空間曲線索的平衡方程及單索幾何判定

張志宏

(上海師范大學 土木系，上海 201418)

1 引 言

索是預應(yīng)力體系中最為基本的構(gòu)件或單元。從平衡后的幾何形狀區(qū)分，索可分為平面曲線索(單索和雙索體系，如傳輸線、索道、斜拉橋拉索、船舶錨索、深海鉆井平臺系泊索、懸索橋的懸索、張弦體系的下弦索和單榀平面空間索桁體系)和空間曲線索(如非球面或非圓平面的索穹頂結(jié)構(gòu)、空間索桁體系和單層肋環(huán)型索網(wǎng)結(jié)構(gòu)等的環(huán)索)兩種；從垂度大小可以分為懸索和拉索；從是否閉合可以分為閉合索和非閉合索；從是否連續(xù)可以分為連續(xù)索(一階導數(shù)連續(xù))和離散索(一階導數(shù)不連續(xù))。其中，單根曲線索是索桿體系或索桿梁體系的計算分析的基礎(chǔ)。索段的有限元數(shù)值單元模型主要有半解析的拋物線索單元、懸鏈線索單元、三節(jié)點或更多節(jié)點等參元等平面曲線索單元和二節(jié)點只拉不壓桿單元等直線索單元。平面曲線索單元在大垂度連續(xù)長索的靜力分析中具有計算精度高和計算量小等優(yōu)點，但運動單索將不再保持為平面曲線，平面曲線假定將不再成立。直線索單元可很好地滿足小垂度離散短索的靜動力分析要求，但用于長索計算分析需要劃分較多的單元，計算量較大[1-5]。因此，長期以來實際工程設(shè)計時，一般以直代曲對曲線索進行數(shù)值模擬，忽視了單索的力學本質(zhì)及其受力特點的連續(xù)化解析。

從數(shù)學的角度而言，曲線和曲面是經(jīng)典微分幾何的研究對象。其中，曲線在直觀上可看成一個空間單自由度質(zhì)點的運動軌跡，可以用一組單參數(shù)方程來描述。如在三維歐氏空間R3的直角坐標系中，可表示為一組方程x1=x1(t),x2=x2(t),x3=x3(t),其中t為參數(shù)，滿足該參數(shù)方程的點的集合就是空間曲線。由理論力學知識，質(zhì)點的運動采用矢量表示為r(t)=x1(t)e1+x2(t)e2+x3(t)e3,而曲線的方向根據(jù)參數(shù)增加的方向確定正向。經(jīng)典微分幾何[6-8]中取空間曲線的弧長s作為參數(shù),即r(s)=x1(s)e1+x2(s)e2+x3(s)e3。

然而，空間曲線的經(jīng)典微分幾何描述，似乎與力學描述仍舊有些距離。實際工程中的空間曲線索具有初始截面形狀，且存在一定的抗彎、抗剪和抗扭剛度。采用連續(xù)化方法通過彈性力學坐標來描述則是曲線梁，與熟悉的直梁理論(Bernoulli梁或Timoshenko梁)相比，曲線梁一般情況下是具有初始曲率和撓率的彎扭耦合構(gòu)件，如橫截面翹曲和剪切變形等，平截面假定一般情況下也不再適用[9-11]，因此，曲線梁的數(shù)學和力學描述更復雜。

本文圍繞單索的力學模型展開討論，主要包括兩部分內(nèi)容。一，圓截面空間曲線梁平衡方程推導和理想柔索假定的引入，以及平面索曲線在整體坐標系下的等價形式。二，從體系幾何判定方面，對單索的靜不定次數(shù)和動不定次數(shù)進行討論。本文的內(nèi)容比較基礎(chǔ)，著重于連續(xù)化分析和力學概念，供有關(guān)學者和工程師參考。

2 空間曲線索的平衡方程

先考察空間曲線梁在自然坐標系下的平衡方程，然后通過抗彎和抗扭剛度退化方法獲得理想柔索的一些結(jié)論。本文采用先難后易、先繁后簡的順序，目的是與工程實踐相一致。

2.1 圓橫截平面空間曲線梁的平衡方程

細長的空間曲線構(gòu)件通常稱為曲線梁。空間曲線梁的平衡方程可采用微分方法在整體坐標系下建立[12,13]。圖1中，x1x2x3表示空間曲線梁橫截平面的形心主軸所在的局部坐標系。

圓形橫截面構(gòu)件在零狀態(tài)幾何下，可以假定自然坐標系與形心主軸局部坐標系重合，但對一般形狀截面，此假定是不成立的。即便是圓形截面，彎剪扭耦合變形后兩者也不再重合。因此，由于構(gòu)件截面形狀的存在，有必要引入橫截平面形心主軸局部坐標系與自然坐標系eNeBeT(截面形心所在空間曲線的自然坐標系)的旋轉(zhuǎn)角度參數(shù)θ(s)，如 圖1(a)所示。這里存在一個簡單的平面旋轉(zhuǎn)變換，其變換關(guān)系如下。

(1)

(2)

圖1 空間曲線梁的微元體

Fig.1 Differential segment of spatially curved beam

令p=κsinθ,q=κcosθ,r=τ+?θ/?s,其中κ表示曲率，τ表示撓率，代入式(2)得

(3)

采用微分方法，由微元體空間力系平衡關(guān)系建立任意形狀橫截面空間曲線梁的平衡方程，如圖1(b)所示，由原點O處的合力和合力矩平衡得到(λ為常數(shù)且0≤λ≤1.0)

略去二階及以上高階小量

(4)

式(4)即為任意橫截面形狀的空間曲線梁一階近似平衡方程的矢量形式，理論上與坐標系的選取不相關(guān)，雖然F(s)和M(s)定義在橫截平面上，eT定義在自然坐標系中，f(s)和m(s)定義在橫截面形心主軸上，但都可以看作是整體坐標下的矢量，這是矢量分析的優(yōu)點即所謂的標架不變性。

在橫截平面的形心主軸局部坐標系中，并將式(1，3)代入式(4)，整理得到式(4)的標量形式如下。

(5)

注意，式(4)標量形式可以直接在整體坐標系中展開。式(5)建立在橫截面形心主軸坐標系下，該局部坐標系與自然坐標系的旋轉(zhuǎn)角度θ(s)是未知的，且與橫截平面的內(nèi)力相關(guān)，非圓橫截平面在大扭轉(zhuǎn)位移后不再保持為平面。

值得指出，建筑結(jié)構(gòu)用索主要有平行鋼絲束PE索、多股鋼絲繩和單股大扭角鋼絲繩等，其中，平行鋼絲束拉索截面鋼絲排布為六邊形，鋼絲繩為分層捻制而成。單根鋼絲有扭轉(zhuǎn)拉伸，鋼絲和鋼絲之間存在擠壓及摩擦。因此，真實的索是組合結(jié)構(gòu)而非連續(xù)介質(zhì)，不遵守平截面假定，索體制作過程的數(shù)值模擬應(yīng)采用更為復雜和精細的實體單元數(shù)值模型且應(yīng)考慮接觸摩擦[5]。

2.2 理想柔索假定和方程退化

為了簡化計算，結(jié)構(gòu)工程用索一般假定：

(1)索為理想柔索，不能承受剪力和彎矩作用。

(2)滿足胡克定律，材料為小應(yīng)變。

因此，F(xiàn)1=0,F2=0,Mi=0,mi=0,則式(5)退化為

(6)

式(6)表明，(1)理想柔索的空間曲線形狀和軸力大小取決于外荷載的大小和分布；(2)理想柔索的空間曲線平衡方程僅和曲率有關(guān)，與撓率無關(guān)。此外，式(6)的工程應(yīng)用方面的幾個問題補充如下，為區(qū)別橫截平面局部坐標系，整體直角坐標系采用xyz表示。

2.3 理想柔索的次法線方向荷載

上述推導過程中，式(6)中f2(s)貌似沒有作用。實際上，對于圓形橫截平面理想柔索，橫截面形心主軸局部坐標系與自然坐標系重合，θ(s)=0,由式(6)得到

(7)

式(7)表明，因為理想柔索的橫截平面形心主軸局部坐標系與自然坐標系重合，所以索體不能承受次法線方向的荷載?；蛘哒f，平衡的空間曲線理想柔索只能承受主法線方向和切線方向的荷載。

3 平面曲線索整體直角坐標系下的平衡方程

式(6)建立在橫截平面形心主軸局部坐標系下，結(jié)合上文關(guān)于平面徑向索的討論，探討式(6)進一步退化為二維平面曲線索后的情況。

記二維直角坐標系xoy內(nèi)平面曲線方程為y=y(x),沒有扭轉(zhuǎn)發(fā)生，φ(x)為理想柔索形心所在平面曲線的切線與水平軸x軸的夾角。圓形橫截平面的形心主軸局部坐標系與自然坐標系重合，θ(s)=0。假設(shè)平面曲線理想柔索只承受豎向(坐標軸y負方向)的均布自重荷載w(s)作用(沿弧長均勻分布)，則

f1(s)=w(s)cosφ,f2(s)=0

f3(s)=w(s)sinφ，tanφ=?y/?x

qF3+f1=0 ?κF3+f1=0

平面曲線理想柔索橫截平面上軸力的水平分力為

令整體坐標系沿x軸分布的豎向，即y軸正向荷載為q(x),則

整理上述推導得

Fx?2y/?x2+q(x)=0

(8)

由三維空間曲線索平衡方程式(6)退化得到二維平面曲線索在整體坐標系下的平衡方程式(8)。由式(8)可知，如果q(x)取常數(shù)，是沿水平軸的均勻分布荷載，則平面索曲線形狀為二次曲線。這一點與自重作用下的垂索為懸鏈線形狀并不矛盾，因為豎向自重荷載沿弧長均勻分布，那么沿x軸分布并不均勻。

4 單索幾何判定

如圖2所示，取單根平面或空間曲線索為隔離體，采用簡化模型，以節(jié)點集中荷載方式近似考慮索體自重，隔離體本身在三維或二維空間中單元數(shù)b大于1情況下，計算自由度數(shù)均大于等于0(表1)，貌似是靜定動定體系或靜定動不定體系。這是想當然且錯誤的。而將非封閉的理想曲線柔索看作一維空間體系，無論索段數(shù)目多少，僅存在1個軸向多余約束。其實，空間曲線在自然坐標描述下就是一維的，單直線索段單根索以及多直線索段組成的單根索均為1次靜不定體系。如索道可看作一維運動的、單根多直線索段的空間曲線索，滑輪支承處只有豎向約束。如表1所示，在二維或三維空間中計算自由度數(shù)之所以大于0，是由于單索是動不定體系，計算自由度數(shù)隨著單元數(shù)的增加而增加是網(wǎng)格劃分或離散逼近的原因，從連續(xù)化的角度而言實際上是無窮多。

圖2 多段理想柔索曲線

Fig.2 Multiple ideally flexible cable curve

因此，單根空間曲線理想柔索是靜不定動不定體系，靜不定次數(shù)等于1，動不定次數(shù)等于無窮。

5 結(jié) 論

空間曲線索的平衡方程雖然可以由理想柔索假定出發(fā)建立，也可以由圓截面空間曲線梁的平衡返程退化而來。后者先繁后簡，貌似復雜一些，但這對于豐富空間曲線索的力學模型是有必要的。另一方面，理想柔索并不能承受次法線方向的外荷載，這對理解均布自重作用下單索為何為平面曲線是有幫助的。

本文對單根空間曲線理想柔索的計算自由度進行了比較分析，單根空間曲線理想柔索的靜不定次數(shù)為1，動不定次數(shù)為無窮。顯然，單根空間曲線索的靜力分析僅有平衡方程是不夠的[14,15]。此外，由于其動不定特性，單根空間曲線索的基礎(chǔ)理論仍需進一步研究和完善。