充分暴露問題　引發(fā)深度學(xué)習(xí)

【摘要】本文以《除數(shù)是一位數(shù)的除法》為例，通過充分暴露計(jì)算教學(xué)中出現(xiàn)的問題，提出讓學(xué)生經(jīng)歷算法多樣化、構(gòu)建一般性算法、構(gòu)建合理化算法和形成所有除法計(jì)算通法等教學(xué)過程，引發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，理解算理，掌握算法。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 計(jì)算教學(xué) 深度學(xué)習(xí)

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2020）05A-0067-04

一直以來，在計(jì)算教學(xué)中理解算理和掌握算法是非常重要的兩個(gè)核心目標(biāo)。算理就是計(jì)算的理論依據(jù)，其內(nèi)涵包括數(shù)與運(yùn)算的意義、運(yùn)算的規(guī)律和性質(zhì)，也就是解決“為什么這樣算”的問題。算法就是計(jì)算的方法，其內(nèi)涵是由已知推出未知的程序，即解決“怎樣算”的問題。算理為計(jì)算提供了正確的思維方式，確保了計(jì)算的合理性與正確性。算法為計(jì)算提供了規(guī)范快捷的操作方法，促進(jìn)了計(jì)算速度的提高，是解決一類問題的有效處方。

那么，如何將理解算理和掌握算法一起落地？又讓學(xué)生真正經(jīng)歷算法構(gòu)建的過程，實(shí)現(xiàn)算理與算法的內(nèi)在統(tǒng)一？下面以三年級(jí)下冊(cè)《除數(shù)是一位數(shù)的除法》為例，談?wù)勅绾卧O(shè)計(jì)教學(xué)流程，讓學(xué)生在掌握算法的同時(shí)理解算理。

一、自己想辦法算，展現(xiàn)多樣化的算法

師：咱們?cè)瓉韺W(xué)過表內(nèi)除法的簡單計(jì)算。而這個(gè)除法算式（板書42÷2）用乘法口訣表已經(jīng)不能直接算出來了，怎么辦呢？老師準(zhǔn)備了一些小棒，你們可以借助小棒分一分，也可以用畫一畫的方法，還可以用算式表達(dá)的方法來計(jì)算。要求讓大家一眼就明白你是怎么算的?，F(xiàn)在，請(qǐng)你們自己想辦法計(jì)算吧。

（學(xué)生開始嘗試獨(dú)立解決，教師巡堂指導(dǎo)）

師：看來很多同學(xué)都已經(jīng)解決了這個(gè)問題。誰愿意來分享自己的解決方法？

生1：老師，我是用分小棒的方法來解決的。我先分整捆的小棒，4捆平均分成兩份，每份就是2捆，然后再把剩下的2根小棒平均分成兩份，每份是1根。把2捆和1根合起來每份都是21根小棒，所以42÷2=21。

師：先分整捆再分零散的，這位同學(xué)用分小棒的方法解決了問題，還有哪些同學(xué)也是采用分小棒的方法呀？（部分學(xué)生舉起了手）

師：還有其他方法嗎？

生2：老師，我用的是口算的方法。我把42分成40和2。先算40÷2=20，再算2÷2=1，然后把兩次計(jì)算得到的商加起來，就得到了最后的結(jié)果：20+1=21。

師：口算也是先算整十?dāng)?shù)，再算個(gè)位數(shù)。還有哪些同學(xué)也是采用口算的方法？（部分學(xué)生舉起了手）

師：還有不同的方法嗎？

生3：老師，我是用除法豎式來計(jì)算的。

師：你還記得除法豎式這種計(jì)算方法？太好了！我們?cè)诙昙?jí)學(xué)習(xí)表內(nèi)除法中“有余數(shù)的除法”時(shí)學(xué)過除法豎式計(jì)算。請(qǐng)把豎式計(jì)算方法說給大家聽聽吧。

生3：我先算十位，十位4除以2等于2，寫在十位上;再算個(gè)位，個(gè)位2除以2等于1，寫在個(gè)位上。

師：除法豎式也是先算十位再算個(gè)位？

生3：是的。

師：請(qǐng)問，為什么十位上除得的商要寫在十位上，個(gè)位上除得的商要寫在個(gè)位上呢？

生3：你看剛才那個(gè)同學(xué)分小棒，先分整捆，4捆平均分成兩份，每份是2捆，如果寫到個(gè)位，2捆不就變成2根了嗎？（全班學(xué)生哈哈大笑）

師：我明白了，你的意思是十位上除得的2表示的是2個(gè)十。

生3：對(duì)！個(gè)位上除得的1表示的是1個(gè)一。

師：老師還有一個(gè)地方不明白，你的除法豎式里面出現(xiàn)了兩個(gè)42，為什么要寫兩個(gè)呢，寫一個(gè)不就行了嗎？

生3：這兩個(gè)42表示的意思不一樣?。∩厦孢@個(gè)42是被除數(shù)里要用來分的，下面這個(gè)42表示分完了的，在除法豎式里把分完的數(shù)量也要記錄下來，這樣就不會(huì)遺忘了。

師（連連點(diǎn)頭）：是啊，好記性不如爛筆頭，這樣記錄下來確實(shí)一目了然。

生4：老師，我也是用除法豎式計(jì)算的，但是和他的有點(diǎn)不一樣。

師（驚訝）：不一樣的除法豎式？那請(qǐng)把你的除法豎式也展示出來，給我們瞧瞧哪兒不一樣！

生4：我也是先算十位再算個(gè)位，跟他的相比，我把每一步的計(jì)算過程都在除法豎式中清楚地表示出來了。

師：大家仔細(xì)看看，有什么疑問嗎？可以向他提問。

生5：你把個(gè)位上的2移下來了，為什么要移下來呢？

生4：我是分兩次算的，第一次算十位上的4除以2，算完十位接下來算個(gè)位。如果不移下來，別人就看不出我究竟是一次算完的還是分兩次算的。

師：意思是第一根橫線上的部分表示的是第一次計(jì)算？

生4：沒錯(cuò)！第二根橫線上的部分表示的是第二次計(jì)算。

學(xué)生二年級(jí)學(xué)習(xí)表內(nèi)除法時(shí)接觸過一次筆算除法，將表內(nèi)口算除法轉(zhuǎn)換成豎式格式，當(dāng)時(shí)僅僅是讓學(xué)生初步知道除法還有另一種書寫格式，至于為什么要寫成豎式格式，學(xué)生一無所知。

這節(jié)課是學(xué)生第一次學(xué)習(xí)表外的筆算除法，也是真正意義上的筆算除法的學(xué)習(xí)。教師沒有急于教給學(xué)生正確的計(jì)算方法，而是放慢腳步，采用開放的教學(xué)方式，將除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法“如何計(jì)算”作為一個(gè)迫切需要解決的實(shí)際問題呈現(xiàn)在學(xué)生面前，放手讓學(xué)生用自己喜歡的方法來嘗試計(jì)算，教師僅要求“你的方法要讓大家一眼就能看明白你是怎么算的”，這樣一來，逼著學(xué)生自己面對(duì)一個(gè)陌生的情境，充分調(diào)動(dòng)所有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來解決這個(gè)問題。

學(xué)生自主探究之后，呈現(xiàn)出了多種多樣的算法：有借助小棒擺一擺的，也有口算的，還有列不同豎式算的。這些解決方案都是學(xué)生用自己原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為背景進(jìn)行推理或遷移的結(jié)果，都是學(xué)生經(jīng)過深度思考之后的個(gè)性呈現(xiàn)。這個(gè)過程，學(xué)生獲得了學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)，思維得到充分激發(fā)，個(gè)性得到張揚(yáng)，自然成了知識(shí)的發(fā)現(xiàn)者、探尋者和研究者。既有效地避免了計(jì)算教學(xué)的“少義”“無趣”的尷尬，又讓學(xué)生在交流中感受數(shù)學(xué)計(jì)算的多彩、神奇、嚴(yán)謹(jǐn)、簡潔等。

二、觀察比較，構(gòu)建一般性的算法

師：同學(xué)們真聰明！解決除數(shù)是一位數(shù)的計(jì)算問題，一下子就能想出四種方法。無論是擺小棒還是口算，或者是列豎式計(jì)算，我們都是先算十位再算個(gè)位，這四種方法計(jì)算的順序都是一致的。那么，這四種計(jì)算方法，你更喜歡哪一種，為什么？

生1：我喜歡用分小棒的方法，因?yàn)楹芎唵巍?/p>

生2：分小棒的方法一看就明白。

生3：我覺得分小棒的方法雖然很簡單，容易看明白，但如果被除數(shù)變大了，哪有這么多小棒給我們分呀？

師（微笑著）：大家認(rèn)為呢？

生4：對(duì)呀，被除數(shù)變大了，只怕要用火車運(yùn)小棒。（學(xué)生哄堂大笑）

生5：我喜歡用口算的方法，算起來非?？?，所以我覺得沒有必要列豎式計(jì)算了。

生6：如果數(shù)不大，口算確實(shí)很方便。如果數(shù)很大，口算根本就算不出來。

生5：噢，對(duì)噢。

師：是啊，看來擺小棒和口算的方法只能適用于比較小的數(shù)，遇到比較大的數(shù)時(shí)，擺小棒和口算的方法確實(shí)不合適，那就要用到列豎式計(jì)算了，列豎式計(jì)算被除數(shù)再大也沒關(guān)系，咱們把除號(hào)畫長一點(diǎn)兒就行了嘛！那么問題又來了，黑板上這兩種列豎式計(jì)算的方法，你們更喜歡哪種？

生7：我喜歡第一種豎式，更簡單。

生8：我也喜歡第一種，非常清楚。第二種寫起來很麻煩，浪費(fèi)時(shí)間。

生9：我喜歡第二種除法豎式，因?yàn)槟茏屛覀兛闯鲈趺此愕?，算了幾次，?jì)算的過程記錄得非常清楚，這樣比較容易檢查，不易出錯(cuò)。第一種雖然是分兩次算的，要是自己不說，人家是看不出來的。

生10：對(duì)，第一種除法豎式看起來像一次算完的。

師：我們來把大家的意見綜合一下，簡單的除法……

生（齊）：擺小棒或者口算。

師：對(duì)！簡單的事情簡單做。復(fù)雜的除法就……

生（齊）：列豎式計(jì)算。

師：關(guān)于列豎式計(jì)算，我們產(chǎn)生了兩種意見。第一種豎式寫法簡單，但是看不出計(jì)算的過程;而第二種豎式寫法雖然麻煩，但是計(jì)算的過程很清楚。

生（齊）：對(duì)！

師：既然對(duì)于豎式計(jì)算應(yīng)該怎么寫，大家各執(zhí)己見，誰也說服不了誰，且覺得兩種意見都各有道理，那老師現(xiàn)在請(qǐng)大家再來完成一道除法計(jì)算題，都列豎式計(jì)算，喜歡第一種寫法的就用第一種，喜歡第二種寫法的就用第二種。

在計(jì)算起始課教學(xué)過程中，教師依托課標(biāo)，借助教材，讓學(xué)生直面一個(gè)全新的“如何計(jì)算”的問題，學(xué)生由于認(rèn)知水平和思維方式存在個(gè)體差異，對(duì)于同一個(gè)問題，往往會(huì)有基于個(gè)人理解的不同計(jì)算方法，這也凸顯了學(xué)生的不同個(gè)性。教學(xué)中，教師特別重視這種散發(fā)著智慧光芒的差異，并且巧妙利用這種差異，遵循從具象到抽象的順序，有意識(shí)、有層次地引導(dǎo)學(xué)生交流自己的真實(shí)思考，給予學(xué)生基于獨(dú)立思考的觀點(diǎn)與想法激烈碰撞思維火花的機(jī)會(huì)，進(jìn)行充分的生與生、師與生之間的對(duì)話交流，讓學(xué)生一一體驗(yàn)和理解不同計(jì)算方法的思維過程，逐一感悟支撐每種方法背后的算理，可以有效地拓寬學(xué)生的視野，開闊學(xué)生的思維。所謂見多識(shí)廣，長期堅(jiān)持，解決問題策略的方法多樣性才不會(huì)局限于群體的思維，而必將綻放于個(gè)體思維。

在此基礎(chǔ)上，再通過觀察比較、交流評(píng)價(jià)以及引導(dǎo)學(xué)生參與該問題和現(xiàn)象的層層剖析，設(shè)想出每種算法可能面臨的種種情形，發(fā)現(xiàn)和領(lǐng)悟各種算法的優(yōu)勢(shì)與劣勢(shì)，得出“簡單的除法可以直接用擺小棒和口算，復(fù)雜的除法用列豎式計(jì)算”這一理性結(jié)論，從而形成具體問題具體分析的科學(xué)思路，并將學(xué)生的學(xué)習(xí)思考引向探究“除法豎式如何寫”的更深層次。

三、改變問題的情境，構(gòu)建合理化的算法

（師出示除法算式52÷2= ? ?，學(xué)生獨(dú)立計(jì)算）

師：大家算完了嗎？說說你是怎么算的？

生1：我用的是第一種列豎式計(jì)算的方法，先算十位，用十位上的5除以2，商2，2×2=4，表示分完了4個(gè)十，還余1個(gè)十。

生2：我有疑問！你剛才說的分完4個(gè)十，余下的1個(gè)十在豎式里面根本就沒有看到??？

生1：我是記在心里的！

生2：豎式里面看不到你說的計(jì)算過程，記在心里這不就是口算了嗎？

生1：可是我能記住?。?/p>

生2：老師說了，采用的方法要讓大家“一眼就能看明白你是怎么算的”，我就看不明白。

生1：……

師：看來，這種豎式的寫法因?yàn)闆]有完整體現(xiàn)出計(jì)算的每一步過程，所以大家不能一眼看明白。那誰的除法豎式可以完整地呈現(xiàn)計(jì)算的每一步過程？

（很多學(xué)生高高地舉起了手）

生3：請(qǐng)大家看我寫的除法豎式。我是先算十位，用十位上的5除以2，商2，這個(gè)2表示2個(gè)十，寫在商的十位上。2×2=4，表示已經(jīng)分完了4個(gè)十，還余1個(gè)十。

師：十位有余數(shù)了，怎么辦？

生3：有余數(shù)沒關(guān)系的，可以把十位上的余數(shù)和個(gè)位上2合起來看成12，再繼續(xù)除，12除以2商6，這個(gè)6表示6個(gè)一，所以寫在商的個(gè)位上，2×6=12，剛好分完，沒有剩余，所以最后余數(shù)的位置寫0，表示算完了。

師：十位上的1為什么要和個(gè)位上的2合起來？

生3：我們可以用擺小棒來輔助計(jì)算，5捆小棒平均分成2份，先拿出4捆，每份分得2捆。剩下的1捆要拆散，變成單根的10根，與原來的2根合在一起，一共12根，再繼續(xù)分下去。

生5：我來幫你回答！如果不管十位上的1，不跟個(gè)位上的2合起來，那我們算的實(shí)際上是42÷2，而不是52÷2了！

生（齊）：對(duì)！

師：咱們?cè)賮肀容^一下這兩種除法豎式計(jì)算的寫法，你更喜歡哪一種？

生6：肯定喜歡第二種了！每一步的計(jì)算過程清清楚楚，明明白白！

生7：我原來是喜歡第一種豎式寫法的，但是我發(fā)現(xiàn)那種方法遇到十位上有余數(shù)的，就沒辦法算了，我也改變主意了。（同學(xué)們紛紛點(diǎn)頭表示同意）

師：還有同學(xué)堅(jiān)持喜歡第一種豎式寫法嗎？（只有生1一人舉手）

生1：我還是喜歡第一種，寫起來比較簡單，我自己心里能記得住。

師：嗯，適合自己的就是最好的方法，非常欣賞你的執(zhí)著和自信！但我們也要學(xué)會(huì)接納更科學(xué)的方法。老師覺得分層表示計(jì)算步驟還有個(gè)重要的作用，便于回頭一步一步對(duì)應(yīng)檢查核對(duì)。

剛學(xué)習(xí)筆算除法時(shí)會(huì)出現(xiàn)一種情況：學(xué)生都普遍采取“一步算到位”的方法，也就是上述片段中第一種豎式的寫法。很多教師不解：課堂上已經(jīng)說得清清楚楚，要一步一步計(jì)算，可最后寫的時(shí)候?yàn)槭裁催€是錯(cuò)誤不斷呢？究其原因，其實(shí)很好理解。人都是趨利避害的，誰都不喜歡麻煩，因?yàn)榈谝环N豎式的寫法比較簡便，學(xué)生出于本能理所當(dāng)然會(huì)選擇簡便的寫法，沒有體會(huì)到第二種豎式寫法的妙處和作用，所以不會(huì)舍近求遠(yuǎn)。甚至有學(xué)生說：要不是老師規(guī)定一定要寫豎式，我才懶得寫呢，我口算就能算出來的題，干嗎還費(fèi)神寫豎式呢！

沒錯(cuò)，對(duì)于“42÷2”這種類型的口算除法來說，兩種不同的豎式寫法，并沒有明顯的優(yōu)劣。正因?yàn)椤?2÷2”的計(jì)算毫無難度，其作用主要是讓學(xué)生通過類比，知道表外除法其實(shí)也可以像表內(nèi)除法一樣寫成豎式的形式，它是除法豎式即將展現(xiàn)其強(qiáng)大功能的一座不可缺少的橋梁。而“52÷2”的出現(xiàn)，有效地阻斷了“一步算到位”的可能。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最大的特點(diǎn)是什么？從易到難，由淺入深，舉一反三，觸類旁通。為了讓學(xué)生能充分感受除法豎式寫法的合理性，教師抓住時(shí)機(jī)主動(dòng)示弱，向?qū)W生請(qǐng)教“十位上有余數(shù)了，怎么辦？”“十位上的1為什么要和個(gè)位上的2合起來？”兩個(gè)關(guān)鍵的問題，就是讓學(xué)生借助分小棒的數(shù)理，遷移到除法豎式的算理辨析中，從而親身體會(huì)到分步記錄除法過程的重要意義在于“一眼就能看明白你是怎么算的”，讓原來喜歡第一種寫法的學(xué)生也體會(huì)到“簡單寫法”的不足，兩相權(quán)衡，轉(zhuǎn)而認(rèn)同合理化的書寫格式。這一過程不正是我們想要的筆算除法豎式書寫規(guī)范得以形成的軌跡嗎？也是算理感悟和算法表達(dá)的有機(jī)結(jié)合的有力證明。

四、再改問題情境，形成所有除法計(jì)算的通法

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家用自己喜歡的列豎式方法再來算一道題好嗎？（板書：256÷2=）

師：都算完了嗎？誰能展示一下自己的計(jì)算方法，不用解說，看大家能否一眼看明白。

生1上臺(tái)展示自己的豎式計(jì)算：

生2：根本不用解說，大家都能看懂！你是分三步來算的：先算百位，再算十位，得出十位有余數(shù)，第三步將余數(shù)與個(gè)位上的數(shù)合起來再繼續(xù)除。

生1：你說對(duì)了！

師：其實(shí)，數(shù)學(xué)是一種思考、表達(dá)和交流的語言，這種列豎式計(jì)算的方法將思考過程表達(dá)得非常清楚。

生3：老師，以后遇到被除數(shù)是四位數(shù)、五位數(shù)、六位數(shù)等除以一位數(shù)的除法，用這種列豎式的方法我們?nèi)紩?huì)算了，您都不用再教了！

師：真的？給大家說說怎么算？

生3：從左邊開始，一位一位地除下來就行了。

師：同意嗎？

生（齊）：同意！

師（豎起大拇指）：你們好棒！

師（問那個(gè)堅(jiān)持喜歡第一種方法的學(xué)生）：你用自己喜歡的方法把這道題算出來了嗎？能不能給大家看看你是怎么算的？

生4（害羞地）：數(shù)太大了，算不出來了。

師：那要是遇到剛才大家說的被除數(shù)是四位數(shù)、五位數(shù)、六位數(shù)的情況會(huì)更復(fù)雜，更不好算了。

生4：是的，我現(xiàn)在覺得還是大家的這種方法好，不管數(shù)字大小，都可以算出來。

師：說得太好了！我們終于找到了一種可以解決所有除法計(jì)算問題的好辦法——列豎式，計(jì)算時(shí)一步一步從高位算下來?，F(xiàn)在請(qǐng)大家打開課本第17頁，看看書本上是怎么算的。

生5：老師，書本上的筆算方法居然跟我們的方法一模一樣。

生（齊）：真的，太巧了！

師（笑）：前人總結(jié)得到的經(jīng)典算法，今天居然被我們親自發(fā)現(xiàn)了，這叫英雄所見略同。

從以上課例中我們不難發(fā)現(xiàn)：整節(jié)課不過只做了三道題，其中第三道題原本是下節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，但為了讓那個(gè)執(zhí)著的學(xué)生徹底放棄自己錯(cuò)誤的觀點(diǎn)，并心服口服，教師臨時(shí)將其提前到本節(jié)課來了，如果這個(gè)學(xué)生仍舊堅(jiān)持，估計(jì)要出示四位數(shù)除以一位數(shù)的計(jì)算題繼續(xù)探究。三道題，三個(gè)層次，在理解算理的基礎(chǔ)上不斷優(yōu)化算法，步步登高，讓學(xué)生在一課三練三研究的慢節(jié)奏嘗試體驗(yàn)中，充分探究、理解、交流、體驗(yàn)，然后集中火力，攻克筆算除法教學(xué)的重難點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)知識(shí)內(nèi)在的本質(zhì)，每一次嘗試之后，都回過頭來進(jìn)行反思，在反思中獲得解決問題的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，并最終達(dá)成共識(shí)，成功建構(gòu)能解決所有除法計(jì)算的豎式寫法。

總之，通過構(gòu)建算理和算法相融的計(jì)算課堂，讓學(xué)生在算法的探究中主動(dòng)思考其中的算理，在理解算理的基礎(chǔ)上形成有理有據(jù)、精彩紛呈的各種算法，在變化的情境中感知不同算法的局限性和優(yōu)越性，完整地經(jīng)歷了筆算除法的形成過程，最終發(fā)現(xiàn)、探尋、研究得出解決一類問題的通法。這才是計(jì)算起始課教學(xué)中真正意義上的深度學(xué)習(xí)。

作者簡介：李何英（1975— ），女，廣西南寧人，研究生學(xué)歷，一級(jí)教師，南寧市學(xué)科帶頭人，主要研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)教育。

（責(zé)編 林 劍）