數(shù)列通項(xiàng)公式的解法

劉玲香

數(shù)列是高考中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，每年的高考題都會(huì)考察到，小題一般較易，大題一般較難。而作為給出數(shù)列的一種形式——通項(xiàng)公式，在求數(shù)列問(wèn)題中尤其重要。本文給出了求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法。

1.直接法2.公式法3.歸納猜想法4.累加（乘）法5.取倒（對(duì)）數(shù)法6.迭代法7.待定系數(shù)法8.雙數(shù)列9.周期型

數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

一、直接法

根據(jù)數(shù)列的特征，使用作差法等直接寫出通項(xiàng)公式。

例1：根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式：

（1）9，99，999，9999，…（2）

（3）（4）

答案：（1） （2） （3）? （4）.

二、公式法

①利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)

②若已知數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式求解.

（注意：求完后一定要考慮合并通項(xiàng)）

例2.①已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

②已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

③ 已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

③解析：由題意，，又是等比數(shù)列，公比為

三、歸納猜想法

如果給出了數(shù)列的前幾項(xiàng)或能求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，我們可以根據(jù)前幾項(xiàng)的規(guī)律，歸納猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。也可以猜想出規(guī)律，然后正面證明。

例3.已知點(diǎn)的序列，其中，，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，…，是線段的中點(diǎn)，…

（1）寫出與之間的關(guān)系式（）。

（2）設(shè)，計(jì)算，由此推測(cè)的通項(xiàng)公式，并加以證明。

解析：（1）∵ 是線段的中點(diǎn)， ∴

猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明

變式：設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2-anx-an=0有一根為Sn-1，n=1，2，3，…

（Ⅰ）求a1，a2;（Ⅱ）{an}的通項(xiàng)公式

四、累加（乘）法

對(duì)于形如型或形如型的數(shù)列，我們可以根據(jù)遞推公式，寫出n取1到n時(shí)的所有的遞推關(guān)系式，然后將它們分別相加（或相乘）即可得到通項(xiàng)公式。

五、取倒（對(duì)）數(shù)法

a、這種類型一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解

b、數(shù)列有形如的關(guān)系，可在等式兩邊同乘以先求出

c、解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。

六、迭代法

迭代法就是根據(jù)遞推式，采用循環(huán)代入計(jì)算.

七、待定系數(shù)法

求數(shù)列通項(xiàng)公式方法靈活多樣，特別是對(duì)于給定的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，觀察、分析、推理能力要求較高。通?？蓪?duì)遞推式變換，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列（等差或等比數(shù)列）來(lái)求解，該方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中化未知為已知的化歸思想，運(yùn)用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一種重要的轉(zhuǎn)化方法。

八。雙數(shù)列

解法：根據(jù)所給兩個(gè)數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。

例4. 已知數(shù)列中，;數(shù)列中，。當(dāng)時(shí)，

九、周期型

解法：由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，尋找周期。

小結(jié)：除了熟悉以上常見求法以外，對(duì)具體的數(shù)列進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，一邊轉(zhuǎn)化為熟知的數(shù)列模型更是突破數(shù)列通項(xiàng)的關(guān)鍵。做題時(shí)要不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，多加琢磨。

總結(jié)方法比做題更重要！方法產(chǎn)生于具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中.