具有明顯非線性特征的船上發(fā)生的概率較大，例如，船舶最大復(fù)原力臂位于25°～30°橫搖角之間相對(duì)較小的區(qū)域范圍內(nèi)時(shí)。所以，使用修正方法代替現(xiàn)有計(jì)算方法不僅能準(zhǔn)確得到船舶橫搖周期，還能協(xié)助船舶操縱者制定安全、經(jīng)濟(jì)、高效的航線。

3 橫搖周期計(jì)算方法對(duì)橫搖幅值計(jì)算結(jié)果的影響

3.1 橫搖幅值計(jì)算修正

使用修正的橫搖周期計(jì)算方法替代目前的常用公式，不僅可以更加準(zhǔn)確地反映諧搖條件，還將影響第2代完整穩(wěn)性失效模式的薄弱性評(píng)估結(jié)果。

在癱船穩(wěn)性第1 層薄弱性衡準(zhǔn)中，是通過(guò)式（7）來(lái)計(jì)算橫搖幅值［9］：

式中，k，X1，X2，r均為系數(shù)。

根據(jù)《2008 年國(guó)際完整穩(wěn)性規(guī)則》中的氣象衡準(zhǔn)，式（7）中的波陡s 需要根據(jù)船舶橫搖周期插值確定，在6 ～30 s 的橫搖周期范圍內(nèi)，橫搖周期越大，波陡越小，且波陡范圍為0.02～0.1。由式（1），根據(jù)經(jīng)自由液面修正后的初穩(wěn)性高，即可確定船舶橫搖周期。

考慮非線性復(fù)原力臂曲線的影響后，橫搖幅值θa與橫搖周期T 之間具有特定的函數(shù)關(guān)系。同樣是對(duì)式（7）進(jìn)行求解，需要通過(guò)迭代來(lái)求解橫搖幅值θa、橫搖周期T 以及波陡s的值。根據(jù)式（5）和式（6），對(duì)癱船穩(wěn)性第1 層薄弱性衡準(zhǔn)中的評(píng)估方法進(jìn)行修改。假設(shè)船舶的初始橫搖角θ0=10°，通過(guò)式（5）和式（6）計(jì)算初始橫搖角θ0對(duì)應(yīng)的橫搖周期T1，得到船舶在橫搖周期為T(mén)1時(shí)對(duì)應(yīng)的波陡s1和橫搖角θ1，然后按照該方法依次求得θ2，θ3，θ4……，當(dāng)前、后兩次迭代所得橫搖角的差值小于10-4時(shí)，停止迭代，輸出最終計(jì)算結(jié)果。

以航行中的24 m 漁政船為例，迭代過(guò)程如表3所示。表中：Sspecific為曲線下的面積；GZspecific為橫搖角對(duì)應(yīng)的復(fù)原力臂；GMspecific為等效初穩(wěn)性高。經(jīng)過(guò)8 次迭代后，得到了穩(wěn)定的收斂結(jié)果。

表3 24 m 漁政船橫搖幅值計(jì)算迭代過(guò)程Table 3 Iterative process for calculating roll amplitude of 24 m fishery administration ship

3.2 樣船計(jì)算結(jié)果及分析

本文選取24 艘樣船，每艘樣船包含3 種載況，對(duì)72 種載況進(jìn)行計(jì)算，其中包括船長(zhǎng)較小的24 m漁船和船長(zhǎng)較大的186 m 油船，以確保船長(zhǎng)較大的跨度范圍以及樣船種類的多樣性。分別通過(guò)2 種橫搖周期計(jì)算方法對(duì)橫搖幅值進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果按船長(zhǎng)大小進(jìn)行排序，如圖7 所示。

圖7 橫搖幅值計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.7 Comparison of rolling amplitude calculation results

根據(jù)計(jì)算結(jié)果可知，通過(guò)2 種方法計(jì)算得到的橫搖幅值，其中71%的載況差值在0.5°范圍內(nèi)。不過(guò)也有空載出港的1 000 t 和2 000 t 油船、大型拖網(wǎng)漁船、6 400 方LNG 船、16 000 t 油船等部分載況計(jì)算結(jié)果的差值較大。其中，空載出港的1 000 t 油船的載況計(jì)算結(jié)果最為顯著，差值幾乎達(dá)5°。

根據(jù)式（7），橫搖幅值是通過(guò)由橫搖周期T 插值得到的波陡s進(jìn)行計(jì)算的。因插值得到的波陡s變化范圍較小，使得采用2 種方法計(jì)算得到的橫搖幅值差異也不大，所以有必要輸出橫搖周期的計(jì)算結(jié)果以進(jìn)行進(jìn)一步的比較分析。

計(jì)算波陡s時(shí)，如果橫搖周期小于6 s，波陡s將取0.1，其不會(huì)使橫搖幅值發(fā)生改變。因此，對(duì)于橫搖周期小于6 s 的船舶，將無(wú)法進(jìn)行準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)迭代。所以，這里僅輸出橫搖周期大于6 s 的57種載況進(jìn)行比較分析，計(jì)算結(jié)果如圖8 所示。

圖8 橫搖周期計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.8 Comparison of rolling period calculation results

根據(jù)計(jì)算結(jié)果，通過(guò)2 種方法計(jì)算得到的橫搖周期，有22.8%的載況其差值大于1 s，差異程度和橫搖幅值相比更加明顯，且對(duì)于橫搖幅值計(jì)算結(jié)果差別較大的載況，其橫搖周期計(jì)算結(jié)果的差別同樣顯著。

輸出滿載出港LS 300 t 漁政船以及空載出港1 000 t油船的GZ 曲線進(jìn)行對(duì)比分析，其中LS 300 t漁政船采用現(xiàn)有方法和修正方法所得橫搖周期計(jì)算結(jié)果相差0.17 s，幾乎一致，而1 000 t 油船的橫搖周期計(jì)算結(jié)果則相差4.2 s，差異較大。

如圖9 所示，在0°到最大復(fù)原力臂對(duì)應(yīng)的橫搖角范圍內(nèi)，LS 300 t 漁政船的GZ 曲線線性特征明顯，原點(diǎn)處的切線斜率，也即初穩(wěn)性高為0.61 m，而本文建議使用的等效初穩(wěn)性高計(jì)算結(jié)果為0.63 m，這樣可以使橫搖周期的計(jì)算結(jié)果幾乎不變。

如圖10 所示，空載出港1 000 t 油船最大復(fù)原力臂對(duì)應(yīng)的橫搖角θ≈25°，GZ 曲線非線性特點(diǎn)較為顯著。原點(diǎn)處的切線斜率，也即初穩(wěn)性高為13.363 m，而本文建議使用的等效初穩(wěn)性高計(jì)算結(jié)果僅為4.193 m，相差3 倍，橫搖周期計(jì)算結(jié)果相差較大。

圖9 LS 300 t油船滿載出港GZ 曲線Fig.9 GZ curve of LS 300 t tanker in full loaded departure

圖10 1 000 t油船空載出港GZ 曲線Fig.10 GZ curve of 1 000 t tanker in ballast departure

4 結(jié) 論

本文基于船舶運(yùn)動(dòng)微分方程，分析了現(xiàn)有橫搖周期計(jì)算方法的缺陷與不足，并通過(guò)3 艘典型樣船，驗(yàn)證了建議方法的準(zhǔn)確性以及便捷性?；? 種橫搖周期計(jì)算方法編寫(xiě)對(duì)應(yīng)的程序，對(duì)樣船進(jìn)行了計(jì)算，通過(guò)對(duì)綜合計(jì)算結(jié)果的分析，得到如下幾點(diǎn)結(jié)論：

1）通過(guò)原理分析以及樣船計(jì)算，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有橫搖周期計(jì)算方法沒(méi)有考慮GZ 曲線的非線性影響，當(dāng)船舶GZ 曲線的非線性特征明顯時(shí)，使用現(xiàn)有方法計(jì)算得到的橫搖周期不夠準(zhǔn)確，建議使用修正的橫搖周期計(jì)算方法。

2）現(xiàn)有的橫搖周期計(jì)算方法會(huì)影響癱船穩(wěn)性等失效模式薄弱性評(píng)估結(jié)果的準(zhǔn)確性，建議使用修正的橫搖周期計(jì)算方法，通過(guò)迭代來(lái)對(duì)橫搖幅值進(jìn)行計(jì)算。

3）船舶在海面上航行時(shí)，利用修正的橫搖周期計(jì)算方法可以更加準(zhǔn)確地計(jì)算船舶處于不同橫搖角所對(duì)應(yīng)的橫搖周期。