MGF模型和SVM回歸法在甘河加格達(dá)奇站年最大流量長(zhǎng)期預(yù)報(bào)中的應(yīng)用

劉文斌 于成剛

(1.黑龍江省水文水資源中心，黑龍江 哈爾濱 150001；2.大興安嶺水文水資源中心，黑龍江 加格達(dá)奇 165000)

分析預(yù)測(cè)年最大流量的主要意義在于定量描述預(yù)測(cè)年份的洪水量級(jí)，為防洪決策提供支撐，但年最大流量的變化受江河前期底水，預(yù)見(jiàn)期內(nèi)降水、蒸發(fā)、氣溫，水利工程、人類(lèi)活動(dòng)等諸多因素影響，具有很大不確定性。常用的時(shí)間系列分析技術(shù)和預(yù)測(cè)方法(如：多元線性回歸)，對(duì)系列數(shù)據(jù)的極值和趨勢(shì)預(yù)測(cè)，不能體現(xiàn)年最大流量因受大氣環(huán)流變化而具有的與預(yù)報(bào)因子之間的非線性關(guān)系，存在精度不高的問(wèn)題。現(xiàn)有的時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型中，自回歸(AR)、自回歸滑動(dòng)(ARMA)和門(mén)限自回歸(TAR)模型在進(jìn)行多步預(yù)測(cè)時(shí)，預(yù)測(cè)值會(huì)趨于平均值，對(duì)極值的擬合效果欠佳。指數(shù)平滑模型和灰色模型等進(jìn)行多步預(yù)測(cè)時(shí)，表示的是一種指數(shù)增長(zhǎng)，不適用于預(yù)測(cè)起伏變化大的年最大流量。

針對(duì)時(shí)間系列預(yù)測(cè)模型對(duì)于轉(zhuǎn)折性變化預(yù)測(cè)能力較差的問(wèn)題，依據(jù)氣候時(shí)間序列蘊(yùn)涵不同時(shí)間尺度振蕩的特征，魏鳳英[1]拓展了數(shù)理統(tǒng)計(jì)中算術(shù)平均值的概念，定義了時(shí)間序列的均生函數(shù)，提出了視均生函數(shù)為原序列生成的、體現(xiàn)各種長(zhǎng)度周期性的基函數(shù)的新構(gòu)思。均生函數(shù)預(yù)測(cè)模型既可以作多步預(yù)測(cè)，又可較好地預(yù)測(cè)極值，為長(zhǎng)期預(yù)報(bào)和短期氣候預(yù)測(cè)開(kāi)辟了一條新途徑[3]。采用均生函數(shù)作多步預(yù)測(cè)，可以改善其他時(shí)間序列模型的不足，改善對(duì)序列極值的擬合與預(yù)測(cè)效果。

支持向量機(jī)(Support Vector Machines，SVM)以統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)，能較好地解決小樣本、非線性、高維數(shù)和局部極小點(diǎn)等問(wèn)題，是一種新穎有效的處理非線性分類(lèi)和回歸的方法。本文即以均生函數(shù)構(gòu)成的周期性函數(shù)，結(jié)合支持向量機(jī)方法建立了甘河的加格達(dá)奇站年最大流量預(yù)測(cè)模型，有機(jī)地結(jié)合兩種方法的優(yōu)點(diǎn)，克服了傳統(tǒng)時(shí)間系列預(yù)測(cè)方法對(duì)極值模擬精度較低和長(zhǎng)期預(yù)測(cè)中存在的趨勢(shì)性預(yù)測(cè)的問(wèn)題。在加格達(dá)奇站年最大流量預(yù)測(cè)的應(yīng)用結(jié)果顯示，本文建立的模型預(yù)測(cè)結(jié)果既實(shí)現(xiàn)了數(shù)量和趨勢(shì)同步預(yù)測(cè)，也實(shí)現(xiàn)了該年最大流量系列非線性變化的預(yù)測(cè)，大大提高了預(yù)報(bào)精度。

1 研究資料和方法

1.1 資料

甘河發(fā)源于大興安嶺東坡伊勒呼里阿侖山脈的南支英吉奇山，由西北流向東南，匯入嫩江干流，全長(zhǎng)446km，流域面積19549km2，流域內(nèi)森林覆蓋率高，沒(méi)有過(guò)多人為活動(dòng)影響，下墊面條件變化不大。加格達(dá)奇水文站為甘河中游控制站，多年平均降水量531mm，年際變化大，年內(nèi)分布主要集中在6—9月，該站洪水為典型山溪性洪水，暴漲暴落，漲水期間水位、流量變化劇烈。

本文所用的資料為加格達(dá)奇站1952—2019年共68年的年內(nèi)最大流量序列資料。

1.2 均生函數(shù)模型

均生函數(shù)(Mean Generating Function，MGF)是時(shí)間序列均值生成函數(shù)的簡(jiǎn)稱(chēng)，是由時(shí)間序列按不同時(shí)間間隔計(jì)算均值，生成的一組周期函數(shù)[7]，將此函數(shù)進(jìn)行周期性延拓，即在定義域上延拓到整個(gè)數(shù)軸，可構(gòu)造出均生函數(shù)延拓矩陣。魏鳳英[1]將均生函數(shù)的概念推廣到回歸分析中，給出相應(yīng)的建模方案，使回歸模型的擬合效果更為理想。

利用加格達(dá)奇站年最大流量系列構(gòu)造最大流量周期性均生函數(shù)，采用CSC[1]雙向評(píng)分準(zhǔn)則，選擇最優(yōu)因子，利用SVM的K-CV統(tǒng)計(jì)分析方法學(xué)習(xí)訓(xùn)練樣本，通過(guò)逐漸改變參數(shù)的取值，獲取最佳的參數(shù)組合，而后建立回歸模型進(jìn)行擬合。計(jì)算1952—2001年的擬合值。根據(jù)模型對(duì)2002—2019年最大流量進(jìn)行預(yù)測(cè)，最后與2002—2019年實(shí)測(cè)資料進(jìn)行對(duì)比分析。

設(shè)時(shí)間序列為X(t)(t=1,2，…,n)，構(gòu)造均生函數(shù):

(1)

(2)

(mod表示同余)

(3)

F=(fij)n×m,fij=fl(t)

(4)

(5)

fl(t)為均生函數(shù)延拓序列，是一種周期性基函數(shù)。均生函數(shù)延拓矩陣中第1列記為f1，第2列記為f2，……，第m列記為fm。從f1、f2、…、fm中挑選出m個(gè)與原始序列密切相關(guān)的序列作為預(yù)報(bào)因子，建立模型進(jìn)行模擬和預(yù)測(cè)。

1.3 支持向量機(jī)(SupportVector，SVM)回歸方法

支持向量機(jī)(SupportVector，SVM)是一種基于統(tǒng)計(jì)理論的算法，屬于有監(jiān)督的學(xué)習(xí)方法，已知訓(xùn)練點(diǎn)的類(lèi)別，可學(xué)習(xí)求得訓(xùn)練點(diǎn)和類(lèi)別之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以便將訓(xùn)練集按照類(lèi)別分開(kāi)，或者預(yù)測(cè)新的訓(xùn)練點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的類(lèi)別。

用線性回歸函數(shù)f(x)=ωx+b擬合數(shù)據(jù){xi,yi}，(i=1，2，…，n，xi∈Rd),yi∈R的問(wèn)題，根據(jù)SVM理論，若采用線性ε不敏感損失函數(shù)

(6)

(7)

下，最小化目標(biāo)函數(shù)

(8)

常數(shù)c>0控制對(duì)超出誤差ε的樣本的懲罰程度。采用優(yōu)化方法可以得到其對(duì)偶問(wèn)題，即在約束條件

(9)

(10)

從而得回歸模型

(11)

(12)

式(5)、(6)中的b*，取在邊界上的一點(diǎn)，即可確定。有關(guān)非線性核函數(shù)的種類(lèi)較多，常用的有多項(xiàng)式核函數(shù)、徑向基核函數(shù)、柯西核函數(shù)等多種形式。本文采用徑向基核函數(shù)

K(x，xj)=exp(-(γ‖x-xi‖2),λ>0)(13)

1.4 年最大流量延拓均生函數(shù)

選取通過(guò)置信度0.01～0.05檢驗(yàn)的函數(shù)因子作為預(yù)報(bào)因子。所選取的周期性基函數(shù)因子為5個(gè)。這5個(gè)周期性基函數(shù)分別為5年、11年、16年、18年、19年的函數(shù)，其中11年、18年的基函數(shù)因子通過(guò)了0.01的檢驗(yàn)。這樣有效避免函數(shù)因子之間的復(fù)相關(guān)，確保各個(gè)因子間的獨(dú)立性。

2 周期檢驗(yàn)和突變檢驗(yàn)

2.1 周期檢驗(yàn)

周期性檢驗(yàn)采用小波分析法，該方法最早提出于20世紀(jì)80年代初，具有時(shí)-頻多分辨功能，能清晰地揭示出隱藏在時(shí)間序列中的多種變化周期。本文計(jì)算所用年最大流量系列包含“多時(shí)間尺度”變化特征且這種變化是連續(xù)的，所以選用連續(xù)復(fù)小波變換來(lái)分析該流量序列的多時(shí)間尺度特征，結(jié)果見(jiàn)圖1，結(jié)果顯示該系列存在11年、34年左右明顯的周期。

因此，加格達(dá)奇站流量隨時(shí)間出現(xiàn)周期性變化，具有一定起伏性，適合用MGF和SVM來(lái)解決極值預(yù)報(bào)的問(wèn)題。

2.2 突變檢驗(yàn)

流量系列的突變檢驗(yàn)，采用滑動(dòng)t檢驗(yàn)(MMT)的方法。兩子系列長(zhǎng)度n1=n2=11。給定顯著性水平a=0.01，t分布自由度ν=n1+n2-2=20，t0.01=±2.85，為了提高更嚴(yán)格的顯著水平，給定t0.01=±3.20。將計(jì)算出的t統(tǒng)計(jì)量序列和t0.01=±3.20繪成圖2。圖2顯示，流量系列自1952年以來(lái)，t統(tǒng)計(jì)量有一處超過(guò)0.01顯著水平，且為正值，說(shuō)明年最大流量在20世紀(jì)70年代經(jīng)歷了一次由大到小的突變。該次突變包含在過(guò)去的變化中，后期系列未出現(xiàn)突變，因此，可以依據(jù)率定的模型進(jìn)行多步預(yù)測(cè)。

3 年最大流量預(yù)測(cè)模型

3.1 SVM回歸預(yù)測(cè)模型的建立

為了避免挑選出的周期性基函數(shù)因子之間的量級(jí)差異，消除各個(gè)因子由于量綱和單位不同造成的影響，首先對(duì)每個(gè)預(yù)報(bào)因子進(jìn)行歸一化處理：

(14)

式中：xmax、xmin為原始數(shù)據(jù)x的最大值和最小值；ymax、ymin為映射范圍的參數(shù)，在這里取值為2和1。

圖3 加格達(dá)奇站年最大流量歸一化后逐年數(shù)據(jù)曲線

建模時(shí)，將經(jīng)過(guò)處理的預(yù)測(cè)因子(優(yōu)選后的周期性基函數(shù))作為輸入，年最大實(shí)測(cè)洪峰流量作為輸出，取前50年(1952—2001年)為檢驗(yàn)樣本集，用于SVM進(jìn)行學(xué)習(xí)訓(xùn)練和驗(yàn)證，后18年(2002—2019年)為預(yù)測(cè)檢驗(yàn)樣本，歸一化后逐年數(shù)據(jù)曲線見(jiàn)圖3。選取線性ξ不敏感損失函數(shù)，采用徑向基核函數(shù)進(jìn)行SVM建模，由于所選的參數(shù)值不同，函數(shù)形態(tài)會(huì)發(fā)生較大變化，進(jìn)而引起SVM模型的變化。因此，在建模中利用K-CV[8]統(tǒng)計(jì)分析方法學(xué)習(xí)訓(xùn)練樣本，通過(guò)逐漸改變參數(shù)的取值，以獲取最佳的參數(shù)組合，使建立的模型預(yù)測(cè)效果最好。經(jīng)過(guò)多次交叉驗(yàn)證學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，最終建立用于年最大洪峰流量預(yù)報(bào)的SVM回歸模型，經(jīng)過(guò)計(jì)算其校正模型參數(shù)c為11.31，g為0.35，MSE為0.013。其參數(shù)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖4、圖5。

3.2 SVM回歸模型預(yù)測(cè)效果分析

依據(jù)《水文情報(bào)預(yù)報(bào)規(guī)范》(GB/T 22482—2008)對(duì)中長(zhǎng)期預(yù)報(bào)的精度評(píng)定的要求，流量數(shù)值預(yù)報(bào)誤差精度采用多年變幅的10%，而趨勢(shì)(定性)評(píng)分采用合格和不合格[4]。

SVM模型模擬和檢驗(yàn)結(jié)果顯示：模擬和檢驗(yàn)效果較好，精度較高，50個(gè)模擬數(shù)據(jù)符合誤差要求的共42個(gè)，合格率達(dá)84.0%；46個(gè)數(shù)據(jù)趨勢(shì)模擬正確，合格率達(dá)到92.0%。18個(gè)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)符合誤差要求的共13個(gè)，合格率為72.2%；14個(gè)數(shù)據(jù)趨勢(shì)模擬正確，合格率達(dá)到77.8%。極值的模擬結(jié)果較好，模擬數(shù)據(jù)的極值數(shù)據(jù)均符合誤差要求，預(yù)測(cè)值和實(shí)際觀測(cè)值對(duì)比曲線見(jiàn)圖6。

圖6 加格達(dá)奇年最大流量SVM預(yù)測(cè)值和實(shí)際觀測(cè)值對(duì)比曲線

3.3 逐步回歸預(yù)測(cè)模型

為了比較SVM回歸與逐步回歸方法的預(yù)測(cè)能力，本文同樣利用上述19個(gè)周期性基函數(shù)作為預(yù)報(bào)因子，選取不同F(xiàn)值引入不同的預(yù)報(bào)因子，采用逐步回歸方法建立加格達(dá)奇站年最大流量預(yù)測(cè)模型。依據(jù)模型的預(yù)測(cè)誤差最小原則，數(shù)學(xué)方程為

+0.547x19-1889.905

(15)

對(duì)檢驗(yàn)樣本和預(yù)測(cè)樣本年最大流量數(shù)據(jù)進(jìn)行了預(yù)測(cè)模擬，其回歸結(jié)果和實(shí)際觀測(cè)值對(duì)比見(jiàn)圖7。

圖7 加格達(dá)奇站年最大洪峰流量多元逐步回歸預(yù)測(cè)值和實(shí)際觀測(cè)值對(duì)比曲線

3.4 逐步回歸模型預(yù)測(cè)效果分析

采用上述預(yù)報(bào)誤差精度進(jìn)行評(píng)定，模擬和檢驗(yàn)效果都不好，50個(gè)模擬數(shù)據(jù)符合誤差要求的共30個(gè)，合格率為60.0%；44個(gè)數(shù)據(jù)趨勢(shì)模擬正確，合格率達(dá)到88.0%。18個(gè)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)符合誤差要求的共10個(gè)，合格率為55.6%；9個(gè)數(shù)據(jù)趨勢(shì)模擬正確，合格率為50.0%。極值的模擬結(jié)果也不好，從圖7可以看出有2個(gè)極值的模擬數(shù)據(jù)差距都很大。

3.5 兩種模型對(duì)比分析結(jié)果

根據(jù)兩種方法的模擬結(jié)果，逐步回歸模型的數(shù)值預(yù)測(cè)合格率為60.0%，SVM回歸方法構(gòu)建的模型合格率為84.0%，兩者相差達(dá)到24.0%。趨勢(shì)上逐步回歸模型合格率為88.0%，SVM方法構(gòu)建的回歸模型合格率達(dá)到92.0%，兩者相差4.0%，但是逐步回歸在2個(gè)極值的模擬上都出現(xiàn)了較大差距，而SVM方法構(gòu)建的回歸模型3個(gè)極值都模擬預(yù)測(cè)的很好。18年的檢驗(yàn)結(jié)果中，逐步回歸模型的數(shù)值預(yù)測(cè)合格率為55.6%，趨勢(shì)模擬合格率為50.0%，而SVM回歸方法構(gòu)建的模型合格率為72.2%；趨勢(shì)模擬合格率達(dá)到78.8%。

4 結(jié) 論

a.通過(guò)對(duì)加格達(dá)奇站年最大流量系列進(jìn)行小波分析和滑動(dòng)t檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)系列存在11年、34年左右周期，而在20世紀(jì)70年代存在一個(gè)由高到低的突變，說(shuō)明該系列存在著明顯的非線性變化。按常規(guī)長(zhǎng)期預(yù)報(bào)方法需提取周期、濾波趨勢(shì)，以及構(gòu)建隨機(jī)過(guò)程的模型來(lái)進(jìn)行外延預(yù)報(bào)。但如前文所述，常規(guī)預(yù)報(bào)方法并不能較好處理非線性數(shù)據(jù)系列，對(duì)極值和趨勢(shì)變化的預(yù)測(cè)能力尚有改善空間。本文即采用均生函數(shù)(MGF)、支持向量機(jī)(SVM)相組合的方法來(lái)提高預(yù)測(cè)能力。分析預(yù)報(bào)結(jié)果顯示，無(wú)論是極值還是趨勢(shì)預(yù)報(bào)，合格率均較高。

b.采用均生函數(shù) (MGF)構(gòu)建時(shí)間序列的周期性基函數(shù)，并對(duì)均生矩陣進(jìn)行周期外延得到延拓矩陣，有效地實(shí)現(xiàn)了對(duì)時(shí)間系列數(shù)據(jù)的重構(gòu)，一定程度上避免了單數(shù)據(jù)系列對(duì)預(yù)報(bào)結(jié)果的負(fù)面影響；而因子選取上采用CSC雙評(píng)分準(zhǔn)則，提高了模型在數(shù)據(jù)趨勢(shì)預(yù)測(cè)上的能力，從而實(shí)現(xiàn)了數(shù)量和趨勢(shì)的雙預(yù)測(cè)。

c.運(yùn)用SVM方法中的K-CV統(tǒng)計(jì)分析方法學(xué)習(xí)訓(xùn)練樣本并優(yōu)化參數(shù)。經(jīng)過(guò)多次交叉驗(yàn)證學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，最終計(jì)算其校正模型參數(shù)c為1，g為0.353，MSE為0.0081。交叉驗(yàn)證提高了SVM類(lèi)別識(shí)別最優(yōu)參數(shù)集，間接提高了SVM回歸模型的精度。

d.通過(guò)均生函數(shù)(MGF)生成30個(gè)周期性基函數(shù)，采用CSC雙評(píng)分準(zhǔn)則，篩選部分周期性基函數(shù)作為預(yù)測(cè)對(duì)象的影響因子，運(yùn)用SVM中的K-CV統(tǒng)計(jì)分析方法學(xué)習(xí)訓(xùn)練樣本、優(yōu)化參數(shù)，最終建立年最大流量預(yù)測(cè)模型。模型預(yù)測(cè)結(jié)果顯示，無(wú)論模擬還是檢驗(yàn)，本文所構(gòu)建的模型均表現(xiàn)出明顯優(yōu)勢(shì)，尤其在趨勢(shì)和極值的預(yù)測(cè)上克服了AR、ARMA等時(shí)間預(yù)測(cè)模型的極值均值化的問(wèn)題。

e.對(duì)比采用均生函數(shù)(MGF)、多元逐步回歸相組合傳統(tǒng)預(yù)測(cè)方法，本文所構(gòu)建模型的預(yù)測(cè)結(jié)果無(wú)論是極值還是趨勢(shì)預(yù)測(cè)都遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于傳統(tǒng)預(yù)測(cè)方法，尤其在系列極值的預(yù)測(cè)能力上表現(xiàn)更為明顯。結(jié)果表明，新構(gòu)建模型在處理年最大流量非線性變化方面有一定程度的改善。

根據(jù)目前水文行業(yè)開(kāi)展年最大流量預(yù)報(bào)的實(shí)際情況，傳統(tǒng)中長(zhǎng)期預(yù)報(bào)方法存在細(xì)節(jié)處理不細(xì)致、預(yù)測(cè)精度有待提高等問(wèn)題，尤其針對(duì)極端洪水或干旱年份，極值預(yù)報(bào)誤差較大。本文主要針對(duì)數(shù)據(jù)系列的非線性變化和存在極值問(wèn)題，利用均生函數(shù)(MGF)并結(jié)合支持向量機(jī)(SVM)構(gòu)建年最大流量預(yù)測(cè)模型。通過(guò)在甘河加格達(dá)奇站的實(shí)際應(yīng)用并與逐步回歸預(yù)測(cè)方法對(duì)比，本文所構(gòu)建模型在模擬和檢驗(yàn)中的預(yù)報(bào)結(jié)果均呈現(xiàn)明顯優(yōu)勢(shì)，應(yīng)用于工作實(shí)際是可行的。從水文領(lǐng)域的應(yīng)用來(lái)看，該模型不僅提高了年最大流量非線性及極值預(yù)報(bào)能力，也實(shí)現(xiàn)了數(shù)量和趨勢(shì)雙預(yù)報(bào)，可更好應(yīng)用于中長(zhǎng)期預(yù)報(bào)。