基于ARIMA 模型的未知觀測噪聲協(xié)方差矩陣的卡爾曼濾波技術(shù)

邢思遠(yuǎn)，張 遜，徐國亮

(江蘇自動化研究所，江蘇 連云港222061)

0 引 言

雷達(dá)量測數(shù)據(jù)可以看作是1組有序、隨機(jī)的時間序列數(shù)據(jù)[1]，此數(shù)據(jù)實際是由目標(biāo)真值和量測誤差綜合組成。對該量測時間序列的一種處理方法是時間序列分析法。這種方法通過序列自身建立可以直觀體現(xiàn)出觀測數(shù)據(jù)序列與噪聲序列之間關(guān)系的模型，再進(jìn)一步利用此模型進(jìn)行分析和研究[2-3]。在某些工程中，存在著無法精確獲得觀測噪聲矩陣的情況，而根據(jù)經(jīng)驗選取的觀測噪聲矩陣值的準(zhǔn)確性將直接影響到標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波方法的性能，最嚴(yán)重的后果就是狀態(tài)估計發(fā)散而徹底無法工作[4]，這種情況下研究未知觀測噪聲協(xié)方差矩陣的卡爾曼濾波方法是很有必要的。本文主要工作就是解決這一問題。通過構(gòu)建時間序列模型，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)未知觀測噪聲協(xié)方差矩陣的遞推式，并用于標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波中進(jìn)行狀態(tài)濾波。經(jīng)過建模仿真實驗驗證，取得了良好的效果。

1 建立時間序列模型

t時刻的序列可以通過公式表示為：

式中：φi(i=1，2，…，p)為自回歸(AR)參數(shù)；p為AR 的階數(shù)；θj(j=1，2，…，q)為滑動平均參數(shù)，q為MA 的階數(shù)；{a t}之一序列為白噪聲序列。

式(1)稱為{x t}的自回歸滑動平均模型[5]，記為ARMA(p，q)模型。

ARMA 模型處理的數(shù)據(jù)要求是平穩(wěn)的，但在實際的雷達(dá)測量中，數(shù)據(jù)通常是非平穩(wěn)的。處理方法是通過數(shù)據(jù)差分除去序列中的趨勢項，直到序列平穩(wěn)為止。對于該處理后的平穩(wěn)數(shù)據(jù)先進(jìn)行ARMA建模[6]，再根據(jù)差分的次數(shù)計算出差分算子，最后反向得到原始序列的時間序列模型，即自回歸和滑動平均(ARIMA)模型。

所以，對于非平穩(wěn)時間序列模型，ARIMA 模型可表示為：

其中：

式中：p、q意義與式(1)中相同；d為差分階數(shù)；L為后移算子，滿足Lx k=x k-1。

與式(1)相比，式(2)包含d階差分算子?d=(1-L)d，在處理非平穩(wěn)數(shù)據(jù)時，通過將d階差分算子作用于原始序列{x t}，獲得平穩(wěn)的時間序列{x′t}。通過對平穩(wěn)時間序列建立ARMA(p，q)模型，可以得到原始非平穩(wěn)時間序列的ARIMA(p，q，d)模型[7]。

對于{x′t}建立的ARMA 模型Φx′t=Θa t，通過令x t=?d x′t，得到關(guān)于原始非平穩(wěn)時間序列的ARIMA 模型Φx t=Θa t，即Φ?d x′t=Θa t。至此，非平穩(wěn)時間序列的處理過程可以分成3步：

(1)通過差分運(yùn)算求得原始序列的差分后平穩(wěn)序列，并得到差分階數(shù)d；

(2)對處理后的平穩(wěn)序列進(jìn)行ARMA 建模，得到ARMA(p，q)模型；

(3)通過差分算子，求取原始序列的ARIMA模型，ARIMA(p，q，d)。

其中關(guān)鍵步驟是求取ARMA 模型，從過程x的N次觀察中估計ARMA 模型需要3個步驟：

(1)確定ARMA 模型的類型，為AR、MA或ARMA 模型；

(2)階數(shù)選擇：確定模型階數(shù)、參數(shù)數(shù)量；

(3)參數(shù)估計：確定模型的參數(shù)模型φi和θj。

具體建模流程如圖1所示。

圖1 建模流程框圖

通過上述分析可知，原始序列是非平穩(wěn)時間序列，數(shù)據(jù)預(yù)處理即是對數(shù)據(jù)的差分處理過程，直到滿足平穩(wěn)性檢驗。令序列{x′t}表示經(jīng)過差分處理之后的平穩(wěn)時間序列[2]。

平穩(wěn)性檢驗中采用Daniel方法假設(shè)檢驗。做出如下假設(shè)：H0表示序列平穩(wěn)，H1表示序列非平穩(wěn)。取統(tǒng)計量如下：

當(dāng)‖T‖≤tα/2(n-2)時，接受H0假設(shè)。若序列非平穩(wěn)，則對該序列繼續(xù)做差分運(yùn)算。經(jīng)過d階差分后，得到平穩(wěn)時間序列[8]。

即：

根據(jù)式(16)建立卡爾曼濾波模型，可以得到

本方法中觀測噪聲協(xié)方差矩陣的初始值取值條件是不能為零矩陣，同樣地，取值越接近真實值濾波收斂的速度越快。本實驗中，協(xié)方差矩陣取小值，通過圖4的實驗結(jié)果可以看到，經(jīng)過約0.2 s的濾波震蕩之后，開始收斂到真值附近。

圖4 測量值與預(yù)測值結(jié)果圖

將該模型應(yīng)用于仿真中剩余的數(shù)據(jù)，為查看方便，去除濾波未收斂部分，得到圖5結(jié)果。

圖5 剩余數(shù)據(jù)濾波結(jié)果

從圖4與圖5可以看出，經(jīng)過此方法濾波之后的數(shù)據(jù)要比測量數(shù)據(jù)更接近真值，在真值附近小幅度震蕩，隨機(jī)誤差得到了抑制。通過差分剔除趨勢項后，求得濾波前后隨機(jī)誤差方差如表2所示。

表2 量測數(shù)據(jù)濾波前后隨機(jī)誤差方差統(tǒng)計(m/s)

從表2可以看出，對于前400點(diǎn)量測數(shù)據(jù)，量測值隨機(jī)誤差方差為1.432 4，經(jīng)過建模、濾波之后降到了0.245 2，隨機(jī)誤差方差為原始的17.12%；余下數(shù)據(jù)通過建立的模型進(jìn)行濾波之后，誤差方差為原始數(shù)據(jù)的13.60%，誤差得到了大的抑制。

4 結(jié)束語

本文首先通過平穩(wěn)時間序列建立了ARIMA 時間序列模型，其次推導(dǎo)出觀測噪聲協(xié)方差的遞推公式；然后將建立的時間序列模型應(yīng)用于未知觀測噪聲協(xié)方差矩陣的標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波。利用前400點(diǎn)有限數(shù)據(jù)所設(shè)計的濾波器對所有數(shù)據(jù)進(jìn)行隨機(jī)誤差濾波處理，濾波后的誤差分別為原始數(shù)據(jù)的17.12%和14.60%。數(shù)據(jù)結(jié)果表明：本文提出的基于ARIMA 模型的未知觀測噪聲協(xié)方差矩陣的標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波能有效地抑制隨機(jī)誤差，可以有效地進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)測，具有實用意義，對未知觀測噪聲協(xié)方差矩陣的卡爾曼濾波有較大的應(yīng)用價值。