例談幾何背景下運算能力的培養(yǎng)策略

摘 要：數(shù)學運算包含了代數(shù)背景下的運算和幾何背景下的運算，幾何背景下的運算是指運算的對象是幾何量，如線段長度、角度大小、面積、周長等。幾何背景下運算的難點在于如何從所給的條件以及圖形中構(gòu)造出等量關(guān)系，這就使得在幾何背景下的運算與邏輯推理息息相關(guān)。可見，幾何背景下的運算能力標準與常見的代數(shù)運算的水平標準是不一樣的。因此，研究有效培養(yǎng)學生在幾何背景下的運算能力的策略是非常必要的。

關(guān)鍵詞：幾何背景;運算;圖形;等量關(guān)系;邏輯推理;策略

運算作為基本技能，在所有研究領(lǐng)域都起到了至關(guān)重要的作用。同時，運算能力的發(fā)展又有助于培養(yǎng)學生觀察、發(fā)現(xiàn)、分析問題的能力。在初中數(shù)學中，幾何背景下的運算問題是重點考查方向，也經(jīng)常需要通過幾何運算的結(jié)果確定推理方向。因此，幾何背景下的運算是中學生的一項重要技能，也是促進學生能力發(fā)展的重要因素。本文將以人教版七年級上《角的運算階段復習》為例，談?wù)劵趲缀伪尘跋逻\算能力培養(yǎng)策略。

一、 教材與學情分析

本節(jié)課是旨在培養(yǎng)學生在幾何背景下的運算能力的一節(jié)階段性復習課。本節(jié)課通過復習鞏固—問題探究—變式訓練這三個環(huán)節(jié)來突破難點，以發(fā)展學生的運算能力。課堂上，引導學生進行觀察發(fā)現(xiàn)并總結(jié)等活動，經(jīng)歷從特殊到一般的過程，學習一些常用的解決問題的技巧，從而培養(yǎng)學生在幾何背景下的運算能力。

學生雖然在此之前已經(jīng)學過了線段的運算，但是對于七年級上的學生來說，他們對于幾何的相關(guān)運算還是很陌生，存在畏難情緒。在這個階段的學習中，除了對運算有要求外，還要求學生具備一定的推理能力?；緢D形的認識不論是對于幾何中的運算，還是對于推理都是至關(guān)重要的。因此，本節(jié)課想借助常見的復合角的模型，滲透研究一般幾何問題的套路以及常用的一些運算技巧。

二、 教學過程

（一）熱身訓練

1. 如圖1所示，若∠AOB=44°30′，∠BOC=16°24′，則∠AOC=??? 。

2. 如圖2，∠1的余角可能是下圖中的（? ）

3. 如圖3，O為直線AD上的一點，OB是∠AOC內(nèi)部的一條射線，且滿足∠AOC與∠AOB互補，∠AOB=25°，求∠COD。

（二）教學活動

課前請學生快速完成上述3題并講評。其中第3題學生可能會有兩種解法：

法一：∵∠AOC與∠AOB互補

∴∠AOC=180°-∠AOB=155°

∵∠AOC與∠COD互補

∴∠COD=180°-∠AOC=25°

法二：∵∠AOC與∠AOB互補

又∵∠AOC與∠COD互補

∴∠COD=∠AOB=25°

問1：這兩種解法你認為哪種比較好？

問2：在上述兩種解法方法中，我們通過哪些方法找到的角與角之間的數(shù)量關(guān)系？

總結(jié)：做題之前，要先分析問題，選擇恰當?shù)姆椒ń忸}。

設(shè)計意圖：通過3個小題引導學生復習角的和差運算、余補角的概念、性質(zhì)及簡單的運用等知識。為接下來的問題探究提供模型和解題思路。其中，第3題通過對比這兩種解法，引導學生從多角度思考問題，并能對不同方法進行評價，強化從已知條件出發(fā)探索出最優(yōu)解的思維習慣。同時，也想通過第3題來引導學生從題目已給的條件當中尋找數(shù)量關(guān)系，也要懂得從圖形中尋找隱含的數(shù)量關(guān)系。為本節(jié)課第二部分做鋪墊。

三、 問題探究

例1 （1）如圖所示，將一副三角尺的直角頂點重合在點O處，找出圖中以O(shè)為頂點的相等的角，并說明理由。

教學活動：問1：圖中以O(shè)為頂點的角有哪些？

問2：請把這個情境中的幾何圖形畫出來。

問3：這個圖形你熟悉嗎？是什么模型？

歸納：同角的余角模型。

設(shè)計意圖：讓學生動手拼湊、獲得經(jīng)驗，再從實物中抽象出幾何圖形（如圖5）發(fā)展數(shù)學抽象能力。

（2）①若∠AOC=130°，則∠BOD的度數(shù)是多少？

教學活動：問1：已知∠AOC=130°，你可以知道什么？

問2：∠BOD該如何求？

問3：如何把你的思維過程用符號語言描述出來？

設(shè)計意圖：引導學生經(jīng)歷文字語言、圖形語言以及符號語言的轉(zhuǎn)化，從而邏輯推理過程用簡潔的符號語言呈現(xiàn)出來;同時，再次引導善于從圖形中尋找數(shù)量關(guān)系;此外，示范書寫過程，對于學生在推理計算過程中出現(xiàn)的常見錯誤進行糾正。如直接寫：

“∵∠AOC=130°，∴∠AOD=40°”等。

②若∠AOC=2∠BOD，則∠AOC、∠BOD的度數(shù)分別是多少？

教學活動：問1：題中沒有告訴我們?nèi)魏谓堑亩葦?shù)，只告訴了我們一些角之間的關(guān)系，這時該如何求角的度數(shù)？

問2：你能找出多少個本題包含角的數(shù)量關(guān)系？

列舉出：∠AOC=2∠BOD;

∠AOD=∠BOC;

∠AOC=∠AOD+∠BOD+∠BOC;

∠AOD+∠BOD=∠BOD+∠BOC=90°等式子。

問3：從上述數(shù)量關(guān)系中，你發(fā)現(xiàn)了什么？（這些角之間兩兩相關(guān)，知其一而知全部）

問4：如果設(shè)其中一個未知角的度數(shù)為α，其他的角能用α表示出來嗎？

問5：你認為設(shè)哪個角為α比較好？

歸納：當問題中的多個未知量兩兩之間有關(guān)系，往往可以考慮設(shè)其中一個量來解決。

設(shè)計意圖：學生可能會設(shè)∠BOD或者∠AOD為α，都可以在圖形上直觀地用字母表示出它們的度數(shù)，這樣數(shù)量關(guān)系就很容易找到了。最后對這兩種方法進行評價，看哪種設(shè)法更簡捷，并讓學生反思為什么這里要考慮到設(shè)元，設(shè)元有什么好處？（直觀，易于運算）

③從中，你發(fā)現(xiàn)了什么？并嘗試證明。

教學活動引導歸納發(fā)現(xiàn)：∠AOC+∠BOD=180°。

設(shè)計意圖：歸納出這個基本圖形隱含的一般性結(jié)論，為后續(xù)解決更加復雜的幾何問題做知識鋪墊。

（3）當旋轉(zhuǎn)其中一個三角板至如圖6位置時，上述發(fā)現(xiàn)還成立嗎？說明理由。

教學活動：問1：你認為上述發(fā)現(xiàn)∠AOC+∠BOD=180°此時還成立嗎？你能模仿上述證明過程說明理由嗎？

問2：證明兩角之和為180°的途徑有哪些？還可以借助什么模型來做？（提示：平角模型）

設(shè)計意圖：嘗試讓學生小組討論來解決問題，可以用上述方法論證，也可以用動態(tài)變化中變與不變量來解釋。

變式：已知點O是直線AB上的一點，∠COE=90°，OF是∠AOE的平分線。

（1）如圖7，當點C、E、F在直線AB的同側(cè)時，試判斷∠BOE和∠COF的數(shù)量關(guān)系，并證明;

（2）如圖8，當點C與點E、F在直線AB的兩側(cè)時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請給出你的結(jié)論，并說明理由。

教學活動：問1：對于問題（2），你能從中找到什么數(shù)量關(guān)系？

問2：這些數(shù)量關(guān)系中哪些是已知量？哪些是未知量？能夠解決問題了嗎？

問3：怎樣設(shè)計解題思路才能最快得到答案？

設(shè)計意圖：在例1的基礎(chǔ)上，學生已經(jīng)獲得了一些探究問題的經(jīng)驗，也積累了一些幾何背景下的運算技巧。這一變式的目的在于讓學生自主探究，發(fā)展探究問題的能力。但是也要引導學生當探索未知的數(shù)量關(guān)系時，可以用特殊值代入來確定，把復雜問題簡單化，再用設(shè)元的方法說明理由。通過及時訓練，讓學生學有所得，增強自信心。

四、 課堂小結(jié)

1. 我們可以從哪些角度入手尋找數(shù)量關(guān)系？

2. 當圖形復雜時，該如何處理？

3. 當未知量很多，并且它們之間兩兩相關(guān)時，可以怎么做？

4. 猜想角與角的數(shù)量關(guān)系，可以怎么做？

設(shè)計意圖：本節(jié)課在知識層面上以鞏固為主，沒有再學新的知識，是在學生初學幾何時的一節(jié)復習鞏固課，側(cè)重點在于如何尋找圖形和試題中所給的數(shù)量關(guān)系，并用簡潔的符號語言呈現(xiàn)出邏輯推理過程。用幾個問題帶動學生回顧本節(jié)課所用的一些解題技巧，讓學生理清自己的思維過程，促成對運算過程中優(yōu)點或不足的深刻認識，對運算過程進行修正和完善，對今后解決類似問題的能力遷移，簡縮思考時間，實現(xiàn)思想方法的提升。

五、 課后反思

（一）設(shè)計層次分明的教學內(nèi)容有助于促進學生思考

循序漸進的思維活動有利于調(diào)動學生學習的積極性，讓每個層次的學生都能夠進行一定的思維活動，并得到一定發(fā)展。應(yīng)關(guān)注每一個學生的課堂反應(yīng)，鼓勵所有學生參與課堂討論活動，各抒己見，實現(xiàn)思維的螺旋式上升。

（二）設(shè)計主題明確的復習課教學活動

很多老師會采用做練習、講練習的形式來組織復習，這樣很容易出現(xiàn)滿堂灌的情況，主題不明確，內(nèi)容太多且不成體系導致學生接受不過來，同時對每個問題又都無法進行深入探究，這樣的復習是比較無效的。本節(jié)課從最簡單的余角、補角結(jié)構(gòu)入手，后續(xù)的探究活動都在這個結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上進行變式，整節(jié)課都在圍繞引導學生關(guān)注從試題的文本以及圖形兩個維度尋找數(shù)量關(guān)系探究簡潔運算方向這個主題展開。在這過程中，傳達給學生探究問題的一般思路以及一些常用技巧，進而逐步發(fā)展學生的探究能力。

（三）盡可能使用同一幾何背景下的題組或變式訓練以提高課堂效率

對于幾何背景下的探究問題，學生需要一定時間來熟悉圖形，因此，在授課過程中盡量在同一個圖形中設(shè)計探究問題，這樣可以讓學生省去不少審題的時間。本節(jié)課主要探究活動都是在一副三角尺的直角頂點重合在點O處的情境下展開的，每一小題都在上一小題的基礎(chǔ)上展開，不斷疊加其他技能，層層遞進。這讓每個環(huán)節(jié)的探究都有意義，尋找到學生的最近發(fā)展區(qū)，讓學生在有限的時間內(nèi)得到最大限度的提升。以題組的形式對基本圖形進行分解或組合，引導學生借助基本圖形尋找量之間的聯(lián)系，實現(xiàn)運算、推理技能的自動化，從而能順利向能力過渡。

（四）歸納基本圖形的特征，加強幾何直觀

幾何背景下的運算一定是與圖形息息相關(guān)的，因此，我們需要逐漸培養(yǎng)學生試圖畫圖的能力，在基本圖形的基礎(chǔ)上疊加條件，體會圖形與技能的疊加。同時也要培養(yǎng)學生依據(jù)圖形進行猜想和探索的意識。如本節(jié)課中的變式，首先引導學生猜想運用特殊值帶入猜想兩角之間的關(guān)系，再執(zhí)果索因，明確運算方向，引導學生進行適當?shù)哪嫦蛩伎?，也是發(fā)展能力的關(guān)鍵。

作者簡介：邱萍，福建省廈門市，福建省同安第一中學。