Buck電路的分?jǐn)?shù)階建模與PIλDμ控制

方數(shù)丞 王曉剛

摘 要：基于分?jǐn)?shù)階微積分理論與實(shí)際中電感與電容的外特性呈分?jǐn)?shù)階的事實(shí)，運(yùn)用狀態(tài)空間平均法建立了在電感電流連續(xù)情況下的分?jǐn)?shù)階Buck電路的數(shù)學(xué)模型和電路模型，提出了分?jǐn)?shù)階Buck電路紋波分析與連續(xù)條件，推導(dǎo)出占空比至輸出電壓的傳遞函數(shù)和輸入電壓至輸出電壓的傳遞函數(shù)。此模型較整數(shù)階模型更能精確反映實(shí)際電路工作狀態(tài)?；贛atlab/Simulink軟件對(duì)模型進(jìn)行了仿真，驗(yàn)證了該模型的正確性?；贗TAE最優(yōu)控制方法設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階PID控制器對(duì)該模型進(jìn)行控制，并對(duì)補(bǔ)償后的傳遞函數(shù)進(jìn)行了仿真，驗(yàn)證了該控制器的有效性。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階微積分;Buck變換器;建模;分?jǐn)?shù)階PID控制

0 引言

自從1695年Leibniz在給L′Hospital的書信中第一次提出關(guān)于將微分階次從整數(shù)階推廣到非整數(shù)階的含義的問(wèn)題，再到由Leibniz所提出的問(wèn)題開(kāi)創(chuàng)了一門持續(xù)發(fā)展了300多年的關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分的學(xué)說(shuō)。直至1960年開(kāi)始，分?jǐn)?shù)階微積分學(xué)逐步推廣到科學(xué)與工程領(lǐng)域，大量學(xué)者做出了杰出貢獻(xiàn)。其中，意大利學(xué)者Caputo與Mainardi教授提出了基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)建立的耗散問(wèn)題[1];斯洛伐克學(xué)者Podlubny教授提出了分?jǐn)?shù)階比例-積分-微分控制器的模型[2];法國(guó)學(xué)者Oustaloup教授的研究組提出了分?jǐn)?shù)階魯棒控制理論，并將其成功應(yīng)用于汽車工業(yè)的懸掛控制。

近年來(lái)，分?jǐn)?shù)階微積分的應(yīng)用越來(lái)越受到各工程學(xué)科的關(guān)注，電氣工程領(lǐng)域也不例外[3-4]，一方面，在傳統(tǒng)電路中引入分?jǐn)?shù)階元件可以使電路設(shè)計(jì)變得更加自由和靈活[5-7];另一方面，某些電氣元件的分?jǐn)?shù)階模型可能取代目前使用的常規(guī)模型。張波教授在文獻(xiàn)[8]中提出了一種buck-boost電路的分?jǐn)?shù)階建模方法。文獻(xiàn)[9]、文獻(xiàn)[10]分別建立了電感電流連續(xù)模式和電感電流偽連續(xù)模式下boost變換器的分?jǐn)?shù)階模型。文獻(xiàn)[11]中對(duì)Buck電路進(jìn)行了分?jǐn)?shù)階建模但沒(méi)有對(duì)電路進(jìn)行控制。

在薛定宇教授編寫的書籍[12]中，系統(tǒng)地整合出了分?jǐn)?shù)階微積分的基本概念，同時(shí)建立了一個(gè)完整的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)工具箱，對(duì)于將分?jǐn)?shù)階理論運(yùn)用到科學(xué)與工程中做出了杰出的貢獻(xiàn)。

本文將分?jǐn)?shù)階運(yùn)用于Buck電路中，利用狀態(tài)空間平均法建立數(shù)學(xué)模型，同時(shí)建立電路模型，推導(dǎo)出占空比至輸出電壓的傳遞函數(shù)和輸入電壓至輸出電壓的傳遞函數(shù)，得出電感電流紋波計(jì)算公式和電路運(yùn)行在電感電流連續(xù)模式的條件，并運(yùn)用Matlab/Simulink對(duì)其進(jìn)行仿真分析，在建立的數(shù)學(xué)模型下利用分?jǐn)?shù)階PID控制，對(duì)其進(jìn)行閉環(huán)控制，從回路成型設(shè)計(jì)方法的角度看，在整數(shù)階系統(tǒng)中Bode幅頻特性的漸進(jìn)線斜率是20 dB/dec的整數(shù)倍，而分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)則沒(méi)有這樣的要求，所以可以任意制定預(yù)期的伯德圖形狀，以期得到更好的設(shè)計(jì)效果。最后對(duì)其傳遞函數(shù)進(jìn)行仿真與分析，改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。

1 Buck電路的分?jǐn)?shù)階建模

根據(jù)文獻(xiàn)[13]可知，分?jǐn)?shù)階電感和分?jǐn)?shù)階電容兩端電壓和電流微積分關(guān)系如下：

式中，VL為電感兩端的電壓;iL為流經(jīng)電感兩端的電流;ic為流經(jīng)電容兩端的電流;vo為輸出端電壓，同時(shí)也是電容兩端電壓;α、β分別為電感階次與電容階次，且滿足0<α，β<1。Buck變換器的電路原理圖如圖1所示，其兩種工作狀態(tài)等效電路如圖2所示。

（1）當(dāng)開(kāi)關(guān)S閉合時(shí)，由圖2（a）得出狀態(tài)方程為：

（2）當(dāng)開(kāi)關(guān)S斷開(kāi)時(shí)，由圖2（b）得出狀態(tài)方程為：

由式（1）、式（2）、式（3）、式（4）取值平均化，可得以下矩陣方程：

下面根據(jù)狀態(tài)空間平均法，引入小信號(hào)，此時(shí)Buck電路中的輸入電壓、電感電流以及輸出電壓等參數(shù)均可由直流分量和擾動(dòng)量的和表示：

注意，各變量的交流分量的幅值遠(yuǎn)小于其相應(yīng)的直流分量。

將式（6）代入式（5）分離直流分量，可得：

由Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)[14]定義可知，常數(shù)的分?jǐn)?shù)階微分值為0，可得：

消去式（5）的直流分量，并忽略高次的交流分量，可得交流小信號(hào)模型：

從而根據(jù)狀態(tài)方程可以得到Buck直流變換器輸入到輸出的傳遞函數(shù)為：

根據(jù)Caputo分?jǐn)?shù)階定義和模態(tài)1中式（1）對(duì)其兩邊同時(shí)求積分，積分時(shí)間為0～DT，此時(shí)得出電感電流iL在（0，DT）內(nèi)的增量，即電感的紋波電流：

式中，Г（α）為伽馬函數(shù)[14]。

由式（11）可知電感的紋波電流不僅與輸入電壓、電感L、開(kāi)關(guān)周期T有關(guān)，還與電感的階次α有關(guān)。

由式（11）可求出電感電流的最大值和最小值如下：

根據(jù)式（13）可以得出Buck電路電感電流連續(xù)的條件為：

2 數(shù)值仿真

為驗(yàn)證上述建模與理論分析的正確性，基于Matlab/Simulink軟件和薛定宇等人提出的Oustaloup濾波器[15]分?jǐn)?shù)階微積分改進(jìn)算法，建立了電感電流連續(xù)模式下分?jǐn)?shù)階Buck電路的數(shù)學(xué)仿真模型和電路仿真模型，分別如圖3、圖4所示。

在圖3中，運(yùn)用薛定宇等人提出的改進(jìn)Oustaloop濾波器，即圖中的Fractional Int s^{-α}模塊有3個(gè)關(guān)鍵參數(shù)：擬合頻率下限ωb、擬合頻率上限ωh、濾波器階數(shù)n。電路中元器件的參數(shù)設(shè)置如下：電容C=100 μF，β=0.6，電感L=1 mH，α=0.7，占空比D=0.4，開(kāi)關(guān)頻率為25 kHz?？紤]到還有高于開(kāi)關(guān)頻率的高頻諧波存在，因而設(shè)置ωb=1×10-6 rad/s，ωh=1×106 rad/s，階數(shù)n=8。再根據(jù)電感電流連續(xù)的條件可得R<2.76 Ω，這里選取R=0.5 Ω。根據(jù)理論計(jì)算可得出此時(shí)Vo=2 V，IL=4 A，電感電流紋波ΔiL=1.45 A。所得輸出電壓波形和電感電流波形分別如圖5、圖6所示。

由圖6可知，ΔiL=1.697 1 A，Δvo=0.813 8 V與理論值基本一致，證明模型的正確性。但與整數(shù)階Buck電路波形圖不同的是該圖像不是三角波，故在計(jì)算紋波電壓Δvo時(shí)不能根據(jù)整數(shù)階直接擴(kuò)展過(guò)來(lái)。

圖4中關(guān)鍵的元件在于分?jǐn)?shù)階電感與電容近似。分抗逼近電路[16]有Roy分型分抗電路[17]、Oldham RC鏈分抗逼近電路[18]等，根據(jù)文獻(xiàn)[19]，基于分抗鏈[20]和改進(jìn)的Oustaloop濾波器的分?jǐn)?shù)階微積分算法[12]，可以得出分?jǐn)?shù)階電感和電容的等效模型，如圖7、圖8所示。

當(dāng)L=1 mH，α=0.7時(shí)，圖7中的電感和電阻值分別為：RL1=14.880 9 Ω，RL2=0.883 5 Ω，RL3=0.077 9 Ω，RL4=0.006 9 Ω，RL5=0.618 67 mΩ;RL6=55.171 μΩ，RL7=4.913 μΩ，RL8=0.425 μΩ，L1=24.984 μH，L2=46.894 μH，L3=0.132 4 mH，L4=0.366 4 mH，L5=0.001 H，L6=0.002 9 H，L7=0.008 2 H，L8=0.022 6 H。

當(dāng)C=100 μF，β=0.6時(shí)，圖8中的電感電容值為：RC1=54.871 kΩ，RC2=435.86 kΩ，RC3=3 488.3 kΩ，RC4=35 822 Ω，RC5=13.389 1 Ω，RC6=109.364 3 Ω，RC7=870.237 7 Ω，RC8=6.907 2 kΩ，C1=0.288 7 mF，C2=0.001 2 F，C3=0.004 5 F，C4=0.014 μF，C5=1.183 6 μF，C6=4.584 3 μF，C7=18.156 μF，C8=72.576 μF，R=2.512 Ω。

這樣通過(guò)仿真后得出波形與數(shù)學(xué)模型仿真如圖9、圖10所示。

其中淺色線為電路模型仿真波形，由圖9、圖10可知：Vo=2.050 4 V，IL=4.106 9 A，ΔiL=1.679 2 A，Δvo=0.803 6 V。對(duì)比數(shù)學(xué)模型仿真和理論分析，由于在構(gòu)建分?jǐn)?shù)階電容與電感時(shí)用高階傳遞函數(shù)近似代入誤差，所以所得結(jié)果與數(shù)學(xué)模型仿真與理論大致一致，從而證明了工作與電感電流連續(xù)模式下Buck變換器理論分析的正確性。

將分?jǐn)?shù)階模型中的電感和電流換回整數(shù)階，其他參數(shù)不變可以得到圖11、圖12所示的整數(shù)階電感電流和輸出電壓。

由圖11、圖12可知，ΔiL=0.046 1 A，Δvo=0.002 8 V，整數(shù)階時(shí)紋波很小尤其是電容紋波接近于一條直線，由此可見(jiàn)該模型同樣也適用于整數(shù)階。

3 Buck電路的PIλDμ控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)式（10）可得Gvd==，此時(shí)令H（s）=1，Gm（s）=1?？傻迷蓟芈吩鲆婧瘮?shù)Go（s）=Gvd（S）H（S）Gm（S），代入?yún)?shù)后得G0=，運(yùn)用文獻(xiàn)[8]中所給函數(shù)做出其伯德圖，如圖13所示。

由圖13可以得出，原始回路函數(shù)Go的相角裕度為125.9°，可見(jiàn)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)穩(wěn)定，再做其閉環(huán)函數(shù)單位階躍響應(yīng)曲線，如圖14所示。

由圖14可知系統(tǒng)穩(wěn)定，但具有一定的穩(wěn)態(tài)誤差無(wú)法完全跟蹤輸入信號(hào)，這就有必要給系統(tǒng)一個(gè)補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)。工程系統(tǒng)的優(yōu)化方法有多種，除線性二次型優(yōu)化及動(dòng)態(tài)規(guī)劃法以外，ITAE優(yōu)化方法也是一種常用的方法。

在優(yōu)化控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，一種合適的性能指標(biāo)是時(shí)間與絕對(duì)誤差的乘積積分，稱為ITAE性能指標(biāo)，表示如下：

ITAE=t|e（t）|dt（15）

選擇ITAE指標(biāo)，是為了減小較大的初始誤差對(duì)性能指標(biāo)取值的影響，同時(shí)也是為了強(qiáng)調(diào)最近的響應(yīng)影響。

在高階系統(tǒng)中，ITAE最優(yōu)性能指標(biāo)的幾何意義是誤差的廣義面積極小，它也是多維相空間曲面上的一個(gè)極值，它的維數(shù)就是該方程所描述系統(tǒng)的狀態(tài)數(shù)。顯然，用解析法很難得到該極值，因此一般采用實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)確定最優(yōu)系數(shù)。這種方法同樣適用于PIλDμ控制器設(shè)計(jì)。根據(jù)文獻(xiàn)[8]，我們選擇ITAE性能指標(biāo)，假設(shè)仿真終止時(shí)間為8 s，并假設(shè)PIλDμ控制器參數(shù)均小于40，且階次區(qū)間為（0，2），調(diào)用fminsearchbnd函數(shù)可以設(shè)計(jì)出如下PIλDμ控制器：

Gc=

加入補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)Gc后，回路增益函數(shù)G=GoGc，對(duì)該增益函數(shù)做其閉環(huán)函數(shù)單位階躍響應(yīng)曲線，如圖15所示。

由圖15可知，經(jīng)過(guò)補(bǔ)償后，穩(wěn)態(tài)誤差得到改善，符合ITAE性能指標(biāo)特性。

4 結(jié)語(yǔ)

本文基于分?jǐn)?shù)階微積分理論，運(yùn)用狀態(tài)空間平均法，建立了Buck變換器的分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)仿真模型和電路仿真模型，給出了電感電流紋波的求解方法和Buck變換器在電感電流連續(xù)情況下的工作條件，并給出相應(yīng)傳遞函數(shù)。根據(jù)ITAE性能指標(biāo)，設(shè)計(jì)了基于數(shù)值尋優(yōu)的最優(yōu)PIλDμ控制器。經(jīng)過(guò)理論分析發(fā)現(xiàn)：

（1）Buck變換器運(yùn)行于電感電流連續(xù)模式下的參數(shù)不僅與電感L、負(fù)載R、開(kāi)關(guān)周期T、占空比D有關(guān)，還與電感L的階數(shù)α有關(guān)。輸出電壓的直流分量Vo、電感電流直流分量IL與電感和電容的分?jǐn)?shù)階階數(shù)無(wú)關(guān)。

（2）根據(jù)數(shù)值尋優(yōu)的最優(yōu)設(shè)計(jì)方法對(duì)電路進(jìn)行PIλDμ控制器設(shè)計(jì)，并用傳遞函數(shù)仿真驗(yàn)證了控制器的有效性。

綜上所述，根據(jù)電感和電容本質(zhì)上是分?jǐn)?shù)階的事實(shí)，驗(yàn)證了本文所建立的Buck變換器的分?jǐn)?shù)階模型和PIλDμ控制器的正確性和有效性。

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收稿日期：2020-01-06

作者簡(jiǎn)介：方數(shù)丞（1993—），男，江西人，碩士，研究方向：分?jǐn)?shù)階DC-DC變換器的建模與PIλDμ控制器設(shè)計(jì)。