巧用數(shù)軸培養(yǎng)學生運算能力

楊熠 金小亞

摘 要??數(shù)軸把直線上的點和數(shù)一一對應，形象地表示數(shù)。根據(jù)數(shù)軸的特性，把數(shù)軸和運算相結(jié)合，可以闡述運算意義，說明運算順序規(guī)定的道理，滲透代數(shù)思維等。充分利用、挖掘數(shù)軸在運算能力培養(yǎng)教學中的作用，開展有針對性的教學，能更好地培養(yǎng)學生的運算能力。

關(guān)鍵詞 數(shù)軸運算能力

數(shù)軸把直線上的點和數(shù)一一對應，形象地表示數(shù)，通常用以培養(yǎng)學生數(shù)感。實際上，數(shù)軸在運算能力的培養(yǎng)上也能發(fā)揮作用。巧用數(shù)軸，充分利用、挖掘數(shù)軸在運算能力培養(yǎng)教學中的作用，開展有針對性的教學，能更好地闡述運算意義，說明運算順序規(guī)定的道理，滲透代數(shù)思維等。本文結(jié)合教學實踐，闡述數(shù)軸在學生運算能力培養(yǎng)中的作用。

一、理解運算意義

20以內(nèi)加減運算建立在數(shù)的組成的基礎上，主要是對數(shù)字進行拆與合。如4可以分成1和3，對應4-1=3，4-3=1;9加3時可以把3分成1和2，9和1湊成10，10+2=12等。但從運算的本質(zhì)來說，“加法是加1的復合”，任何自然數(shù)都可以由1開始，逐步+1而得到它。人教版數(shù)學教材其實也介紹了這種方法，如計算3+2的一種方法就是：“從3后面接著數(shù)，4、5，一共5只。”（人教版《數(shù)學》一年級上冊第25頁）這種方法體現(xiàn)了加法運算的本質(zhì)，卻往往被教師忽略，沒能在教學中得到體現(xiàn)。

一年級上冊的教材中編排有直尺圖，直尺圖就是數(shù)軸在0到20的正整數(shù)范圍內(nèi)的生活原型。教學中可以結(jié)合數(shù)軸（直尺圖），直觀呈現(xiàn)計算過程和結(jié)果。如教學4+2，讓學生在圖中先找到4，加2就是往右數(shù)兩格，得到6;教學4-3，就從4開始向左邊數(shù)3格，得到1（見圖1）。

由于數(shù)軸上數(shù)的排列規(guī)則是左小右大，學生計算加法時就向右數(shù)，計算減法時就向左數(shù)，不僅能快速計算出結(jié)果，還能在里面滲透基本數(shù)量關(guān)系：4+2既可以表示把前面的4格和后面的2格合并起來，也可以表示求比4大2的數(shù);4-3既可以表示從4格里面去掉了3格，也可以表示求比4少3的數(shù)。借助數(shù)軸開展加減法運算的教學，結(jié)合常規(guī)運算明確數(shù)量之間的關(guān)系，對學生進行了線段圖的啟蒙，能建立加減法數(shù)量關(guān)系的模型、降低思維難度，幫助學生獲得解決問題的方法和能力，培養(yǎng)學生的運算能力。

當學生開始學習負數(shù)加減運算時，這樣的教學就更加凸顯出其積極意義。如計算“-1+3”，就從“-1”開始向右數(shù)3格，得到“2”;計算“-1-3”，就從“-1”開始向左數(shù)3格，得到“-4”。

乘法的運算意義也可以通過數(shù)軸來表示。人教版《數(shù)學》二年級上冊第56頁里有一道習題，就用了數(shù)軸（見圖2）。借助數(shù)軸教學表內(nèi)乘法，能幫助學生清晰地看到幾個幾與得數(shù)的對應關(guān)系，更好地理解乘法的意義，掌握乘法口訣。

數(shù)軸把運算意義清晰地呈現(xiàn)出來，加強算理、算法與數(shù)量關(guān)系之間的融合，對低年級小學生的計算學習起到了很好的輔助作用。

二、理解運算順序和運算律

關(guān)于運算能力的表述，其中之一就是“根據(jù)法則與運算律尋求合理簡潔的運算途徑”，說明運算順序和運算律的理解與運用是運算能力的重要體現(xiàn)。在教學中，理解運算順序和運算律既是教學的重難點，也是學生做題的易錯點。

在浙江某市2017年小學四年級數(shù)學質(zhì)量監(jiān)測中，涉及到須要靈活應用法則與運算律進行計算的題目相對得分率都較低：25×8÷25×8（得分率78.7%），23.76-5.65-3.76-4.35（得分率77.3%），1200÷25×4（得分率54.3%），遠低于整體計算得分率（86.5%）。

運算順序和運算律的學習要在理解的基礎上進行。如果只是記憶規(guī)定，遇到較復雜的混合運算題目時，將會束手無策。如146+87-46和146+54-87，前者先算146-46較簡便，后者先算146+54較簡便;146-87-46和146-54-46，前者先算146-46較簡便，后者先算54+46較簡便;146-（87+46）和146-（54+46），前者去括號后先算146-46較簡便，后者不需要去括號，先算54+46較簡便。雖然題目的運算符號相同，數(shù)字相近，但是運算過程卻不盡相同，需要學生具有較高的運算能力——合理簡潔運算的意識和能力。

數(shù)軸在幫助學生理解加減混合運算的運算順序和運算律上具有很好的作用。如果用實心的線段表示“加”，空心的線段表示“減”，結(jié)合數(shù)軸，學生很容易就能看出最優(yōu)的運算策略。以146+87-46和146+54-87兩題的對比為例（見圖3）：

數(shù)軸使得運算的思維過程變得形象可見，降低了思維難度，促進了學生對運算順序和運算律應用的理解。

三、滲透代數(shù)思維

代數(shù)思維是數(shù)學的核心思想，在現(xiàn)代數(shù)學教育中具有重要的地位。數(shù)學教學要從一年級開始就滲透代數(shù)思維，幫助學生不斷感受、體驗、理解代數(shù)思維，逐步實現(xiàn)從算術(shù)思維到代數(shù)思維的轉(zhuǎn)變。

如1+（? ）=7-（? ），要求在括號里填上合適的數(shù)，使等式兩邊相等。對一年級小朋友來說，這是一種較為復雜的數(shù)量結(jié)構(gòu)，需要學生深入思考算式整體之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)答案之間的規(guī)律。如果沒有直觀輔助手段，學生一般只會一個數(shù)字一個數(shù)字地試過去，難以從整體上把握等式兩邊括號內(nèi)數(shù)字和已知數(shù)字之間存在的關(guān)系。教學中可以引進數(shù)軸，幫助學生從數(shù)軸上發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的相等關(guān)系，變過程性的計算為結(jié)構(gòu)性的關(guān)系，滲透代數(shù)思維。

數(shù)軸能在滲透代數(shù)思維中發(fā)揮關(guān)鍵作用。先讓學生在數(shù)軸上找到“1”和“7”并進行標記，接著根據(jù)運算意義標出箭頭——加法向右畫箭頭，減法向左畫箭頭，箭頭交匯處就表示等號兩邊的值相等。在動態(tài)演示中變換箭頭的交匯處，形成圖4，讓學生通過觀察發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，知道數(shù)據(jù)的變化只會影響等號兩邊的值，這個值會隨著數(shù)據(jù)的變化而變化，但是兩邊的值卻會始終存在相等關(guān)系，從而體會到等式結(jié)構(gòu)不變的原因。

這種關(guān)系的得出把數(shù)的運算提升到式的理解，對學生代數(shù)思維的形成具有重要意義。圖4就是小學數(shù)學的典型問題——“用移多補少法求平均數(shù)”“從上層拿幾本書到下層，上、下層的書就同樣多”等題目的結(jié)構(gòu)模型。通過類似的滲透，對學生后續(xù)學習相關(guān)問題能起到很好的促進作用。

同樣的，對式子的大小比較，如2+3○2+4，7-2○7-5，6-1○3-1（在○里填>、<或=），應用數(shù)軸也能起到好的教學效果。很多教師面對此類題目時喜歡讓學生先計算，把計算結(jié)果寫在式子下面，再比較大小。這樣的方法具有通用性，能提升解答的正確率，但學生在此學習到的僅是計算技能，不能體會到式子之間的關(guān)系。結(jié)合數(shù)軸（見圖5）解釋算式，能使教學發(fā)生質(zhì)的變化。

數(shù)軸的演示使學生明白：一個加數(shù)相同，另一個加數(shù)越大，算式的結(jié)果越大（見圖5-1）;被減數(shù)相同，減去的數(shù)越大，算式的結(jié)果越?。ㄒ妶D5-2）;減數(shù)相同，被減數(shù)越大，算式的結(jié)果越大（見圖5-3）。數(shù)軸幫助學生辯證認識算式之間的關(guān)系，形成動態(tài)變化的數(shù)學觀。

探究數(shù)軸在運算能力培養(yǎng)中的作用，把數(shù)軸和計算教學相結(jié)合，符合兒童的認知規(guī)律，使運算變得直觀形象、便于理解，幫助學生更好地理解運算意義、理解運算法則和運算律、培養(yǎng)初步的代數(shù)思維。從教學的意義來說，對數(shù)軸的探索和研究，是為了更好地把握知識的本質(zhì)，使教學沿著正確的軌道前行，培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)，讓學習真正發(fā)生。

參考文獻

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[責任編輯：陳國慶]