對2019年全國高考新課標(biāo)Ⅲ卷數(shù)學(xué)第18題的探究

漾濞縣第一中學(xué) 秦慶雄 范花妹 張 鐘

2019 年全國高考新課標(biāo)Ⅲ卷數(shù)學(xué)第18 題是一道中等難度的試題.通過對本題的進(jìn)一步探討，教師不僅可以強化學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的理解和掌握，而且可以發(fā)展學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例題（2019年全國高考新課標(biāo)Ⅲ卷第18題）：△ABC 的內(nèi)角A，B，C 的對邊分別為a，b，c，已知=bsinA.

（1）求B；

（2）若△ABC 是銳角三角形，且c=1，求△ABC 面積的取值范圍.

一、解法賞析

解析：

（2）這一問的解法較多，這里提供以下三種，以供讀者參考.

評注：解法1借助正弦定理，把三角形的面積這個目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為角的形式，然后再借助函數(shù)的性質(zhì)來解決，推理嚴(yán)謹(jǐn)、踏實可靠，是解決這類問題的通性通法，但運算量較大，對學(xué)生的運算能力要求較高.

解法2（幾何法）：由題設(shè)及（1）可知，△ABC 的邊c=1 為定長，角B=為定值，由此可以構(gòu)造出右圖，滿足△ABC 是銳角三角形的點C 在線段EF 上（端點除外）.當(dāng)點C 在E 處時，.又∵c=1，∴.∴S△ABC=.當(dāng)點C 在F 處時.又∵c=1，∴b=.∴S△ABC=.∵點C 在線段EF 上（端點除外），∴△ABC 面積的取值范圍是.

評注：解法2結(jié)合問題特征，構(gòu)造出幾何圖形來求△ABC面積的取值范圍，直觀迅速，但對數(shù)形結(jié)合、幾何知識和邏輯推理等方面有一定的要求.

評注：解法3將動態(tài)問題進(jìn)行靜態(tài)化處理，運算量小且準(zhǔn)確率高，但過程不夠嚴(yán)謹(jǐn)，只能用于猜測或驗證所求答案的正確性.極限法別有洞天，是解答選擇題和填空題的最佳解法，常給人一種舉重若輕的神奇效果.

解題不反思，無異于“進(jìn)寶山而空返”.問題解決后，我們切不可萬事大吉，真正的功夫還在于解題之后.解完題后，教師還要善于引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解題的策略和方法，使之成為今后的一種解題模式.

二、推廣探究

將第（2）問中已知的角和邊都一般化，可以得到結(jié)論1：

結(jié)論1：在銳角△ABC 中，已知∠B 和c，則△ABC 面積的取值范圍是（）.

將結(jié)論1 中的c 換成b，可以得到結(jié)論2：

結(jié)論2：在銳角△ABC 中，已知∠B 和b，則△ABC 面積的取值范圍是（].（讀者可自行嘗試證明）

三、教學(xué)啟示

解三角形一直有“無難題”之說，但從今年的試題來看，這類試題有加大難度的趨勢，應(yīng)該引起教師和學(xué)生的注意.解法1 思路比較自然，學(xué)生只要掌握課本上的基礎(chǔ)知識和考試說明中要求的基本思想方法就能順利求解此題，并不需要什么特殊技巧.然而，還是有相當(dāng)一部分學(xué)生在解答此題時暴露出基礎(chǔ)知識薄弱、解題目標(biāo)意識不強、轉(zhuǎn)化意識淡薄、公式運用僵化、運算能力欠佳等問題.在解答此題的過程中，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本思想方法、基本技能、基本活動經(jīng)驗的重要性再一次得到詮釋，通性通法的意識和掌握程度必須提高.具體說來，我們在今后的教學(xué)中應(yīng)注意以下幾個問題.

1.夯實基礎(chǔ)、回歸教材.

在新課教學(xué)中，教師要注重基礎(chǔ)知識、基本概念的形成過程，加強過程教學(xué)，讓學(xué)生主動參與到新知識、新概念的建構(gòu)過程中來，盡可能讓學(xué)生親自探索、發(fā)現(xiàn)新知.在解題過程中，教師要養(yǎng)成“回到基本概念中去”的解題習(xí)慣，從而引領(lǐng)學(xué)生夯實基礎(chǔ)，熟練運用課本知識解決“基礎(chǔ)題”.在復(fù)習(xí)階段，回歸教材既是“以不變應(yīng)萬變”的復(fù)習(xí)策略，又是提高備考效率的有效途徑.教師要站在系統(tǒng)與結(jié)構(gòu)的寬度、思想與方法的深度、聯(lián)系與區(qū)別的高度去把握課本中的概念、定義、定理、公式、例題、習(xí)題等，通過延伸拓展、變式訓(xùn)練等策略有效地提高復(fù)習(xí)的效率.

2.立足通性通法.

在平時復(fù)習(xí)時，教師要堅持“題不在多，理解則靈”的理念，要重視對各章節(jié)知識中通性通法的復(fù)習(xí)和掌握，要切實淡化特殊技巧.重視通性通法的教學(xué)，不僅能不斷地將學(xué)生的思維引向數(shù)學(xué)的基本概念和基本思想，使學(xué)生養(yǎng)成良好的思考習(xí)慣，而且能讓學(xué)生以“不變”的思考方法應(yīng)對“萬變”的數(shù)學(xué)題目.只有這樣，我們才能擺脫題海，達(dá)到事半功倍的效果.

3.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力.

對于解法1，大部分學(xué)生都望而卻步，其主要原因是數(shù)學(xué)運算不過關(guān).因此，在平時的教學(xué)中，教師應(yīng)注重對學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力的培養(yǎng).數(shù)學(xué)運算主要表現(xiàn)為：理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、求得運算結(jié)果等，通過數(shù)學(xué)運算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展，學(xué)生可以形成規(guī)范化思考問題的習(xí)慣.

4.培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識和綜合運用知識的能力.

在解題教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生真正參與到思維活動中來，讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何讀題、分析題意，如何進(jìn)行多元聯(lián)系、多角度轉(zhuǎn)化，如何研究已知與未知的關(guān)系，獲得解題思路，如何實施并適時調(diào)整解題策略等.每解完一題，教師都要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會總結(jié)和反思，力求讓學(xué)生對數(shù)學(xué)概念和解題規(guī)律的理解有所加深，在轉(zhuǎn)化的意識和方法上有所加強，以期達(dá)到做一題、連一片、熟一類的教學(xué)效果，讓學(xué)生在解題中學(xué)會解題，從而真正提高課堂教學(xué)的效率.這樣定能為學(xué)生謀取更長遠(yuǎn)的利益，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)教學(xué)的育人功能，同時也可以提升教師自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng).