用Maltab實(shí)現(xiàn)恒定磁場(chǎng)的可視化

衛(wèi) 延， 邵小桃， 鄭晶晶， 郭 勇

(1.北京交通大學(xué) 全光網(wǎng)與現(xiàn)代通信網(wǎng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京100044 2.北京交通大學(xué) 電子信息工程學(xué)院， 北京100044)

0 引言

“電磁場(chǎng)與電磁波”課程內(nèi)容抽象，在教學(xué)中引入清晰美觀的場(chǎng)分布圖和生動(dòng)形象的動(dòng)畫(huà)是十分必要的。Matlab具有強(qiáng)大的數(shù)據(jù)計(jì)算能力和圖形處理能力，是常見(jiàn)的電磁場(chǎng)可視化工具[1～4]，可以用來(lái)描繪靜態(tài)場(chǎng)、時(shí)變場(chǎng)和電磁波的場(chǎng)分布形態(tài)。

電磁場(chǎng)空間分布通常比較復(fù)雜，如何正確、清晰、生動(dòng)形象地描述電磁場(chǎng)是可視化技術(shù)的核心內(nèi)容。電力線、等位面、磁力線等常用來(lái)表示電磁場(chǎng)的空間分布。其中電位是標(biāo)量，用二維曲面來(lái)表示是足夠的、充分的，可用的Matlab命令有contour，mesh，surf等。而電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度是矢量，表示矢量時(shí)既要標(biāo)明大小，又要標(biāo)明方向。有兩種方法表示矢量場(chǎng)，一種是點(diǎn)矢量圖，在區(qū)域均勻選擇很多散點(diǎn)，在這些散點(diǎn)上繪制箭頭，對(duì)應(yīng)的Matlab命令是quiver；另外一種是流線圖，線上任一點(diǎn)的切線方向代表該點(diǎn)場(chǎng)的方向，線的疏密程度表示場(chǎng)值的大小，電力線是電場(chǎng)強(qiáng)度的流線，磁力線是磁感應(yīng)強(qiáng)度的流線，可以用Matlab中的streamline命令來(lái)繪制流線圖。與點(diǎn)矢量圖相比，流線圖能清晰地表示出場(chǎng)的起始點(diǎn)、空間走向、終止點(diǎn)，不僅能反映場(chǎng)分布細(xì)節(jié)，而且能反映場(chǎng)分布的宏觀概況，因而具有更好的可視化效果。但是用streamline命令繪制正確的電力線圖和磁力線圖需要一定的技巧和經(jīng)驗(yàn)。本文用Maltab軟件，對(duì)“電磁場(chǎng)與電磁波”課程中恒定磁場(chǎng)中的幾種基本模型進(jìn)行可視化，重點(diǎn)介紹用streamline命令繪制磁力線的原則、技巧和經(jīng)驗(yàn)。

1 單根無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線的磁場(chǎng)分布

直接使用streamline命令繪制磁力線，我們發(fā)現(xiàn)磁力線會(huì)變粗，靠近導(dǎo)線的地方，磁力線會(huì)混疊在一起，如圖1(c)所示。這是因?yàn)镸atlab執(zhí)行streamline命令時(shí)，會(huì)從指定的起點(diǎn)開(kāi)始，不停的繪制磁力線，直到碰到繪圖區(qū)域的邊界或者繪制的點(diǎn)(磁力線是由很多點(diǎn)連接而成的曲線)的數(shù)量達(dá)到預(yù)設(shè)的數(shù)值為止。圖1(C)中的任意一條磁力線，在streamline命令執(zhí)行過(guò)程中，磁力線從起點(diǎn)(n(n+1)a/2,0)開(kāi)始，繞行一周回再回到起點(diǎn)，并不會(huì)自動(dòng)停止，而是會(huì)不斷畫(huà)下去，直到繪制的點(diǎn)數(shù)量達(dá)到預(yù)設(shè)的數(shù)量。由于存在數(shù)值計(jì)算誤差，從起點(diǎn)開(kāi)始繪制磁力線，繪制一圈后，通常不能精確返回到起點(diǎn)。再繞行若干周，直到達(dá)到預(yù)設(shè)的圖形點(diǎn)數(shù)而停止，所得的磁力線并不是一條精確的圓周，而是一個(gè)首尾不重合的平面螺旋線。這樣導(dǎo)致圖1(c)中外圍的幾條磁力線，會(huì)比圖1(b)中對(duì)應(yīng)的磁力線粗。在靠近導(dǎo)線的地方，磁力線間距變密，從而使得圖1(c)靠近導(dǎo)線的幾條磁力線直接粘結(jié)在一起，幾乎不能區(qū)分。為避免這種情況，提高圖形質(zhì)量，可將繪圖區(qū)域分為上下兩個(gè)完全相同的矩形子區(qū)域，在每個(gè)子區(qū)域分別繪制磁力線。這樣在每個(gè)子區(qū)域執(zhí)行streamline命令繪制磁力線時(shí)，碰到繪圖區(qū)域邊界后自動(dòng)停止，就不會(huì)出現(xiàn)因數(shù)值誤差導(dǎo)致的磁力線貼合現(xiàn)象。我們稱該繪圖技巧為分區(qū)繪圖技巧，圖1(b)中的磁力線，正是采用分區(qū)繪圖技巧繪制的。

(a)quiver圖 (b)streamline圖

(c)數(shù)值誤差導(dǎo)致繪制的磁力線貼合圖1 單無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布

2 多根無(wú)限長(zhǎng)載流平行導(dǎo)線的磁場(chǎng)分布

t(n)=x(n)-x(n-1)

(1)

(2)

(3)

(a) 計(jì)算磁力線起點(diǎn)位置示意圖 (b)磁力線圖

(c) 的quiver圖 (d)磁力線圖3D圖圖2 無(wú)限長(zhǎng)載流平行雙線(電流反向)的橫截面上的磁場(chǎng)分布圖

(a)磁力線圖 (b)磁力線圖3D圖圖3 無(wú)限長(zhǎng)載流平行雙線(電流同向)的橫截面上的磁場(chǎng)分布圖

(a)兩對(duì)載流平行雙線排成一行

(b)兩對(duì)載流平行雙線正方形布置圖4 多根無(wú)限長(zhǎng)載流導(dǎo)線平行放置時(shí)橫截面的磁力線分布圖

3 載流細(xì)圓環(huán)的磁場(chǎng)分布

(a)載流細(xì)圓環(huán)示意圖 (b)xOz平面上磁力線分布圖

(c)磁力線分布圖3D圖圖5 載流細(xì)圓環(huán)及其磁力線分布圖

確定磁力線起點(diǎn)坐標(biāo)后，采用分區(qū)繪圖技巧，用streamline命令繪制的載流細(xì)圓環(huán)的磁力線如圖5(b)、(c)所示，所有磁力線都是與圓環(huán)套鏈的閉合曲線。如果半徑很小，載流細(xì)圓環(huán)就是磁偶極子。將多個(gè)載流細(xì)圓環(huán)簡(jiǎn)單組合起來(lái)，就可組成多匝的載流線圈的近似模型。本文載流細(xì)圓環(huán)的磁力線畫(huà)法，可以直接應(yīng)用到磁偶極子、螺線管等的磁場(chǎng)可視化工作中。

4 結(jié)語(yǔ)

磁力線圖能準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔、形象的描繪恒定磁場(chǎng)的空間概況和細(xì)節(jié)分布。通過(guò)若干例子，本文展示了用Maltab中streamline命令繪制磁力線的原則、技巧和經(jīng)驗(yàn)，特別是原則性條件和分區(qū)繪圖技巧。磁力線起點(diǎn)的選擇至關(guān)重要，需要謹(jǐn)慎對(duì)待，文中詳述的磁力線起點(diǎn)間距的計(jì)算方法具有普遍意義。磁力線的繪制方法，豐富了電磁場(chǎng)可視化手段，提升了可視化效果，也有利于開(kāi)展電磁場(chǎng)仿真、實(shí)驗(yàn)教學(xué)。