含橡膠連桿的曲柄滑塊機構非線性動力學研究*

程壽國，陳虎威，呂清濤

(1.上海大學 機電工程與自動化學院，上海 200072；2.江陰職業(yè)技術學院 機電工程系，江蘇 江陰 214405；3.江蘇航天動力機電有限公司，江蘇 泰州 214523；4.清華大學 計算機科學技術系，北京 100084；5.上海天茗信息科技有限公司，上海 201499)

0 引 言

橡膠件在工程上廣泛應用于彈性聯(lián)軸節(jié)、連桿銷套和隔震等領域。陸金銘等[1]利用扭轉振動試驗臺和有限元數值模擬方法研究了高彈聯(lián)軸器橡膠件的溫度場分布變化過程和溫度變化曲線；趙雷雷等[2]通過彈性力學理論計算分析、有限元軟件仿真及試驗等方法研究了懸架軸對稱橡膠襯套徑向變形，證明了3種方法的一致性；魏志剛等[3]通過材料力學試驗為有限元仿真提供了橡膠襯套材料力學性能參數；梁瑞軍等[4]研究了隔震曲線連續(xù)梁橋鉛芯橡膠支座參數優(yōu)化問題。

而現在對曲柄滑塊機構的運動穩(wěn)定性研究主要集中于鉸間隙和連桿裂紋兩個問題。王旭鵬等[5-6]主要對曲柄滑塊機構含間隙時接觸碰撞力進行了研究，但沒有進一步討論含間隙的系統(tǒng)運動是否是混沌的；史麗晨等[7]主要對往復式活塞隔膜泵動力端滑道磨損故障的動態(tài)特性進行了研究，并利用龐加萊截面圖和最大李雅普諾夫指數等判別方法，討論了系統(tǒng)的運動狀態(tài)，其研究結果說明了當滑道磨損時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；RAHMANIAN S和GHAZAVI M[8]推導了考慮滑塊與連桿旋轉關節(jié)間隙的運動微分方程，研究了帶間隙曲柄滑塊機構的非線性動力學行為；DUPAC M和BEALE D G[9]利用拉格朗日方程建模，研究了曲柄滑塊機構中連桿中存在間隙和裂紋的非線性動力學問題。

由于以上分析并沒有考慮連桿材料為橡膠材料的情況，筆者將利用SimDesigner軟件對含橡膠連桿的曲柄滑塊機構進行動力學仿真，并分析系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性，為將來含橡膠材料構件的動力學研究提供參考。

1 系統(tǒng)建模及連桿主要參數

常用機械系統(tǒng)動力學建模方法主要分為兩類：

(1)以ADAMS等工程軟件為主要工具的間接數學建模，用工程軟件工具間接數學建模比較直觀、操作起來容易，根據零件幾何尺寸進行建模、裝配、添加驅動，選擇仿真工具進行計算，就可以計算出運動參數和約束力等；

(2)以拉格朗日方程為主要工具的直接數學建模[10]，對實際結構進行一定的簡化，利用幾何關系進行求導，將實際問題抽象成方程或方程組，利用ODE等方法進行方程(組)的求解。

由于橡膠件受載荷后，有變形大等一系列特性,其剛度及強度不能用通常的材料力學方法來計算，而單獨使用ADAMS也不能求解橡膠等大變形問題。

筆者利用SimDesigner軟件，通過在CATIA建模環(huán)境中提供MSC-Nastran求解器的接口，能夠進行多體動力學、結構分析、熱分析和非線性有限元分析來解決問題[11-12]。

筆者在軟件中定義柔性體后，仿真求解出*.mnf文件和*.xdb文件，激活橡膠連桿為柔性體，曲柄勻速轉動，帶動滑塊直線運動，通過后處理求得機構的運動參數。其中，橡膠桿的主要參數如下：彈性模量為2×106 N/m2，泊松比為0.49，密度為910 kg/m3。

橡膠連桿的主要幾何尺寸如圖1所示。

圖1 橡膠連桿的主要幾何尺寸

圖1中，連桿兩個軸承孔圓心距離350 mm，兩個軸承孔外徑為32 mm。為了表述方便，將曲柄與連桿連接的軸承孔外徑用D表示，連桿與滑塊連接的軸承孔外徑用d表示。橡膠桿厚度為20 mm。

2 系統(tǒng)的計算結果與分析

筆者分別對曲柄滑塊機構進行全剛體分析、剛柔耦合分析(原始尺寸D=d=32mm)，和軸承孔外徑尺寸發(fā)生變化后的剛柔耦合分析，進而對比分析含橡膠材料連桿的曲柄滑塊機構運動規(guī)律，以及曲柄轉速對含橡膠連桿的曲柄滑塊機構的影響、軸承孔外徑尺寸對該系統(tǒng)的影響。

2.1 全剛體分析、剛柔耦合分析的數值結果對比

全剛性和剛柔耦合機構滑塊的位移、速度和加速度對比圖如圖2所示。

圖2 全剛體分析和剛柔耦合分析滑塊的加速度對比

圖2中，橫坐標是曲柄的角位置，縱坐標分別是滑塊的位移、速度和加速度。對比以上分析結果可知，全剛體分析和剛柔耦合分析情況如下：

(1)滑塊的位移均為“正弦”曲線，而且曲線趨勢一致。這是因為雖然剛柔耦合帶入非線性因素，但是對滑塊的位移影響非常??；

(2)全剛體情況時，滑塊的速度曲線是標準的正弦曲線；而剛柔耦合情況時，滑塊的速度曲線發(fā)生劇烈波動，但整體呈現和剛體情況類似的正弦曲線。這是因為在剛柔耦合狀態(tài)時，橡膠連桿的兩個軸承孔中心的距離是變化的，從而引起滑塊速度曲線的波動，此時速度的變化趨勢與全剛體類似，所以滑塊的速度曲線一致圍繞著全剛體情況下滑塊的速度曲線上下波動。

全剛體情況下，滑塊速度最大值約為1 030 mm/s，滑塊速度最小值約為-1 030 mm/s；剛柔耦合情況下，滑塊速度最大值約為1 160 mm/s，滑塊速度最小值約為-1 200 mm/s；

(3)全剛體情況時，滑塊的加速度曲線作周期性變化；剛柔耦合情況時，滑塊加速度呈現看似無規(guī)則振動狀態(tài)，但大致變化趨勢與全剛體狀態(tài)接近。這是因為由于連桿材料的非線性，在對連桿施加外載時，連桿的兩個軸承孔中心距離不斷變化造成的。

全剛體情況下，滑塊加速度最小值約為-8 460 m/s2；剛柔耦合情況下，相應時刻滑塊加速度約為-23 000 mm/s2，滑塊最大加速度約為26 600 mm/s2，滑塊最小加速度約為-25 600 mm/s2，且變化頻繁。

2.2 曲柄轉速對含橡膠連桿曲柄滑塊機構的影響

曲柄在60 r/min、90 r/min和120 r/min轉速下，滑塊的位移、速度和加速度，即滑塊的動力學響應如圖3所示。

從圖3(a)可以看出：滑塊的位移對曲柄轉速變化影響不明顯，在波峰和波谷有很小的變化；

從圖3(b，c)可以看出：在波峰和波谷處速度、加速度的變化最大，而圖3(a)中波峰、波谷位置正是滑塊運動極限位置。當曲柄轉速為120 r/min時，滑塊的速度最大值約為2 720 mm/s，滑塊的速度最小值約為-2 850 mm/s；曲柄轉速為90 r/min時，滑塊的速度最大值約為1 880 mm/s，滑塊的速度最小值約為-1 920 mm/s；曲柄轉速為60 r/min時，滑塊的速度最大值約為1 110 mm/s，滑塊的速度最小值約為-1 220 mm/s；

從圖3(b)中可以看出：當曲柄轉速越小，滑塊的速度波動越小；

從圖3(c)可以看出：曲柄轉速對滑塊的影響更加明顯，已經看不出“正弦曲線的波峰和波谷”。

2.3 曲柄與連桿連接的軸承孔外徑對系統(tǒng)的影響

在曲柄與連桿連接的軸承孔外徑尺寸變化時，含有橡膠連桿的曲柄滑塊機構滑塊的位移、速度和加速度的響應如圖4所示。

圖4 曲柄與連桿連接軸承孔外徑變化時滑塊運動響應

圖4中，曲柄的轉速為60 r/min。當軸承孔外徑尺寸(連桿的兩個軸承中心距不變)發(fā)生變化時，從圖4(a)可以看出，滑塊的位移變化很??；從圖4(b)可以看出，滑塊的速度有了一些變化；從圖4(c)可以看出，軸承孔外徑為32 mm時，滑塊的加速度在114°～260°區(qū)間內波動比另外兩種情況波動大很多。

3 系統(tǒng)運動狀態(tài)判別

機械系統(tǒng)的運動通常包括周期運動、準周期運動、混沌和隨機運動幾類。判別系統(tǒng)運動是否是混沌的方法主要有：相圖觀測法、龐加萊截面法、分岔圖、分頻采樣法、重構相空間法等定性判別方法；以及Lyapunov指數法和功率譜分析法等定量判別方法。通常情況下，將幾種方法結合起來可以獲得更加準確的結果[13]。

筆者通過結合相圖觀測法、計算最大Lyapunov指數法和功率譜分析法，來討論系統(tǒng)運動是否是混沌的。

3.1 相圖觀測法分析

相圖觀測法分析是根據動力學系統(tǒng)的數值運算結果，畫出狀態(tài)變量隨時間的歷程圖，即相空間中相軌跡隨時間的變化圖。當相軌跡曲線是封閉圖形時，系統(tǒng)的運動為周期運動，因為混沌不具有周期性，相軌跡曲線是不封閉的圖形時，系統(tǒng)的運動可能是混沌運動；而混沌運動的往復性表現為相軌跡曲線集中在有界范圍內，且不會發(fā)散到無窮遠。

(1)全剛體機構與剛柔耦合機構的相圖。

全剛體曲柄滑塊機構與剛柔耦合機構的滑塊的相圖曲線如圖5所示。

圖5 全剛體與剛柔耦合機構的滑塊相圖對比分析圖

圖5中，實線為全剛體曲柄滑塊機構的相圖曲線，是封閉曲線，可以說明其運動為周期運動；通過圖5(c)中的虛線可以比較容易觀察出含橡膠連桿的剛柔耦合機構可能是混沌的，所以后面主要觀察滑塊速度-加速度相圖。

(2)曲柄轉速不同時的相圖。

曲柄不同轉速時滑塊的相圖如圖6所示。

圖6 曲柄不同轉速時滑塊的相圖

從圖6中可以看出：曲柄轉速不同時，滑塊的速度-加速度相圖變化明顯；滑塊速度與加速度相圖曲線隨著曲柄轉速不斷增加變得越來越稀疏；曲柄的轉速不同，曲柄對橡膠連桿的力不同，橡膠連桿的變形不同，且橡膠是非線性材料，橡膠連桿作用在滑塊上的力也不相同，造成不同曲柄轉速驅動下滑塊的相圖有很大的區(qū)別。

(3)曲柄與連桿間軸承外徑尺寸變化時的相圖。

曲柄與連桿間軸承外徑尺寸變化時的相圖如圖7所示。

圖7 曲柄與連桿間軸承外徑尺寸變化時的相圖

從圖7中可以看出：系統(tǒng)處于非周期狀態(tài)，相圖是不封閉且有界的；隨著曲柄與連桿間軸承外徑尺寸變化，相圖發(fā)生一定的變化。這一點與混沌系統(tǒng)對系統(tǒng)參數微小變化的敏感性是一致的。

系統(tǒng)是否處于混沌狀態(tài)還需要作進一步的判別。

3.2 最大李亞普諾夫指數

當最大Lyapunov指數為正值時，系統(tǒng)就是混沌的。雖然龐加萊截面法映射圖或相平面軌跡都可作為周期與混沌的直觀判斷方法，但求解Lyapunov指數比別的方法更為可靠。

計算最大Lyapunov指數的方法很多，在這里筆者采用WOLF法進行計算。WOLF法是計算最大Lyapunov指數常用的方法之一[14]。

在不同轉速下，曲柄的最大Lyapunov指數演變圖、曲柄，以及連桿連接軸承外徑尺寸不同時的最大Lyapunov指數如圖8所示。

圖8 考慮連桿柔性時的最大Lyapunov指數

從圖8(a)中可以看出：當D=32 mm、d=32 mm時，曲柄分別在V=60 r/min、V=90 r/min、V=120 r/min和V=150 r/min轉速下，通過WOLF法計算得到的最大Lyapunov指數值分別為0.005 5、0.005 8、0.017 3和0.026 7。由此可以發(fā)現，隨著曲柄轉速的增加，最大Lyapunov指數值也隨之增加；

從圖8(b)中可以看出：曲柄與連桿連接軸承外徑尺寸分別為D=30 mm、D=32 mm、D=33 mm和D=34 mm時的最大Lyapunov指數演變圖，通過WOLF法計算得到的最大Lyapunov指數相應值分別為0.010 2、0.005 5、0.011 2和0.017；在D=32 mm時，最大Lyapunov指數值最小。

以上計算的最大Lyapunov指數值均為正值，由此可以判斷，在以上參數時系統(tǒng)是混沌的。

3.3 功率譜分析

因為混沌振動具有隨機性，可以采用隨機振動的頻譜分析方法來識別混沌振動。周期運動和準周期運動的功率譜為離散譜，而混沌運動的功率譜為連續(xù)譜。

含橡膠連桿的曲柄滑塊系統(tǒng)的功率譜如圖9所示。

圖9 考慮連桿柔性時的功率譜

從圖9中可以看出：系統(tǒng)的功率譜是連續(xù)的；從功率譜分析判斷可知系統(tǒng)是混沌的。

4 結束語

利用SimDesigner軟件可以進行大變形、大應變計算的特點，筆者對含橡膠連桿的曲柄滑塊機構進行了剛柔耦合動力學仿真，并利用相圖觀測分析法、最大Lyapunov指數法和功率譜分析法，分別對系統(tǒng)運動是否混沌進行了討論。具體如下：

(1)通過全剛體模型與剛柔耦合對比分析后，證實SimDesigner軟件可以對橡膠材料進行仿真計算，通過相圖觀察含橡膠連桿的曲柄滑塊機構運動可能具有混沌吸引子，而在不同轉速和曲柄與連桿連接軸承外徑尺寸不同時，最大Lyapunov指數均為正，可以說明系統(tǒng)是混沌的；

(2)通過圖(2～4)可以看出，考慮橡膠連桿為柔性體時滑塊的加速度變化非常明顯，滑塊的位移變化很小。通過滑塊的速度、加速度相圖更容易觀察出系統(tǒng)可能是混沌的；

(3)從圖3(b，c)和圖6可以看出，考慮橡膠連桿為柔性體時，滑塊運動對曲柄轉速的變化比較敏感；

(4)通過圖(4，7)可以看出，當曲柄與連桿連接軸承外徑尺寸不同時系統(tǒng)發(fā)生了變化，進一步說明了系統(tǒng)是混沌的，系統(tǒng)的運動對系統(tǒng)參數的微小變化響應敏感。