復(fù)雜曲面輪廓誤差高精度在線計(jì)算研究

楊樂(lè) 張立強(qiáng) 李冬冬

摘 要：高精度在線計(jì)算輪廓誤差可有效降低數(shù)控加工中的控制輪廓誤差。因此，提出一種基于三點(diǎn)弧線理論的方法，在補(bǔ)償輪廓誤差之前對(duì)輪廓誤差進(jìn)行精確計(jì)算。首先根據(jù)插值參考位點(diǎn)與加工過(guò)程中的實(shí)際位置，計(jì)算距離實(shí)際位置最近的參考位點(diǎn);然后根據(jù)最近參考位置及其相鄰兩點(diǎn)形成的近似外接圓弧，計(jì)算實(shí)際位置到該圓弧的距離，即求得刀尖位點(diǎn)輪廓誤差，采用同樣方法計(jì)算刀具方向輪廓誤差。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法比原有算法刀尖位點(diǎn)輪廓誤差均值減小了0.056um，刀具方向均值比原有算法減少7.166um。基于三點(diǎn)弧線理論的算法僅需考慮實(shí)際位置與距離實(shí)際位置最近的參考位點(diǎn)坐標(biāo)，可精確計(jì)算較大的曲率處，且無(wú)需考慮傳統(tǒng)計(jì)算方法中刀具干涉問(wèn)題，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程的同時(shí)還可保證計(jì)算精度。

關(guān)鍵詞：輪廓誤差;三點(diǎn)弧線;刀具軌跡

DOI：10. 11907/rjdk. 191880 開(kāi)放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

中圖分類號(hào)：TP306文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-7800（2020）005-0069-05

0 引言

復(fù)雜曲面加工在工業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用愈加廣泛，如整體葉輪、螺旋槳、機(jī)翼等。數(shù)控系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特征決定零部件加工精度高低，在多軸加工過(guò)程中，單軸伺服系統(tǒng)頻率與帶寬會(huì)造成每個(gè)軸跟蹤誤差[1]。若軸動(dòng)態(tài)特性不匹配則會(huì)造成輪廓誤差，減小輪廓誤差比跟蹤誤差更重要，因?yàn)榍罢咧苯佑绊懠庸ち慵螤罹萚2-3]。傳統(tǒng)減小輪廓誤差的方法主要有兩種，一是通過(guò)控制各軸跟隨誤差間接達(dá)到減小輪廓誤差的目的，如Syh-Shiuh[4]提出利用零相位方法計(jì)算單軸跟蹤誤差;另一種是直接控制輪廓誤差大小，如莊丙遠(yuǎn)等[5]用D-H法建立輪廓誤差計(jì)算模型，設(shè)計(jì)PID輪廓誤差補(bǔ)償器，對(duì)輪廓誤差進(jìn)行補(bǔ)償。在補(bǔ)償輪廓誤差之前，首先必須精確計(jì)算出輪廓誤差大小，因此如何在線精確計(jì)算輪廓誤差大小尤為重要。趙歡等[6]提出在插值點(diǎn)處用二階泰勒展開(kāi)的方法計(jì)算輪廓誤差;隋振等[7]提出根據(jù)實(shí)際加工點(diǎn)與理論位點(diǎn)之間的滯后量計(jì)算輪廓上的校正位點(diǎn)，依據(jù)是進(jìn)給速度與切向跟蹤誤差;Wang[8]用多次密切圓的方法計(jì)算輪廓誤差;Uchiyama等[9]用二階展開(kāi)公式計(jì)算平面圓的輪廓誤差，并結(jié)合交叉耦合控制補(bǔ)償輪廓誤差;Mohammad等[10]運(yùn)用密切圓局部逼近待加工的自由曲線，并用麥克勞林二階展開(kāi)式求解輪廓誤差近似值;林獻(xiàn)坤等[11]提出基于點(diǎn)到空間曲線距離函數(shù)的輪廓誤差二階估計(jì)方法。在曲面加工中利用上述方法可使小曲率處的加工精度提高，但若在大曲率位置，如尖點(diǎn)處、拐角處等，計(jì)算精度會(huì)下降。岳磊[12]利用足點(diǎn)定義，進(jìn)行迭代計(jì)算，將輪廓誤差計(jì)算精確化，該方法雖然計(jì)算精度有所提升，但是計(jì)算量相當(dāng)龐大，計(jì)算時(shí)間較慢;林志偉[13]結(jié)合任務(wù)坐標(biāo)系法對(duì)輪廓誤差進(jìn)行計(jì)算和補(bǔ)償，但在路徑曲線上因局部曲面曲率變化等原因出現(xiàn)微小波動(dòng)，會(huì)對(duì)實(shí)際加工造成不良影響。

本文提出一種基于三點(diǎn)弧線理論的算法，進(jìn)行刀尖位點(diǎn)與刀具方向輪廓誤差計(jì)算[14]。該算法優(yōu)點(diǎn)在于僅需考慮實(shí)際加工點(diǎn)位置和最近參考位點(diǎn)位置，無(wú)需考慮刀軸間的干涉問(wèn)題與曲面曲率，在較大曲率處也能精確計(jì)算[15-16]。本文算法通過(guò)計(jì)算實(shí)際位置和最近參考位置與其相鄰兩點(diǎn)構(gòu)成的弧線之間的距離，計(jì)算刀尖位點(diǎn)輪廓誤差，引入比例因子，在單位圓中根據(jù)刀尖位點(diǎn)位置計(jì)算相應(yīng)的刀具方向位置，引入比例因子可確保刀尖位點(diǎn)與刀具方向同步，以同時(shí)計(jì)算刀尖位點(diǎn)與刀具方向輪廓誤差。

1 五軸輪廓誤差算法設(shè)計(jì)

五軸輪廓誤差主要受刀尖位點(diǎn)與刀具方向兩個(gè)誤差的影響，因此在計(jì)算輪廓誤差時(shí)，需將刀尖位點(diǎn)與刀具方向輪廓誤差定義在同一個(gè)坐標(biāo)系中[17-19]，如圖1所示。

其中[（Pr，Or）]是理論輪廓上刀尖位點(diǎn)和刀具方向的參考位置，[（Pa，Oa）]是實(shí)際加工過(guò)程中刀尖位點(diǎn)與刀具方向的位置，[Pc]是理論輪廓上距離實(shí)際刀尖位點(diǎn)[Pa]最近的刀尖位置，[Oc]是[Pc]位置對(duì)應(yīng)的刀具方向位置。如圖1所示，[εp]是刀尖位點(diǎn)輪廓誤差，[ε0]是刀具方向輪廓誤差。

1.1 刀尖位點(diǎn)輪廓誤差計(jì)算

如圖2所示，[P1，P2，？Pn]是參考路徑上的插值參考位置，[Pr]是參考位置，[Pa]是對(duì)應(yīng)于[Pr]的實(shí)際加工位置。首先，需找到在期望輪廓上距離實(shí)際位置[Pa]最近的位置，記為[Pr-k]，[k∈-M，M]。計(jì)算公式見(jiàn)式（1）。其中，M是參考位置[Pr]附近的搜索范圍。[Pr-k-1]和[Pr-k+1]是與[Pr-k]相鄰的左右兩點(diǎn)。本文算法假設(shè)[Pr-k]既不在軌跡起點(diǎn)，也不在軌跡終點(diǎn)，且[Pr-k-1]、[Pr-k+1]、[Pr-k] 3點(diǎn)不共線。根據(jù)得到的[Pr-k-1]、[Pr-k+1]、[Pr-k] 3點(diǎn)，可以畫(huà)出外接圓，如圖2所示，外接圓圓心[O0]可根據(jù)公式（2）計(jì)算。

1.2 刀具方向輪廓誤差

為將刀尖位點(diǎn)與刀具方向協(xié)同到同一個(gè)坐標(biāo)系中求解輪廓誤差，需保證刀尖位置[Pc]距離相鄰參考位置的比例系數(shù)與刀具方向[Oc]距離相鄰參考位置的比例系數(shù)相同。

[Pc]可能落在[Pr-k]的左右兩邊，計(jì)算刀具方向輪廓誤差方法假設(shè)[Pc]在[Pr-k]的左邊，如圖2所示。左右邊計(jì)算公式相同。比例系數(shù)[λ]的引入是為了定量描述計(jì)算得到的刀尖位置[Pc]與參考位置[Pr-k-1]、[Pr-k]之間的關(guān)系，同時(shí)保證同步計(jì)算刀尖位點(diǎn)與刀具方向輪廓誤差。計(jì)算公式為：

若[γ<π2]，則將[（Pn-2，On-2），（Pn-1，On-1），（Pn，On）]看作[（Pr-k-1，Or-k-1），（Pr-k，Or-k），（Pr-k+1，Or-k+1）]，然后根據(jù)1.1和1.2中提出的方法分別計(jì)算刀尖位點(diǎn)輪廓誤差和刀具方向輪廓誤差。

（2）當(dāng)相鄰的參考點(diǎn)共線時(shí)，即[（Pr-k-1，Or-k-1），][（Pr-k，Or-k），（Pr-k+1，Or-k+1）] 3點(diǎn)共線時(shí)，如圖6所示，首先計(jì)算[（Pr-k+1-Pr-k-1）./（Pr-k-Pr-k-1）]，判斷得到的向量是否[x=y=z]，若相等，則3點(diǎn)共線;如圖6所示，[Pc]為[Pa]在線段[Pr-k-1Pr-k]上的投影。

原始算法計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖8，刀尖位點(diǎn)誤差均值為0.000 158 20mm，刀具方向輪廓誤差均值為：1.570 796 22mm;經(jīng)過(guò)改進(jìn)后的算法見(jiàn)圖9，刀尖位點(diǎn)輪廓誤差均值為0.000 102 17mm，相比減少了0.056um，刀具方向輪廓誤差均值為：1.570 796 04mm，相比減少了7.166um。說(shuō)明本文算法計(jì)算精度更高。

3 結(jié)語(yǔ)

輪廓誤差是標(biāo)識(shí)復(fù)雜曲面加工質(zhì)量的重要指標(biāo)。復(fù)雜曲面加工中不可避免會(huì)產(chǎn)生輪廓誤差，因此需對(duì)輪廓誤差大小進(jìn)行補(bǔ)償，以達(dá)到預(yù)期加工效果。在補(bǔ)償輪廓誤差之前需精確計(jì)算輪廓誤差，因此本文提出了一種基于三點(diǎn)弧線理論的方法在線精確計(jì)算輪廓誤差。針對(duì)原始算法需考慮刀具加工中的干涉問(wèn)題，以及其它算法在較大曲率處計(jì)算精度較低的問(wèn)題，本文算法僅考慮最近實(shí)際位點(diǎn)和最近參考位置，所以適用于不同類型的曲面加工，同時(shí)在較大曲率處也能進(jìn)行精確計(jì)算。經(jīng)過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證，本文算法可精確計(jì)算復(fù)雜曲面加工中輪廓誤差大小，為后續(xù)進(jìn)行輪廓誤差補(bǔ)償提供依據(jù)，便于設(shè)計(jì)輪廓誤差補(bǔ)償器進(jìn)行輪廓誤差補(bǔ)償，以達(dá)到理想的加工效果。

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（責(zé)任編輯：江 艷）