數(shù)學(xué)文化融入大學(xué)數(shù)學(xué)類課程的途徑與方法

宋元鳳，華貞芝

數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，是刻畫自然規(guī)律和社會(huì)規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具.數(shù)學(xué)作為一個(gè)學(xué)科、一種文化，有著悠長(zhǎng)的發(fā)展史，而在這一悠長(zhǎng)的發(fā)展過程中，積累了許許多多前人的智慧和努力、經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)、成果和方法.狹義的數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語言以及它們的形成和發(fā)展.廣義的數(shù)學(xué)文化除上述內(nèi)涵以外，還包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會(huì)的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系，等等［1-2］.國內(nèi)外許多數(shù)學(xué)研究者對(duì)數(shù)學(xué)類課程中融入數(shù)學(xué)文化進(jìn)行了諸多研究并取得了許多成果.南開大學(xué)顧沛教授致力于研究與宣講數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)類課程中的作用并且撰寫了專著《數(shù)學(xué)文化》［3］.徐利治教授與李尚志教授等學(xué)者也研究了數(shù)學(xué)文化，并為數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)類課程提供理論支撐.齊民友教授與鄧東皋教授在他們撰寫的《數(shù)學(xué)與文化》一書中從多種角度論述數(shù)學(xué)作為一種文化對(duì)現(xiàn)代文化的影響和力量.2001 年頒發(fā)的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中特別指出，編寫數(shù)學(xué)教材時(shí)要加入介紹相關(guān)數(shù)學(xué)背景知識(shí)的內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課程中講解數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)要盡量闡述相關(guān)數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)發(fā)展與數(shù)學(xué)應(yīng)用.近些年，許多大學(xué)與中小學(xué)都將數(shù)學(xué)文化融入到數(shù)學(xué)類課堂，通過這種途徑提升學(xué)生們的數(shù)學(xué)素養(yǎng).國外許多數(shù)學(xué)工作者也研究了數(shù)學(xué)文化的意義和作用，以及如何把數(shù)學(xué)文化融入到數(shù)學(xué)類課程中.1989 年，美國在課程與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)中明確了培養(yǎng)學(xué)生的目標(biāo)是把學(xué)生培養(yǎng)成具有良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的工作者；1995 年，英國把培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心編入國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)；1999 年，日本在高中數(shù)學(xué)課程中加入了人類和數(shù)學(xué)之間的活動(dòng)介紹，以及人類在社會(huì)生活中的數(shù)學(xué)觀察和統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容，在學(xué)習(xí)指導(dǎo)綱領(lǐng)中，特別強(qiáng)調(diào)把數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課程的重要性；2000 年，新加坡號(hào)召要培養(yǎng)學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)美的能力，激勵(lì)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心，鼓勵(lì)學(xué)生要有解決問題的毅力.綜上可見，許多國家已把數(shù)學(xué)文化融入到了數(shù)學(xué)教育中.這些國家的教育部門、機(jī)構(gòu)和科研院所都在不斷深入研究把數(shù)學(xué)文化融入到數(shù)學(xué)類課程中，并取得許多成果.

筆者所教授的大學(xué)數(shù)學(xué)類課程中，適當(dāng)?shù)厝谌肓藬?shù)學(xué)文化的內(nèi)容，確實(shí)增加了課堂教學(xué)的趣味性，提高了教學(xué)效果，提升了學(xué)生的人文素養(yǎng).

1 將數(shù)學(xué)文化融入大學(xué)數(shù)學(xué)類課程知識(shí)模塊

數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)悖論、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)的思想、數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的方法是數(shù)學(xué)文化的重要內(nèi)容，適當(dāng)?shù)匕堰@些內(nèi)容引入到數(shù)學(xué)類課程中，會(huì)對(duì)學(xué)生的培養(yǎng)起到積極的作用.

為了改變大學(xué)數(shù)學(xué)類課堂教學(xué)枯燥和缺乏趣味的現(xiàn)狀，提升課堂教學(xué)的趣味性；為了幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)架構(gòu)，改進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)體系；為了對(duì)學(xué)生進(jìn)行行之有效的思想品德教育，培養(yǎng)學(xué)生良好的道德觀念，提升學(xué)生的人文素養(yǎng)，教師可以在大學(xué)數(shù)學(xué)類課程中融入數(shù)學(xué)文化，學(xué)生的理性思維能力將得到很大的提升與改善.學(xué)生通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化接受數(shù)學(xué)思想和方法時(shí)，思維的邏輯性、嚴(yán)謹(jǐn)性和條理性將得到鍛煉，學(xué)生的人格將得到提升.

學(xué)生通過上網(wǎng)查閱與搜集資料，完成教師布置的課下任務(wù).通過學(xué)習(xí)通APP 做任務(wù)、閱讀、討論、交流與書寫研究報(bào)告等活動(dòng)，了解人類社會(huì)發(fā)展的過程和數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程以及它們之間的相互關(guān)系，了解數(shù)學(xué)規(guī)律與數(shù)學(xué)的美，了解數(shù)學(xué)在科學(xué)研究和現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用，教師在講課之前通過講數(shù)學(xué)家的小故事提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，開闊學(xué)生視野.學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)史，了解了數(shù)學(xué)的起始與發(fā)展的歷史軌跡，激發(fā)自身的創(chuàng)新意識(shí)，學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的美學(xué)魅力，培養(yǎng)了體會(huì)和欣賞數(shù)學(xué)美感的能力.在課堂上，教師通過播放生活和科學(xué)視頻，展示圖片與PPT，使學(xué)生學(xué)習(xí)和感悟數(shù)學(xué)的人文價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、科學(xué)價(jià)值.在講解和探討知識(shí)的同時(shí)，講述數(shù)學(xué)的語言、數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、數(shù)學(xué)的思想、數(shù)學(xué)的方法、數(shù)學(xué)的精神，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握，提高其數(shù)學(xué)人文素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生良好人格品質(zhì)的形成，為學(xué)生的發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

1.1 將數(shù)學(xué)史融入大學(xué)數(shù)學(xué)類課程知識(shí)模塊

在大學(xué)數(shù)學(xué)類課程中適當(dāng)融入數(shù)學(xué)史知識(shí)，可以使學(xué)生盡快理解、消化所學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)，能夠適時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行德育教育，提升學(xué)生的人文素養(yǎng).

在講授向量代數(shù)中標(biāo)架與坐標(biāo)時(shí)，由數(shù)學(xué)史引入這節(jié)知識(shí).費(fèi)馬與笛卡爾在幾何中引入了坐標(biāo)系，但他們引入的坐標(biāo)系沒有負(fù)坐標(biāo)，坐標(biāo)系是平面斜坐標(biāo)系.Van Schooten 在兩位數(shù)學(xué)家的基礎(chǔ)上，引入負(fù)的橫、縱坐標(biāo).在費(fèi)馬與笛卡爾的三維空間解析幾何的思想之后，約翰·伯努利最先引入了空間直角坐標(biāo)系.從幾何的二維坐標(biāo)系到三維坐標(biāo)系的引入，大約用了四十多年，可見一個(gè)理論的形成、發(fā)展與完善是需要很多數(shù)學(xué)家持之以恒的探索與研究的.通過這段數(shù)學(xué)史的介紹，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)需要持之以恒，勤動(dòng)腦多思考.在講述這部分知識(shí)時(shí)還可以把坐標(biāo)系的知識(shí)和思想政治教育結(jié)合起來，培養(yǎng)學(xué)生的人文素養(yǎng).

講授極限概念時(shí)，教師可以引入我國數(shù)學(xué)家劉徽提出的“割圓術(shù)”，劉徽描述他的“割圓術(shù)”為“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”［4］.教師可以利用動(dòng)畫演示劉徽的“割圓術(shù)”，動(dòng)畫演示從圓內(nèi)切正六邊形開始，依次添加正十二邊形，正二十四邊形，……，圓的內(nèi)切正多邊形邊數(shù)越多，正多邊形的面積與圓面積的差距就會(huì)越小，把極限過程演示得十分生動(dòng)和具體.通過這種方式幫助學(xué)生了解和認(rèn)識(shí)到我國古代數(shù)學(xué)文化在當(dāng)時(shí)處于世界領(lǐng)先水平，弘揚(yáng)中國數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生產(chǎn)生國家和民族榮譽(yù)感，同時(shí)調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，奮發(fā)圖強(qiáng)，為中國的現(xiàn)代化建設(shè)貢獻(xiàn)自己的力量.

在講授初等數(shù)論課程時(shí)，同余這部分知識(shí)與中國剩余定理是緊密相連的.中國剩余定理又稱為孫子定理，最早出現(xiàn)在公元5 世紀(jì)中國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》里，其內(nèi)容是“有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？即一個(gè)整數(shù)除以三余二，除以五余三，除以七余二，求這個(gè)整數(shù)”［5］.該定理是中國古代求解一次同余式組的方法，是數(shù)論中的一個(gè)重要定理.通過講授中國剩余定理，使學(xué)生了解同余知識(shí)的起源，同時(shí)使學(xué)生了解中國剩余定理是中國古代歷史上最完美和最值得驕傲的數(shù)學(xué)成果之一，它是中國對(duì)世界數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn)，通過講授這些內(nèi)容來增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和民族自豪感.

在講授高等代數(shù)課程的二次型知識(shí)時(shí)，由于這部分內(nèi)容比較抽象且不好理解，可以講授二次型引入的背景和歷史，使學(xué)生知其然，也知其所以然.二次型的研究開始于18 世紀(jì)對(duì)二次曲線與二次曲面的分類問題.高斯引入了二次型的正定、負(fù)定、半正定和半負(fù)定等概念；柯西首先開始研究二次型的分類；西爾維斯特給出了n個(gè)變數(shù)的二次型的慣性定律；雅克比重新發(fā)現(xiàn)和證明了上面的定理；維爾斯特拉斯給出了同時(shí)化兩個(gè)二次型成平方和的方法.

1.2 將數(shù)學(xué)悖論知識(shí)融入大學(xué)數(shù)學(xué)類課程知識(shí)模塊

數(shù)學(xué)悖論是基于人類對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，提出的邏輯矛盾的數(shù)學(xué)結(jié)論.數(shù)學(xué)悖論是數(shù)學(xué)發(fā)展歷史進(jìn)程中出現(xiàn)的一種文化，是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分.課堂教學(xué)中引入數(shù)學(xué)悖論，可以提高數(shù)學(xué)類課程的趣味性，提高學(xué)生的思維能力，激發(fā)學(xué)生探索科學(xué)的興趣.

在一些大學(xué)數(shù)學(xué)類課程的課堂上講授一些和這個(gè)學(xué)科相關(guān)的悖論，可以激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲.禿子悖論內(nèi)容是“若一個(gè)人有X根頭發(fā)，被稱為禿子，則有X+1 根頭發(fā)的人也是禿子，因此(X+1)+1 根頭發(fā)的人還是禿子.以此遞推，會(huì)得到結(jié)論無論你有多少根頭發(fā)你都是禿子”，這個(gè)悖論是模糊數(shù)學(xué)中的經(jīng)典悖論“.飛矢不動(dòng)”悖論是由芝諾提出的，其內(nèi)容是：“由于箭在它的飛行途中任何瞬間都有一個(gè)暫時(shí)的位置，因此它在這個(gè)位置上和靜止沒有什么區(qū)別.”這是數(shù)學(xué)分析課程中關(guān)于連續(xù)性知識(shí)的一個(gè)悖論.羅素悖論是由羅素提出的，其內(nèi)容是：“對(duì)于任意一個(gè)集合A，A要么是自身的元素，即A∈A；A要么不是自身的元素，即A?A”［6］，這是集合論的一個(gè)悖論.而“理發(fā)師悖論”是羅素悖論通俗化的一個(gè)悖論，“理發(fā)師悖論”的內(nèi)容是“一個(gè)理發(fā)師聲稱將給城里所有不給自己理發(fā)的人理發(fā).”根據(jù)理發(fā)師的聲明，他到底是否應(yīng)該給自己理發(fā)呢？根據(jù)這個(gè)悖論，他給不給自己理發(fā)都是不對(duì)的，因此這是一個(gè)悖論.通過講述悖論可以挖掘?qū)W生的探索欲和求知欲，引導(dǎo)學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S.

1.3 將數(shù)學(xué)美融入大學(xué)數(shù)學(xué)類課程知識(shí)模塊

數(shù)學(xué)美體現(xiàn)在許多方面，比如公式的簡(jiǎn)潔美，圖形的對(duì)稱美和圖形美，數(shù)學(xué)的語言美等.大學(xué)數(shù)學(xué)教師在講授數(shù)學(xué)類課程時(shí)應(yīng)該考慮把數(shù)學(xué)美的教育融入到課程中，使學(xué)生感悟和欣賞數(shù)學(xué)之美，同時(shí)能夠培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造美的能力.

在講授解析幾何的單葉雙曲面知識(shí)時(shí)，先介紹單葉雙曲面的對(duì)稱性，即單葉雙曲面關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)、三個(gè)坐標(biāo)面、三個(gè)坐標(biāo)軸對(duì)稱.然后通過單葉雙曲面在建筑物、工業(yè)中和生活中的應(yīng)用，例如廣州電視塔（圖1）、上海世博會(huì)的太陽谷（圖2）、日本的神戶塔（圖3）、花瓶等了解單葉雙曲面是對(duì)稱的、優(yōu)美的、有用的，從而促使學(xué)生認(rèn)識(shí)到單葉雙曲面的知識(shí)是有應(yīng)用價(jià)值的，也使學(xué)生從中體會(huì)到數(shù)學(xué)的美感.

圖1 廣州電視塔

圖2 上海世博會(huì)的太陽谷

圖3 日本的神戶塔

在講授高等代數(shù)的線性空間知識(shí)時(shí)，數(shù)域p上線性空間V有一個(gè)關(guān)于線性空間的維數(shù)定理.

定理1 如果V1,V2是線性空間V的兩個(gè)子空間，那么

維（V1）+維（V2）=維（V1+V2）+維（V1?V2）.

在講述線性方程組知識(shí)時(shí)，把線性方程組

寫成矩陣的形式AX=B，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美.

通過前面的兩個(gè)例子可以看到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，這樣的結(jié)論在大學(xué)數(shù)學(xué)類課程中比比皆是，在講授這類知識(shí)時(shí)，教師可以有意識(shí)地傳播這些思想，使得學(xué)生感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，并能夠欣賞和領(lǐng)悟這種美.

1.4 將數(shù)學(xué)的思想、精神、方法融入大學(xué)數(shù)學(xué)類課程知識(shí)模塊

數(shù)學(xué)的思想包括歸納思想、極限思想、代換思想等，數(shù)學(xué)精神包括探究精神、質(zhì)疑精神等，數(shù)學(xué)方法包括嘗試方法、類比方法、代換方法、歸納方法等.數(shù)學(xué)的思想、精神、方法是數(shù)學(xué)文化必要的組成部分，教師在講授數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，更應(yīng)該注重傳授數(shù)學(xué)的思想、精神、方法，鍛煉學(xué)生的思維和解決問題的能力.

在講授概率論課程的知識(shí)時(shí)，可以引進(jìn)一些機(jī)會(huì)游戲的計(jì)算、抽彩中獎(jiǎng)問題的研究、人身保險(xiǎn)問題的研究，闡述概率論的應(yīng)用，引入所學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)精神，改善學(xué)生的數(shù)學(xué)方法.

在講授解析幾何課程二次曲面的知識(shí)時(shí)，可利用平行截割法根據(jù)整體觀察截痕的變化規(guī)律來了解和認(rèn)識(shí)單葉雙曲面的形狀.研究和認(rèn)識(shí)二次曲面形狀的基本辦法是平行截割法.為了弄清楚曲面的大致形狀，進(jìn)而推出它的性質(zhì)，通常把曲面作為點(diǎn)的軌跡來研究，而分析一組平行平面去截割圖形會(huì)得到一組平面截痕，通過一組平面截痕的變化規(guī)律來研究圖形整體形狀，即部分的變化規(guī)律來研究圖形整體形狀，從這個(gè)方法我們可以體會(huì)出由部分到整體、由特殊到一般的認(rèn)識(shí)事物的辦法.通過這部分知識(shí)的講解，使學(xué)生認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)的思想和數(shù)學(xué)的方法.

2 結(jié)論

將數(shù)學(xué)文化融入大學(xué)數(shù)學(xué)類課程中有許多途徑和辦法，這些辦法增加了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使學(xué)生能夠更好地掌握學(xué)科知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生體會(huì)和欣賞數(shù)學(xué)美感的能力，促進(jìn)學(xué)生良好人格品質(zhì)的形成.作為高校數(shù)學(xué)教師，平時(shí)應(yīng)該多關(guān)注數(shù)學(xué)文化方面的內(nèi)容，有數(shù)學(xué)文化意識(shí)，要不斷積累數(shù)學(xué)文化的相關(guān)知識(shí)，并將其應(yīng)用在教學(xué)實(shí)踐中.