2RPC/2SPC并聯(lián)機構(gòu)及運動學分析

陳業(yè)富, 周毅鈞, 傅 敏, 張 偉

(安徽理工大學機械工程學院，安徽 淮南 232001)

隨著工業(yè)的發(fā)展，并聯(lián)機器人的應用越來越廣泛，最為典型的并聯(lián)機構(gòu)有Stewart機構(gòu)、Delta機構(gòu)、Tricept機構(gòu)等。針對并聯(lián)機構(gòu)應用場合的多變性和復雜性，尤其是特殊少自由度應用場合中，少自由度并聯(lián)機構(gòu)的應用顯得更加適合，且針對性強，應用更加專用化。對于四自由度并聯(lián)機構(gòu)來說，文獻[1]等提出的一種單自由度3T1R型并聯(lián)機構(gòu)，并對其拓撲結(jié)構(gòu)和運動學進行了分析；文獻[2-3]基于螺旋理論提出的3T1R型并聯(lián)機構(gòu)型綜合以及對該構(gòu)型中SCARA并聯(lián)機器人的正解分析和II型奇異性分析；文獻[4]針對微創(chuàng)手術(shù)提出的一種新型四自由度機器人，并建立了雅克比矩陣，導出了螺旋靜力關(guān)系和線性約束；文獻[5]提出的一種新型3UPS-UPR并聯(lián)機構(gòu)，并利用影響系數(shù)法進行了運動學分析；文獻[6]利用歐幾里德群的運動學映射研究了4-RUU并聯(lián)機器人的操作模式，并分解成兩個2-RUU并聯(lián)機器人得到兩種Schonflies模式。

運動學特性作為并聯(lián)機構(gòu)的性能指標之一，決定機構(gòu)動平臺的動態(tài)響應程度、工作效率以及運動是否合理。中外學者在這方面都取得了一定成就，如文獻[7]利用并聯(lián)機構(gòu)閉環(huán)特性進行了運動學基本公式和相關(guān)技術(shù)的介紹；文獻[8-9]利用螺旋理論對并聯(lián)機構(gòu)做系統(tǒng)分析；針對并聯(lián)機構(gòu)運動學分析，如文獻[10]運用矢量代數(shù)法和數(shù)值法對Tripod并聯(lián)機器人進行了運動學分析，并利用Jacobian矩陣的條件數(shù)進行了運動學性能評價；文獻[11]利用影響系數(shù)法對一種嵌套式并聯(lián)機構(gòu)RPP-RPRR進行了運動學分析。

針對3T1R型并聯(lián)機構(gòu)的研究和應用，本文提出一種2RPC/2SPC[12-16]型并聯(lián)機構(gòu)，首先對機構(gòu)進行了運動特征分析和自由度計算。其次利用空間坐標變化方程和封閉矢量法得到了位置反解方程，并在其基礎(chǔ)上通過牛頓-拉弗森迭代法進行了位置正解分析。通過虛設(shè)機構(gòu)法建立了機構(gòu)一階影響系數(shù)矩陣，并在正解方程基礎(chǔ)上利用微分法進行了數(shù)值算例驗證以及ADAMS軟件仿真驗證，最后利用ADAMS進行了穩(wěn)態(tài)運動學分析，綜合得出該機構(gòu)的運動學特性。

1 自由度分析

1.1 機構(gòu)描述

如圖1所示，2RPC/2SPC并聯(lián)機構(gòu)由靜平臺、動平臺、兩條RPC支鏈以及兩條SPC支鏈組成。其中兩條RPC支鏈和兩條SPC支鏈分別呈兩兩對稱布置，RPC支鏈中圓柱副(C)與動平臺相連，轉(zhuǎn)動副(R)與靜平臺相連；SPC支鏈中圓柱副(C)與動平臺相連，球副(S)與靜平臺相連。兩條RPC支鏈中的R11副與R31副軸線相互平行，且各RPC支鏈中的R副與C副軸線平行，兩條SPC支鏈中的C副軸線平行。

1.2 自由度計算

由于SPS支鏈對動平臺不產(chǎn)生約束作用，所以只需要對兩條RPC支鏈進行分析。在定坐標o-xyz中，第一條RPC支鏈的運動螺旋系可表示為

(1)

根據(jù)螺旋理論互易積原理可得式(1)的反螺旋為

(2)

式(2)表示第一條RPC支鏈對動平臺產(chǎn)生了繞x軸和z軸的約束力偶。

同理可得另一條RPC支鏈的反螺旋為

(3)

式(3)表示第二條RPC支鏈對動平臺同樣產(chǎn)生了繞x軸和z軸的約束力偶。

因此四條支鏈對動平臺限制了繞x軸和z軸的轉(zhuǎn)動，動平臺可以實現(xiàn)三平移和繞y軸的轉(zhuǎn)動。

根據(jù)修正的Grübler-Kutzbach自由度公式計算該機構(gòu)的自由度

(4)

式中：d為機構(gòu)的階數(shù)(d=6-λ，λ為機構(gòu)的公共約束數(shù))；n為機構(gòu)的總構(gòu)件數(shù)；g為運動副數(shù)；fi為第i個運動副的相對自由度數(shù)；v為機構(gòu)冗余約束數(shù)，ξ為機構(gòu)局部自由度。

2 位置分析

2.1 位置反解

位置反解是指已知動平臺各位姿參數(shù)，求解各驅(qū)動輸入大小。根據(jù)自由度分析可知2RPC/2SPC并聯(lián)機構(gòu)具有三平移一轉(zhuǎn)動共四個自由度運動特征，因此本例中位置反解是指已知動平臺位姿參數(shù)x、y、z、β，求解四條支鏈驅(qū)動副即移動副的輸入l1、l2、l3、l4。

Ai和Di′分別表示Ai點在定坐標系中和Di點在動坐標系中的坐標矢量，即

(5)

(6)

動坐標系相對于定坐標系的位置用o′相對于定坐標系的坐標矢量P來表示，即

P=(x,y,z)T

(7)

動坐標系相對于定坐標系的坐標轉(zhuǎn)換矩陣Q可表示為

(8)

動平臺Di點在定坐標系中的坐標矢量Di可表示為

Di=QD′i+P

(9)

先計算位置反解A1B1的長度l1可表示為

(10)

同理可求l2、l3和l4如式(11)所示

(11)

2.2 位置正解

通過對反解方程式(11)進行整理可得

(12)

式(12)可寫成F(T)=0，其中F=(f1,f2,f3,f4)T，T=(x,y,z,β)T。因此可采用針對非線性方程組的牛頓-拉弗森迭代法進行數(shù)值正解分析

F′(T(k))ΔT(k)=-F(T(k))

(13)

T(k+1)=T(k)+ΔT(k)

(14)

通過給定的輸入?yún)?shù)l1、l2、l3、l4，根據(jù)給定的初始向量T(0)進行迭代，最后得到符合精度要求的向量T即并聯(lián)機構(gòu)的輸出位姿參數(shù)，同時位置正解計算也為瞬態(tài)運動學分析中的微分法計算奠定了基礎(chǔ)。

3 運動學分析

3.1 瞬態(tài)運動學分析

2RPC/2SPC并聯(lián)機構(gòu)的一節(jié)影響系數(shù)矩陣可通過虛設(shè)機構(gòu)法來求解，根據(jù)虛設(shè)機構(gòu)原理需要對RPC支鏈虛設(shè)一個軸線平行于x軸和一個軸線平行于z軸的轉(zhuǎn)動副，如圖2所示。

圖2 RPC支鏈虛設(shè)運動副示意圖

(15)

φri表示第r條分支中第i個運動副速度，對于RPC支鏈和SPC支鏈φri分別為

(16)

(r=1，3)

(17)

(r=2，4)

(18)

(19)

D1=(k1x-k1a+m1z+bk1cosβ+bm1sinβ)，D3=(k3a+k3x+m3z-bk3cosβ-bm3sinβ)，

D2=al2-bl2+yl2+m2zcos2β-cosβsinβ(m2x+k2z)+k2xsin2β，

D4=-al4+bl4+yl4+m4zcos2β-cosβsinβ(m4x+k4z)+k4xsin2β，

E1=(az+yz)(1-cos2β)-bz+sinβcosβ(ax+xy)，

E7=(yz-az)(1-cos2β)+bz+sinβcosβ(xy-ax)，

E2=sinβcosβ(z2-x2)+xz(cos2β-sin2β)，

E3=x(b-a-y)-(az+yz)cosβsinβ+(ax+xy)sin2β，

E9=x(a-b-y)-(az-yz)cosβsinβ+(xy-ax)sin2β，E4=zcosβsinβ+xsin2β

E5=y+a-b，E11=y-a+b，E6=zcos2β-xcosβsinβ，E8=E2，E10=E4，E12=E6。

給定機構(gòu)尺寸參數(shù)a為200mm，b為120mm，動平臺的位姿狀態(tài)為：x=0、y=0、z=300mm、β=-15°，驅(qū)動輸入?yún)?shù):支鏈1、3的驅(qū)動速度為100mm/s，支鏈2，4的驅(qū)動速度為0。根據(jù)一階影響系數(shù)矩陣計算可得動平臺輸出速度為

VH=[0 0.491 5 0 -202.306 0 0

93.715 5]T

(20)

式(20)表明動平臺中心點以0.4915rad/s角速度繞y軸轉(zhuǎn)動，以202.3060mm/s的速度沿x軸負方向移動，以93.715 5mm/s的速度沿z軸正方向移動。

為了驗證一階影響系數(shù)矩陣的正確性，加上并聯(lián)機構(gòu)多條支鏈間的耦合性導致動平臺運動狀態(tài)難以預測，可利用傳統(tǒng)數(shù)學的微分法來直接計算動平臺的輸出速度，結(jié)合2.2節(jié)位置正解可取足夠小的時間間隔Δt進行近似微分來逼近動平臺瞬時速度大小。

通過設(shè)置不同時間間隔Δt進行迭代計算，設(shè)置迭代次數(shù)為10次，可以發(fā)現(xiàn)位姿參數(shù)變化量Δx,Δy,Δz,Δβ均收斂，具體收斂值如表1所示。

表1 數(shù)值算例表

表1表明隨著時間間隔Δt的縮小，沿x軸負方向的位移速度即Δx/Δt逐漸趨于202.31mm/s；沿y軸的位移速度為0；沿z軸正方向的位移速度即Δz/Δt逐漸趨于93.715mm/s；繞y軸的轉(zhuǎn)動角速度即Δβ/Δt逐漸趨于0.491 5rad/s。

由于并聯(lián)機構(gòu)運動學分析理論計算復雜和計算量較大，且相比于實際應用只停留在理論階段，因此為了更接近實際運用和更簡便直觀的表示動平臺的瞬時輸出速度，可利用ADAMS軟件進行運動學仿真驗證，選擇交互式仿真，設(shè)定仿真時間為0.1s，步數(shù)為200。得到速度和角速度隨時間變化曲線圖如圖3～圖4所示。

圖4 角速度變化曲線圖

圖3顯示沿x軸的運動速度即曲線與縱坐標軸的截距值接近202.31mm/s， 同樣地， 沿y軸和z軸的運動速度分別為0和接近93.715mm/s， 圖4顯示繞y軸的角速度接近28.16°/s即弧度制的0.491 5rad/s，繞x軸和z軸的角速度皆為0。

綜上可看出，三種方法的計算結(jié)果均互相吻合，表明三種方法的正確性以及機構(gòu)動平臺瞬時運動速度的合理性和穩(wěn)定性。

3.2 穩(wěn)態(tài)運動學分析

并聯(lián)機構(gòu)的穩(wěn)態(tài)運動學分析表示動平臺在各驅(qū)動的穩(wěn)定輸入狀態(tài)下所能處于的一種運動狀態(tài)。一般穩(wěn)態(tài)運動學分析通過理論計算非常困難，而運用ADAMS軟件來進行仿真分析較為簡便。

設(shè)定機構(gòu)的初始狀態(tài)為靜、動平臺相互平行且相距300mm，中心點在同一豎直線上。設(shè)定四個驅(qū)動副的驅(qū)動函數(shù)分別為l1=20sin(0.5t)，l2=0，l3=-20sin(0.5t)，l4=0。選擇交互式仿真模式，仿真時間為15s，步數(shù)為300步，得到位移、速度、加速度和角速度變化曲線圖如圖5～圖8所示。

圖5 位移變化曲線圖

圖6 速度變化曲線圖

圖7 加速度變化曲線圖

圖8 角速度變化曲線圖

由圖5至圖8可看出，動平臺在沿x、y、z三個坐標軸的位移、速度和加速度變化皆呈現(xiàn)周期性變化，且沿x軸的變化最為明顯。動平臺繞y軸轉(zhuǎn)動的角速度也呈現(xiàn)周期性變化，綜合表明2RPC/2SPC并聯(lián)機構(gòu)具有穩(wěn)定且良好的運動學特征。

4 結(jié)論

針對2RPC/2SPC并聯(lián)機構(gòu)，基于螺旋理論和空間坐標變化方程進行了自由度分析和反解分析，并利用牛頓-拉弗森迭代法進行了正解分析。通過影響系數(shù)法建立了一階影響系數(shù)矩陣即雅克比矩陣，并結(jié)合微分法和軟件仿真進行了數(shù)值驗證，結(jié)果表面三種方法運算結(jié)果均互相吻合。最后利用ADAMS軟件進行了穩(wěn)態(tài)運動學分析，結(jié)果表面該機構(gòu)具有穩(wěn)定連續(xù)的運動學特性，進一步說明該機構(gòu)具有可靠的應用價值。