整體單元教學設計的研究
——以《方差和標準差》的教學為例

張志華

桐廬縣分水初中教育集團，浙江杭州 311519

混淆公式或概念、知識的遷移能力弱是當前數(shù)學教育“四基”落實中存在的問題。讓學生經(jīng)歷概念的形成，主動概括出概念是解決此類問題積極有效的方法。如何有效率地建構(gòu)概念，并用概念間的聯(lián)系來培養(yǎng)數(shù)學思維呢？筆者以《方差和標準差》為例，嘗試用整體單元的視角來說明如何教學設計，具體匯報如下：

1 理解教材對整體單元教學設計的意義

課程標準要求在數(shù)學教學中，注重發(fā)展學生的數(shù)據(jù)分析觀念、模型思想。方差和標準差是讓學生養(yǎng)成數(shù)據(jù)分析觀念的重要載體，也是學生樹立模型思想的重要載體。

1.1 明確課時內(nèi)容的承前啟后

教材編排的進度是：先組織學習統(tǒng)計表、統(tǒng)計圖、頻數(shù)直方圖，讓學生對數(shù)據(jù)的變化趨勢、數(shù)據(jù)間的差異有直觀的感受。在此基礎上組織學習平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)，讓學生理解這些都是對數(shù)據(jù)集中趨勢的定量分析。對于數(shù)據(jù)離散分布的描述，頻數(shù)直方圖中的極差概念描述地過于籠統(tǒng)?；谶@一現(xiàn)實，有必要引入新概念（即方差和標準差）來反映數(shù)據(jù)離散程度。這為用樣本估計總體提供了參照標準，為后續(xù)用頻率估計概率作知識儲備。明確課時內(nèi)容的承前啟后，能讓學生明確學習新概念的必要性。

1.2 明確課時內(nèi)容的教育擔當

方差和標準差承載了培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)分析觀念的教育期盼，所以讓學生用已學的統(tǒng)計量來分析數(shù)據(jù)是課堂引入必須要采用的內(nèi)容。感受原有的統(tǒng)計量不能解決數(shù)據(jù)離散程度的比較，讓學生充分思考怎樣的統(tǒng)計量能解決這個問題、如何去設計一個算法（即新的統(tǒng)計概念）來實現(xiàn)這樣的比較。在教學中讓學生去經(jīng)歷算法的探求過程，能實現(xiàn)滲透數(shù)學模型思想的培養(yǎng)目標。采用學歷案模式教學，設計時可以制定以下學習目標：1.通過實際情境，合作交流經(jīng)歷概念的產(chǎn)生過程，建構(gòu)方差和標準差的概念；2.掌握一組數(shù)據(jù)的方差和標準差的計算，體會方差和標準差能反映數(shù)據(jù)的“離散程度”；3.結(jié)合實際情境，體會借助方差量化數(shù)據(jù)波動程度，積累統(tǒng)計經(jīng)驗并提高數(shù)學的應用意識。其中學習的重點是方差和標準差的概念和計算；難點是方差和標準差的必要性和合理性。

1.3 突出課時內(nèi)容的地位作用

《方差和標準差》在本章的地位是非常重要的，因為它是衡量數(shù)據(jù)穩(wěn)定性的唯一指標。對于平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)等統(tǒng)計量而言，方差和標準差的計算量大，概念的形成步驟繁瑣，概念形成過程中的考量繁多，故它又是本章的難點。方差和標準差的概念也是公式，它的學習遵循公式教學的一般思路：發(fā)現(xiàn)公式→推導公式→理解公式→辨析公式→應用公式。在推導公式的過程中讓學生理解每一步驟，并及時的鞏固概念就可以了。

2 理解學生對整體單元教學設計的要求

學生是學習的主體，方差和標準差概念的形成是一個從無到有的過程。教師如何引導學生發(fā)現(xiàn)問題，如何激發(fā)學生去探究問題，如何鼓勵學生去解決問題是教師在教學設計時必須要考慮的問題。教師可以從學生的學習、生活經(jīng)驗來發(fā)問：如浙教版八下教材從甲乙兩人的射擊成績發(fā)問，學生發(fā)現(xiàn)兩者平均數(shù)、中位數(shù)都相同。從折線統(tǒng)計圖看甲穩(wěn)定，乙較不穩(wěn)定，但有最好發(fā)揮。問題起點低，能引發(fā)學生思考。選擇哪位選手，問題具有開放性，能激發(fā)學生主動參與學習。要求說明選擇的理由，能引發(fā)選擇甲的學生對數(shù)據(jù)離散程度度量的思考。考慮引導學生回溯眾數(shù)的概念，又讓學生意識到必須用計算去刻畫數(shù)據(jù)特征，設計時可對甲、乙增設數(shù)據(jù)：甲6，8，10，乙7，8，9。增設數(shù)據(jù)后，甲乙的眾數(shù)、極差也相同，并且通過統(tǒng)計圖不易明顯比較出數(shù)據(jù)波動幅度的大小。學生會試圖用每一個數(shù)據(jù)與平均數(shù)作差、匯總來刻畫這組數(shù)據(jù)對于平均數(shù)的離散程度。為消除正負抵消的影響，學生會再嘗試將所得的差加上絕對值、求和（即離差）來刻畫數(shù)據(jù)的離散程度。此時教師可以點評：求值時會出現(xiàn)什么情況（去絕對值時需對每一個差的正負作出判斷）？有沒有其它消除以上正負抵消的影響的方法？學生根據(jù)已習得的經(jīng)驗，自然會嘗試將所得的差平方再求和（即方差）的方法。這是教師從學生思維的最近發(fā)展區(qū)著手。

3 理解教學在整體單元教學設計的體現(xiàn)

3.1 扶放有度的教學節(jié)奏

基于本課時的難點是方差和標準差的必要性和合理性，在推導公式的過程中務必要讓學生去參與計算、經(jīng)歷失敗、嘗試改進、體驗成功。教師適時地給予鼓勵、提出質(zhì)疑或給出改進的建議就可以了。比如，當學生已得出的統(tǒng)計方法后，教師給出情境：為避免某等因素對甲乙發(fā)揮的影響，再行測試。甲的成績分別為7，8，8，7，8，9，6，9，10，7，7，10。乙的部分成績?yōu)?，8，6，9，9，7，7，10，6，9，10另一部分成績因故已遺失。以上統(tǒng)計方法對不同個數(shù)的數(shù)據(jù)適用嗎？怎么改進？學生自然會想到將平方和再平均的方法。這讓學生主動建構(gòu)了方差的概念，達成目標1。

3.2 講解、展示、練習教學鏈

計算甲、乙射擊成績的方差，明確方差大小與數(shù)據(jù)波動程度、穩(wěn)定性的對應關(guān)系。教師可以及時指出：方差的單位是什么？怎么設計一個統(tǒng)計量令它具有實際意義。這樣順勢就得到了標準差的概念，并指出標準差也是反映數(shù)據(jù)的離散程度的。緊接著給出練習：

①樣本的方差是

3.3 支持遷移、應用的診斷

《方差和標準差》的學習是支持數(shù)據(jù)分析初步的學習的，所以本課時的教學設計除了要讓學生深度理解公式概念外，還要求把公式概念遷移到不同情境、不同數(shù)據(jù)中去應用。實現(xiàn)學習廣度的延伸，以達成學習目標3。

4 評估整體單元教學設計的目標的達成

整體單元教學設計的目的是讓單元知識系統(tǒng)整合。落實好本課時“四基”，能厘清整體單元概念間的關(guān)系。通過概括和整合，學生明確方差和標準差跟平均數(shù)一樣是數(shù)學工具，不同的是它是用來刻畫數(shù)據(jù)的離散程度。本章的教學重點是各統(tǒng)計量的概念和算法。建構(gòu)概念，對數(shù)據(jù)分析能力的提升也是有要求的。教師可以整合教材資源組織學生對方差的兩個補充定理進行探究，比如：請解決以下問題：已知a1，a2，a3，…an的平均數(shù)為X，方差為Y，標準差為Z。①a1+3，a2+ 3，…an+3的平均數(shù)為_方差為_標準差為_。 ②3a1，3a2，3a3，…3an的平均數(shù)為_方差為_標準差為_。 ③2a1-3，2a2-3，2a3-3 ，…2an-3的平均數(shù)為_方差為 _標準差為_。提升方差概念的理解，達到數(shù)據(jù)處理能力提升的目的。本課時的教學重點是方差和標準差的概念和計算，以上兩個補充定理的探究是去解決這個重點問題的。課標要求，為不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。以上問題也是有模型的，在此處無需提出數(shù)學模型的概念，讓學生自我感悟就可以了。