環(huán)R+uR+vR+uvR 上線性碼的MacWilliams 恒等式

王艷萍，王喜喜，王 艷

自Shannon［1］初次提出了編碼知識與信息論之后，廣大學(xué)者便在此方向上進(jìn)行了大量的研究.在文獻(xiàn)［2-5］中，學(xué)者研究了在Z4、Zk、Galois 環(huán)上的一些重量計數(shù)器所對應(yīng)的MacWilliams 恒等式；文獻(xiàn)［6-9］討論了Mac-Williams 恒等式，不同環(huán)上的重量分布.

本文給出了環(huán)R+uR+vR+uvR(u2=u,v2=v,uv=vu) 的定義，討論了在此環(huán)上碼的不同重量計數(shù)器，最后探究了環(huán)上線性碼和它們的對偶碼各種分布所對應(yīng)的MacWilliams恒等式.此研究可為糾錯碼理論提供豐富的理論依據(jù).

1 準(zhǔn)備知識

記 ?=R+uR+vR+uvR={a+ub+vc+uvd|a,b,c,d∈R} ，此時u2=u,v2=v,uv=vu.令的特征p是奇數(shù).環(huán)R以＜λ＞為極大理想，且是有限鏈環(huán)，則知? 不是有限鏈環(huán).設(shè)α1=1-u-v+uv,α2=uv,α3=u-uv,α4=v-uv，則 有(i≠j)，進(jìn)而得? ?α1R⊕α2R⊕α3R⊕α4R，所以對?r∈? ，可 唯 一 寫 成r=α1x+α2y+α3z+

設(shè)?X,Y∈?n，X=(x0,x1,…,xn-1) ，Y=(y0,y1, …,yn-1) ，其 內(nèi) 積 為X?Y=x0y0+x1y1+…+xn-1yn-1.如果X?Y=0 ，則X,Y正交.線性碼C是環(huán)?n上的，則C的對偶碼C⊥={x|x?y=0,?y∈C} ，如果C=C⊥，則C是自對偶碼.

定 義C1={x∈Rn|?y,z,t∈Rn,α1x+α2y+α3z+α4t∈C} ，C2={y∈Rn|?x,z,t∈Rn,α1x+α2y+α3z+α4t∈C} ，C3={z∈Rn|?x,y,t∈Rn,α1x+α2y+α3z+α4t∈C} ，C4={t∈Rn|?x,y,z∈Rn,α1x+α2y+α3z+α4t∈C} ，則Ci(i=1,2,3,4)是R 上長n的線性碼；C=α1C1+α2C2+α3C3+α4C4，此表示唯一.

定義φ:? →R4，有φ(r)=(x,y,z,t) ，且有wL(r)=wH(x,y,z,t). 將 其 擴(kuò) 展 為 Φ ：?n→R4n，?c=(c0,c1,…,cn-1)∈?n,ci=α1xi+α2yi+α3zi+α4ti，有Φ(c)=(x0,x1,…,xn-1,y0,y1,…,yn-1,z0,z1,…,zn-1,t0,t1,…,tn-1)∈R4n，

注1：①記wi(c) 為c中wL(c)=i(0 ≤i≤4)的元素成分個數(shù).②?x,y∈?n，記dL(x,y)=wL(x-y)，從而推出Φ 為同構(gòu)映射，且保距.

引理1［10］環(huán)? 上的線性碼C，則有

（1）C⊥為? 上的線性碼；

（2）Φ(C)=C1?C2?C3?C4,|C|=

（3）Φ(C⊥)=Φ(C)⊥=C1⊥?C2⊥?C3⊥?C4⊥,

2 線性碼的MacWilliams 恒等式

C的Lee 重量分布為{B0,B1,…,B4n} ，其中Bi為Lee 重量是i的碼字的個數(shù)，0 ≤i≤4n.C⊥的Lee 重量分布為的Lee 重量計數(shù)器為則有的廣義對稱重量計數(shù)器為重量計 數(shù) 器 為

設(shè)?={g1,g2,…,gq4l}，其中則且中的每一個元素都需按照一定順序排列，并且兩兩不同.?gi∈?n，記I(i)=wL(gi) ，其中記g1=0. ?c=(c0,c1,…,cn-1)∈?n，ni(c)：c中值是gi的元素成分個數(shù)，0 ≤i≤q4l，則有C的完全重量計數(shù)器

定理1C是? 上長為n的線性碼，則（1）LeeC(X,Y)=SweC(X4,X3Y,X2Y2,XY3,Y4)；（2）SweC(X0,X1,X2,X3,X4)=CweC(XI(1),XI(2),…,XI(q4l))；

（3）HamC(X,Y)=SweC(X,Y,Y,Y,Y)；

（4）LeeC(X,Y)=HamΦ(C)(X,Y)；

（5）HamC(X,Y)=CweC(X,Y,…,Y).

注2：定理1可用文獻(xiàn)［10］的方法類似證明.

下 面 引 入 變 量ξ1,ξ2,ξ3,ξ4，滿 足，可唯一表示為是R＜λ＞的一個本原元，則對?c∈?

? 上的復(fù)值映射θc：?c′∈? 有

注 3：① 當(dāng)c=1 時 ，有θ1(c′)=②?c′,c″∈? ，有θ1(c′+c″)=θ1(c′)θ1(c″).③上述擴(kuò)展到?n，有

引 理2［10］?c∈? 和 任 一 非 零 的 理 想I∈? ，有

定理2 對環(huán)? 上的碼C，有

證 明 對?c∈C，有

固定c′∈?n.

（1）如 果c′∈C⊥，則Θc(c′)=θ1(0)=1 ?

（2）如果c′?C⊥，則{c?c′|?c∈C} 是? 的非 零 理 想，則

下面討論廣義對稱重量計數(shù)器所對應(yīng)的MacWilliams 恒等式.

定理3 ?c∈? ，有

（1）如 果g∈D0，則j≤4；

（2）如果g∈D1，則

（3）如果g∈D2，則

（5）如果g∈D4，則

證 明（1）若g∈D0，則g=0 ，所 以

（2）若g∈D1，可 令則-1+3(ql-1)=3ql-4，同理可證其他各式.

（3）若g∈D2，可 令g∈(＜α1＞{0})⊕(＜α2＞{0})，則

同理可證式（4）和式（5）成立.

定理4 環(huán)? 上的碼C，則有SweC(X0,

證明 綜合定理1 和定理2，得到SweC⊥(X0,j≤4，而由定理3 推出如下式子成立.

推論1 對環(huán)? 上的碼C，則HamC⊥(X,Y)=

推論2 對環(huán)? 上的碼C，則LeeC⊥(X,Y)=

例 如：環(huán)F3+uF3+vF3+uvF3上 的 碼C={(0,0),(1,1),(2,2)}，長度為2.

（1）由推論2得LeeC⊥(X,Y)=X8+56X6Y2+336XY7+86Y8，所以C⊥的Lee 重量分布為

56X6Y2+ 112X5Y3+ 420X4Y4+ 560X3Y5+616X2Y6+336XY7+86Y8，則由上述兩種方法均可求出C⊥的Lee 重量分布.