行走人群-結(jié)構(gòu)相互作用模型研究

高延安, 楊慶山

(北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)風(fēng)工程與城市風(fēng)環(huán)境北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100044)

行走人群-結(jié)構(gòu)相互作用模型研究

高延安, 楊慶山

(北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院 結(jié)構(gòu)風(fēng)工程與城市風(fēng)環(huán)境北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100044)

人群中每個(gè)行人簡(jiǎn)化為一個(gè)集中質(zhì)量和兩個(gè)彈簧阻尼器腿的模型，利用拉格拉日方程建立了多人行走狀態(tài)下的人群-結(jié)構(gòu)相互作用模型。首先利用該模型研究了人群引起結(jié)構(gòu)的響應(yīng)和人群-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的模態(tài)特性改變，然后分析了結(jié)構(gòu)響應(yīng)和系統(tǒng)模態(tài)隨著人群數(shù)量的變化而改變，最后比較了在隊(duì)列和并排兩種不同行走狀態(tài)下人群結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的響應(yīng)和模態(tài)特性的變化。數(shù)值分析表明結(jié)構(gòu)的響應(yīng)和模態(tài)特性隨著人群數(shù)目增加而變化增大，然而行人在結(jié)構(gòu)上分布較為均勻的縱向行走方式能夠有效降低結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，為減輕結(jié)構(gòu)的劇烈波動(dòng)，在人行橋設(shè)計(jì)時(shí)建議采用窄的截面寬度或者在橋面上設(shè)置縱向疏導(dǎo)設(shè)施以避免人流集中對(duì)結(jié)構(gòu)的不利影響。

數(shù)值模擬；人群-結(jié)構(gòu)相互作用；模態(tài)特征；結(jié)構(gòu)響應(yīng)；人群行走方式

隨著材料科學(xué)的發(fā)展和人們生活質(zhì)量的提高，在滿足規(guī)范的條件下設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)質(zhì)量越來(lái)越輕，跨度越來(lái)越大，其導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的頻率和阻尼耗能能力降低[1]。BACHMANN等[2]研究表明隨著結(jié)構(gòu)跨度的增加，自身的阻尼和頻率會(huì)急劇下降。承受人群活動(dòng)的低阻尼和頻率結(jié)構(gòu)往往容易發(fā)生共振引起結(jié)構(gòu)的劇烈波動(dòng)。據(jù)不完全資料統(tǒng)計(jì)，20世紀(jì)由人類活動(dòng)引起的橋梁垮塌事故達(dá)40多起。在2000-06-10，倫敦千禧橋[3]開(kāi)放當(dāng)天由于行人經(jīng)過(guò)該橋梁時(shí)引起結(jié)構(gòu)的劇烈側(cè)向振動(dòng)而被迫關(guān)閉，該起事故后來(lái)引起了全世界1 000多家的媒體廣泛關(guān)注和報(bào)道。為理解人與結(jié)構(gòu)的相互作用，許多學(xué)者做了大量的研究工作。HAUKSSON[4]分別使用多自由度和單自由度模型分析了倫敦千禧橋的動(dòng)力性能。NIKKHOO等[5]研究了簡(jiǎn)支梁在承受移動(dòng)質(zhì)量塊作用下的動(dòng)力響應(yīng)和結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制的方法。ZHOU等[6]用分布的彈簧質(zhì)量塊模擬人群研究了人群與結(jié)構(gòu)的相互作用。簡(jiǎn)方梁等[7]考慮有序排列人群荷載、BS5400荷載和隨機(jī)人群荷載三種模式下的人致振動(dòng)響應(yīng)，研究表明步頻對(duì)結(jié)構(gòu)的加速度影響最大。陳建英等[8]用單質(zhì)量-彈簧-阻尼器作為人的模型，研究了5個(gè)人分布于簡(jiǎn)支梁上的結(jié)構(gòu)與人相互作用，其數(shù)值模擬表明人會(huì)顯著降低結(jié)構(gòu)的第1階模態(tài)頻率和增大對(duì)應(yīng)阻尼比。王海等[9]用一個(gè)具有分布質(zhì)量、阻尼和剛度的動(dòng)力學(xué)模型模擬附著于梁上的人體，其研究表明人能夠顯著影響結(jié)構(gòu)的頻率和阻尼比，人位于梁中跨時(shí)對(duì)結(jié)構(gòu)的阻尼比和頻率影響最大，其也研究了人群數(shù)量的增長(zhǎng)對(duì)梁的動(dòng)力特性影響。QIN等[10]用質(zhì)量-阻尼-彈簧雙腿動(dòng)力學(xué)模型模擬行人，研究了簡(jiǎn)支梁與行走行人的相互作用。宋志剛等[11]從社會(huì)力模型角度和人橋相互作用的機(jī)理出發(fā)探索了人橋相互作用的動(dòng)力放大系數(shù)，該法考慮了負(fù)阻尼的影響且與時(shí)程分析結(jié)果基本一致。目前多數(shù)研究集中在不考慮人的移動(dòng)下的人群-結(jié)構(gòu)模型或者單人-結(jié)構(gòu)模型，鮮有學(xué)者研究多人行走下的人群-結(jié)構(gòu)相互作用。

采用一個(gè)集中質(zhì)量和考慮兩條無(wú)質(zhì)量的彈簧-阻尼腿模擬行人，多個(gè)具有該模型組成的人群通過(guò)簡(jiǎn)支梁的行走人群-結(jié)構(gòu)相互作用作為研究對(duì)象，考慮實(shí)際情況中行人的水平位移和速度不依賴于動(dòng)力方程，利用拉格拉日方程建立行走人群-結(jié)構(gòu)相互作用的動(dòng)力方程，數(shù)值分析了行走人群下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)以及對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)特性的影響。動(dòng)力方程物理符號(hào)見(jiàn)表1。

表1 動(dòng)力方程物理符號(hào)

1 行走人群結(jié)構(gòu)相互作用模型

通過(guò)用一個(gè)質(zhì)量和兩個(gè)具有彈簧阻尼器組成的腿模型建立單人行走下的行人-結(jié)構(gòu)模型，他們的數(shù)值研究表明該行人模型能夠很好的模擬行人-結(jié)構(gòu)相互作用。本文首先利用上述行人模型建立了多人行走下的人群-結(jié)構(gòu)模型，根據(jù)實(shí)際行走中行人的行走速度不依賴于動(dòng)力方程，故文中模型的行人水平自由度考慮為已知量，其不僅更加符合實(shí)際情況而且降低了方程的自由度。人群-結(jié)構(gòu)模型如圖1所示，假設(shè)有χ個(gè)人行走于一個(gè)簡(jiǎn)支的Euler-Bernoulli梁上，從中任意挑選出第(q)個(gè)人(如圖1下部的局部放大圖所示)，該行人簡(jiǎn)化為一個(gè)集中質(zhì)量加兩個(gè)彈簧-阻尼器模型。該行人的集中質(zhì)量用m(q)表示，行人腿的模態(tài)特性用附著于腿上的彈簧和阻尼器模擬。設(shè)定梁左端為行人-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的坐標(biāo)原點(diǎn)，水平右方向?yàn)閤軸向，向上豎直方向?yàn)閥軸方向。假定行人在行走過(guò)程中兩條中至少有一條腿始終與梁接觸，每個(gè)行人行走的水平位移和水平速度時(shí)程是已知的，行人只與結(jié)構(gòu)發(fā)生相互作用，行人之間相互獨(dú)立互不影響。

圖1 行走人群-結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模型

人行橋用一個(gè)等截面簡(jiǎn)支的Euler-Bernoulli梁模擬，根據(jù)Lagrange方程，可以獲得如下行走人群-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能

(1a)

(1b)

(2)

式中:{φi(x),i=1,2,…}為滿足結(jié)構(gòu)邊界條件的梁振型函數(shù);{Yi(t),i=1,2,…}為滿足初始條件的結(jié)構(gòu)廣義位移;行人的前腿和后腿長(zhǎng)度分別可以表達(dá)為

(3a)

(3b)

(4)

(5a)

(5b)

前后腿的軸向虛位移可以表示為：

(6a)

將式(5)帶代入式(4), 系統(tǒng)虛功可以表達(dá)為

(7)

利用Lagrange方程，可得到系統(tǒng)能量與系統(tǒng)廣義力之間的關(guān)系式如下

(8)

將式(1)代入式(8)后利用式(4)以及式(8)的變量對(duì)應(yīng)關(guān)系，最終可以獲得行走人群-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力方程如下：

(9)

(10a)

(10b)

(10c)

(10d)

(10-e)

式中的系數(shù)如下所示：

Φi,j(N(q))=φi(N(q))φj(N(q))(i,j=1,2,…,n)

(i=1,2,…,n;q=1,2,…,χ)(q=1,2,…,χ)

2 人群-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的模態(tài)分析

由于所建立的人群-結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程中的阻尼和剛度矩陣是隨時(shí)間變化的，行人腿的阻尼比結(jié)構(gòu)本身阻尼要高很多，系統(tǒng)方程中行人和結(jié)構(gòu)形成的新阻尼為非比例阻尼，系統(tǒng)的模態(tài)特性不能再采用RAYLEIGH阻尼，采用狀態(tài)空間法[14]進(jìn)行瞬時(shí)模態(tài)分析。定義狀態(tài)空間矩陣和向量如下

(11a)

狀態(tài)空間中，系統(tǒng)動(dòng)力方程(9)可以變?yōu)?/p>

(11b)

利用對(duì)矩陣A的特征值求解，可以獲得系統(tǒng)的模態(tài)特性如下所示

A{φ}i=λi{φ}i

(11c)

式中:λi和 {φ}i分別為矩陣A第i階的特征值和特征向量，系統(tǒng)的第i階頻率fi和阻尼比ξi可以獲得如下式所示

(11d)

顯然，根據(jù)式(10b)和式(10c)可知，系統(tǒng)的阻尼和剛度矩陣是時(shí)變的，故可以求得系統(tǒng)的阻尼和頻率時(shí)程曲線。

3 數(shù)值模擬

3.1 人群-結(jié)構(gòu)相互作用分析

表2 空梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率和阻尼比

(a) 人群-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的頻率變化曲線

(b) 人群-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)阻尼比變化曲線

從圖2可知，隨著人群從梁端向一端行走時(shí)，系統(tǒng)的頻率先減小后增大，而系統(tǒng)的阻尼比卻呈現(xiàn)出相反的趨勢(shì)，當(dāng)人群走到梁中跨位置時(shí)，系統(tǒng)的頻率達(dá)到最小，而阻尼比達(dá)到最大。而在人群全部進(jìn)入結(jié)構(gòu)前后離開(kāi)結(jié)構(gòu)后，梁的頻率恢復(fù)到結(jié)構(gòu)自然頻率，阻尼比同樣恢復(fù)到結(jié)構(gòu)的自然阻尼比?？梢?jiàn)人群作用于結(jié)構(gòu)上時(shí)整個(gè)系統(tǒng)的頻率和阻尼會(huì)隨著行人的位置不同而有所改變。整個(gè)系統(tǒng)柔性變大，而阻尼耗能能力有所增加，數(shù)值分析表明人群位于結(jié)構(gòu)中跨時(shí)能夠顯著提高系統(tǒng)的阻尼耗能能力，然后帶來(lái)不利的影響是使系統(tǒng)變得柔性增大，易于引起共振。該結(jié)論與文獻(xiàn)[9-10]的研究一致，受人群作用下結(jié)構(gòu)在中跨的撓度、速度和加速度時(shí)程曲線分別見(jiàn)圖3、圖4和圖5。從上述三幅的結(jié)構(gòu)響應(yīng)圖可以看出，人群位于跨中時(shí)結(jié)構(gòu)的位移、速度和加速度響應(yīng)都達(dá)到最大。圖6中結(jié)構(gòu)的加速度反應(yīng)譜顯示前兩個(gè)峰值的頻率分別為2.734 Hz和4.297 Hz，其低于結(jié)構(gòu)的第一階自振頻率4.50 Hz。

圖3 結(jié)構(gòu)中跨的位移-時(shí)程曲線

圖4 結(jié)構(gòu)中跨的速度-時(shí)程曲線

圖5 結(jié)構(gòu)中跨的加速度-時(shí)程曲線

圖6 加速度的功率譜密度

3.2 考慮不同行走狀態(tài)下的數(shù)值模擬

為了進(jìn)一步研究人群數(shù)量和人群行走狀態(tài)對(duì)系統(tǒng)的模態(tài)特性的影響，選擇了5～21個(gè)人之間人群數(shù)量為研究對(duì)象，分別以5人增幅為一組和2人增幅為一組進(jìn)行了人群組合，行人參數(shù)與結(jié)構(gòu)參數(shù)與上述算例相同；然后分別按照隊(duì)列行走(行人位于梁的縱向軸線上)和并排行走(行人位于梁的橫向軸線上)的兩種方式對(duì)人群-結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性和跨中加速度響應(yīng)進(jìn)行比較研究。為了突出研究整個(gè)人群-結(jié)構(gòu)之間的相互作用，隊(duì)列行走時(shí)初始時(shí)刻的行人從梁的左端向右以0.5 m的間隔站立，整體人群在開(kāi)始時(shí)都位于梁外。并排行走時(shí)，整個(gè)人群“一”字形站立于梁左端開(kāi)始向右行走(見(jiàn)圖7～圖8)。

圖7 行人的地面反應(yīng)力

圖8 行人質(zhì)心豎向反應(yīng)

3.2.1 隊(duì)列行走

以5人增幅為一組的系統(tǒng)模態(tài)隨時(shí)間變化如圖9所示。人群在隊(duì)列行走狀態(tài)下，系統(tǒng)的頻率隨著人群數(shù)量的增長(zhǎng)而減小，阻尼隨著人群數(shù)量的增大而增大，但是隨著人群以相等數(shù)目增加時(shí)，系統(tǒng)的頻率和阻尼的變化幅值卻逐漸出現(xiàn)平緩的趨勢(shì)。系統(tǒng)的頻率和阻尼的改變都表現(xiàn)出在人群大概位于梁的中跨時(shí)，二者的變化都最大。人群引起結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)的均方根值隨時(shí)間的變化如圖10所示，圖10中以每2 s為時(shí)長(zhǎng)計(jì)算。由圖10可知，隨著人群數(shù)目的改變，加速度響應(yīng)與結(jié)構(gòu)模態(tài)特性表現(xiàn)出較一致的規(guī)律，行人大概位于跨中位置時(shí)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)最大。

(a) 隊(duì)列行走狀態(tài)下系統(tǒng)的頻率變化

(b) 隊(duì)列行走狀態(tài)下系統(tǒng)的阻尼比變化

圖10 加速度響應(yīng)的均方根值

3.2.2 并排行走

由數(shù)值模擬結(jié)果的圖11可知，人群在并排行走狀態(tài)下，系統(tǒng)的頻率隨著人群數(shù)量的增長(zhǎng)而減小，阻尼隨著人群數(shù)量的增大而增大，隨著人群以相等數(shù)目的增加，系統(tǒng)的頻率和阻尼的變化幅值并沒(méi)有表現(xiàn)出平緩的趨勢(shì)，而是呈現(xiàn)出等比例趨勢(shì)的變化，系統(tǒng)的頻率和阻尼的改變都表現(xiàn)出在人群大概位于梁的跨中位置時(shí)，二者的變化都最大。從圖12給出結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)的均方根值可知，人群接近跨中位置時(shí)，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)最大，同樣隨著人群相等數(shù)量的增加，加速度峰值呈現(xiàn)出近似于等幅值的增加。

3.2.3 兩種行走方式比較

為進(jìn)一步研究行人的不同行走分布方式引起人群-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)模態(tài)和加速度響應(yīng)的變化，將行人以5個(gè)人為起始組，以每2個(gè)人增量為一組共9組人群的不同行走方式研究了結(jié)構(gòu)行為的變化。然后以系統(tǒng)的模態(tài)頻率和阻尼比峰值以及加速度最大值為對(duì)象進(jìn)行了比較分析。從圖13可以看出隨著人群數(shù)量的增加，并排分布的行走方式引起系統(tǒng)的頻率下降幅值比隊(duì)列分布方式更大。相應(yīng)對(duì)于圖14中不同行走方式引起人群-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的阻尼比的變化可以看出等人數(shù)條件下并排行走方式引起系統(tǒng)的阻尼比增加幅值更大。圖15結(jié)構(gòu)跨中的加速度峰值顯示隨著人群數(shù)量的增加，隊(duì)列行走方式能有效減輕結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。

(a) 并排行走狀態(tài)下系統(tǒng)的頻率變化

(b) 并排行走狀態(tài)下系統(tǒng)的阻尼變化

圖12 加速度響應(yīng)的均方根值

圖13 不同行走方式下系統(tǒng)的最小頻率值

由此可以見(jiàn)，人行橋的寬度變窄時(shí)，人群趨于列隊(duì)的方式行走能夠減小人群對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力性能的影響和降低波動(dòng)峰值；而當(dāng)人行橋的寬度足足夠大，多個(gè)人集中并排行走時(shí)能夠增大人群對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力性能的影響同樣也更易于增強(qiáng)結(jié)構(gòu)的波動(dòng)峰值，可見(jiàn)在人行橋設(shè)計(jì)時(shí)為避免過(guò)度振動(dòng)，應(yīng)考慮減小入口寬度或者減小橋板截面的寬度。

圖14 不同行走方式下系統(tǒng)的最大阻尼比

圖15 不同行走方式下結(jié)構(gòu)跨中的加速度峰值

4 結(jié) 論

本文采用一個(gè)集中質(zhì)量和具有剛度和阻尼器形成的兩條腿模擬人體的動(dòng)力模型施加于梁上，考慮行人的水平速度為已知條件下建立行走人群-結(jié)構(gòu)相互作用的動(dòng)力學(xué)模型，分析了行走人群-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力特征，根據(jù)數(shù)值模擬可以得到以下結(jié)論：

(1) 研究人對(duì)結(jié)構(gòu)的影響，將人作為具有質(zhì)量、阻尼和彈簧的動(dòng)力雙腿模型作用于結(jié)構(gòu)上是合理的。文中利用Lagrange方程建立了5個(gè)人從梁的左端行走到右端的相互作用動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)數(shù)值模擬與已有文獻(xiàn)的對(duì)比，模擬結(jié)果是合理的。

(2)數(shù)值分析表明行走人群下會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性有顯著改變，主要表現(xiàn)在人群-結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的阻尼比增大，頻率減小，相對(duì)而言阻尼比變化幅值更明顯。

(3)通過(guò)不同人群數(shù)量在兩種行走狀態(tài)下對(duì)人群-結(jié)構(gòu)模態(tài)特性的影響分析表明，相比而言人群按照縱向排開(kāi)的行走方式比橫向排開(kāi)的行走方式能夠有效降低對(duì)結(jié)構(gòu)模態(tài)特性的影響和減小結(jié)構(gòu)振動(dòng)幅值，故在人行橋設(shè)計(jì)時(shí)建議在滿足使用要求的條件下減小橋板的橫向?qū)挾然蛘咴跇虬迳显O(shè)置縱向疏導(dǎo)設(shè)施。

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A walking crowd-structure interaction model

GAO Yanan, YANG Qingshan

(Beijing Municipal Key Laboratory of Structural Wind Engineering and Urban Wind Environment, School of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China)

Each pedestrian was simplified as a lump mass and two spring-damper legs and a walking crowd-structure interaction (CSI) model was established using Lagrange’s equations. First of all, the structural responses and dynamic characteristics of the crowd-structure system were studied. Secondly, the structural responses and the modal changes versus the number of people were analyzed. Finally, under two different walking styles including queue and side by side, different structural responses were compared. The simulation analysis showed that the changes of the structural response and modal features of the crow-structure system increase with increase in number of people; however, the walking style of queue with a more uniform crowd distribution can effectively reduce dynamic responses of the structure; in order to avoid resonance or excessive fluctuation, a narrow cross-section and longitudinal dredging facilities on a bridge deck are recommended for footbridge designs.

numerical simulation; crowd-structure interaction; modal characteristics; structural response; walking styles of crowd

國(guó)家自然科學(xué)基金重大研究計(jì)劃重點(diǎn)支持項(xiàng)目(51338001)

2015-04-23 修改稿收到日期：2015-11-30

高延安 男，博士生，1986年生

楊慶山 男，博士,教授，1968年生

TU311.3; O 313