基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的微專題教學(xué)研究

王洪軍

摘 要：本文以高考試題為載體，闡述在教學(xué)過程中微專題的設(shè)置，以及如何落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，并對(duì)微專題教學(xué)的理解進(jìn)行了簡要論述.

關(guān)鍵詞：微專題;學(xué)科核心素養(yǎng);解析幾何

1 引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中指出：“學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力. 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的.”數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析，它們既相對(duì)獨(dú)立又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體. 為培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，我們需要在日常教學(xué)中轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的觀念，在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，并不是對(duì)每一節(jié)課或每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，而是把一些具有邏輯聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)放在一起進(jìn)行整體設(shè)計(jì)，碎片化的數(shù)學(xué)內(nèi)容無法把數(shù)學(xué)的本質(zhì)表述清楚，更無法體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 課程設(shè)計(jì)時(shí)可以以微專題的形式，把這些內(nèi)容前后照應(yīng)進(jìn)行合理建構(gòu)，在關(guān)注知識(shí)與技能的同時(shí)，思考知識(shí)與技能所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)、體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目標(biāo). 在教學(xué)中如何落實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是很多一線教師關(guān)注的問題.下面以高三復(fù)習(xí)時(shí)設(shè)計(jì)的一個(gè)解析幾何微專題為例，作進(jìn)一步的說明.

2 微專題案例分析與說明

案例 （2018年全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第19題）設(shè)橢圓C∶x2 2+y2=1的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）.

（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程;

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB.

解析 第（1）題較為簡單，這里不作考慮，只對(duì)第（2）題進(jìn)行詳細(xì)的探討.

當(dāng)l與x軸重合時(shí)，容易得到∠OMA=∠OMB=0.

視角1 當(dāng)l與x軸不重合時(shí)，如圖1所示，設(shè)直線l的方程為x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），且x1=my1+1，x2=my2+1，直線AM，BM的斜率之和為

說明 上述解法是論證這類問題的通法，在與學(xué)生互動(dòng)交流中，他們很容易能夠得到上述方法.從簡化計(jì)算的層面上看，將直線方程設(shè)為x=my+1要比設(shè)為y=k（x-1）簡便，如果僅僅是將上述結(jié)果告訴學(xué)生，他們的感觸是不深刻的，只有親自操作，才能得到更深刻的認(rèn)識(shí)，這并不是毫無意義的浪費(fèi)時(shí)間，而是積累受益終生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

視角2 當(dāng)l與x軸不重合時(shí)，待證命題有如下等價(jià)形式：

說明 微專題的設(shè)計(jì)要有全局觀念，要打通知識(shí)模塊之間的界限，盡量探尋更多的“工具”，創(chuàng)設(shè)關(guān)聯(lián)的情境，引導(dǎo)學(xué)生由陌生問題向熟悉問題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化. 視角2更加突出向量作為“工具”在解析幾何中的應(yīng)用，我們知道，向量中的很多知識(shí)與解析幾何是相通的，通過加強(qiáng)知識(shí)之間的聯(lián)系，可以讓學(xué)生獲得更多的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

視角3 當(dāng)l與x軸不重合時(shí)，待證命題∠OMA=∠OMB點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（x1，-y1）在直線BM上.

直線BM的方程為y2x-（x2-2）y-2y2=0，要證明點(diǎn)A′（x1，-y1）在直線BM上，等價(jià)于證明y2x1+（x2-2）y1-2y2=0，即證明y1（x2-2）+y2（x1-2）=0，由上述論證可知等式成立.

說明 解析幾何中的一個(gè)難點(diǎn)就是蘊(yùn)含繁雜的計(jì)算，通過題目確實(shí)能訓(xùn)練學(xué)生的運(yùn)算能力，但是核心素養(yǎng)中所提到的“數(shù)學(xué)運(yùn)算”不僅僅是會(huì)繁雜的運(yùn)算，更重要的是如何簡化運(yùn)算，這需要我們?cè)诮虒W(xué)中培養(yǎng)學(xué)生具備更高的運(yùn)算能力.基于此，相比于前兩種算法，視角3利用對(duì)稱原理更加簡潔地轉(zhuǎn)化為待證等式y(tǒng)1（x2-2）+y2（x1-2）=0.

視角4 當(dāng)l與x軸不重合時(shí)，如圖2所示，分別過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線x=2的垂線，垂足分別為點(diǎn)C，D.

由AC//FM//BD，可得|AF| |FB|=|CM| |MD|.

由橢圓的第二定義，可得|AF|=e|AC|，|BF|=e|BD|，其中e為橢圓的離心率，因此，|AC| |BD|=|CM| |MD|.

進(jìn)而得到△ACM∽△BDM.

所以∠CAM=∠DBM.

所以∠OMA=∠OMB.

說明 解析幾何問題本質(zhì)上是幾何問題，把握問題本質(zhì)，逐步引導(dǎo)學(xué)生拾級(jí)而上. 在用代數(shù)方法研究解析幾何的同時(shí)，充分利用圖形本身所具有的平面幾何性質(zhì)，常?？梢缘玫胶啙嵍鴥?yōu)美的解答.實(shí)踐證明，這樣不僅會(huì)讓學(xué)生認(rèn)清問題本質(zhì)，也使得對(duì)數(shù)學(xué)的興趣進(jìn)一步加強(qiáng).

如果僅僅是“就題論題”總有意猶未盡的感覺，可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生抽象出問題背后所蘊(yùn)含的一般性結(jié)論，發(fā)現(xiàn)題目中“變中有不變”的特性，這正是數(shù)學(xué)中提出新定理、新命題的常用手段，對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)大有裨益.

結(jié)論1 橢圓x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F（c，0），過點(diǎn)F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，橢圓的右準(zhǔn)線x=a2 c與x軸交于點(diǎn)M，則∠OMA=∠OMB.

說明 上面僅給出了一類焦點(diǎn)和相應(yīng)準(zhǔn)線的情況，其他同樣成立，論證方法類似，限于篇幅，證明從略. 學(xué)生在論證上述結(jié)論的過程中可以進(jìn)一步體會(huì)方法的通用性，真正做到舉一反三、觸類旁通. 對(duì)于程度較好的學(xué)生還可以引導(dǎo)其作如下進(jìn)一步的抽象推廣.

結(jié)論2 過橢圓x2 a2+y2 b2=1（a>b>0）長軸上的一點(diǎn)N（t，0）（-a

說明 通過上面論述，可以更清楚地了解這類題目的來源，也可以總結(jié)出相應(yīng)模型. 解析幾何模型就是在學(xué)習(xí)的過程中，通過積累的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過加工所得到的有長久保存價(jià)值的典型結(jié)構(gòu)，當(dāng)遇到新的問題時(shí)，我們可以通過題目信息辨識(shí)它屬于（或接近于）哪種模型，通過類比，提出有效的解決方案進(jìn)而解決問題.

可以引導(dǎo)學(xué)生作進(jìn)一步思考：橢圓與雙曲線都是有心圓錐曲線，那么，在雙曲線中是否也有類似的結(jié)論？

首先，可以指導(dǎo)學(xué)生從特殊實(shí)例入手，將案例問題改編為如下題目并論證.（證明略）

設(shè)雙曲線C：x2 2-y2=1的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（23 3，0），設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB.

其次，用研究橢圓時(shí)類似的想法，讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般的過程，并進(jìn)一步啟發(fā)他們以拋物線為背景獨(dú)立進(jìn)行相關(guān)的研究學(xué)習(xí)，通過積累經(jīng)驗(yàn)和相關(guān)方法，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，而問題解決的過程正是培養(yǎng)學(xué)生能力，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的過程.

3 對(duì)課堂教學(xué)的啟示

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)是一個(gè)預(yù)設(shè)與生成相結(jié)合的過程，而預(yù)設(shè)的主要形式表現(xiàn)為以課時(shí)為單位的教學(xué)設(shè)計(jì)，對(duì)于合理把握每節(jié)課的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的進(jìn)程、優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)具有重要意義，但其自身的不足之處也是顯而易見的，容易使學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)割裂，不利于形成完整的知識(shí)鏈條和結(jié)構(gòu)體系;也容易使一線教師拘泥于具體的“就課論課”，而忽略對(duì)教學(xué)整體的把握.微專題的教學(xué)設(shè)計(jì)更加注重知識(shí)內(nèi)容的整體性、教學(xué)安排的整體性和對(duì)學(xué)生認(rèn)知把握的整體性，將精心設(shè)計(jì)的多個(gè)微專題融合成單元主題，可以將教學(xué)內(nèi)容置于主題整體內(nèi)容中去把控，更多地關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，拓展其教學(xué)視野并達(dá)到提高教學(xué)效率的目的，也會(huì)更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]史寧中，王尚志. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

（收稿日期：2019-12-26）