一道橢圓定值問題的三個解題視角

渠懷蓮

(江蘇省海門中學，226100)

圓錐曲線問題主要體現(xiàn)數(shù)學運算這一數(shù)學核心素養(yǎng).數(shù)學運算主要包括理解運算對象、掌握運算法則,探究運算思路、選擇運算方法,設計運算程序求得運算結(jié)果等.通過運算促進數(shù)學思維發(fā)展,形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì).在圓錐曲線中我們經(jīng)常會碰到定值問題,而定值問題的情況很多,包括定點與定直線、定向問題.定值問題泛指定長度、定角度、定面積、定乘積、定比例,以及定任意一個給定式子的值.本文通過一道橢圓中兩定直線斜率之積為定值的問題求解,給出解決定值問題的三個視角,供讀者參考.

視角1緊扣主題引入?yún)?shù),設而不求或設而求之

解法1設直線l方程為x=λy+m,點E(x1,y1)、F(x2,y2),則

解法2設直線AE的方程為y=k1(x+2),與x2+2y2-4=0聯(lián)立,得

評注這里采用了條件直譯的方法,解法1引入直線的橫截距式方程,采用設而不求策略,由韋達定理消去參數(shù)獲解;解法2緊扣主題,引入直線的斜截式方程,設而求之,再借助三點共線找到其等量關系.兩種解法都不容忽視.

視角2由共線向量定理引入?yún)?shù),“曲線救國”

將x2的表達式代入,可得

評注解題是需要套路的,但又不能守舊,要善于打破常規(guī)解法.解法3用向量共線定理引入?yún)?shù)λ表示點的坐標,再用斜率公式化簡得定值,與解法1異曲同工.

視角3巧用直線方程齊次化原則

解法4設直線EF的方程為λ(x+2)+μy=1,將點D(m, 0) 的坐標代入,可得λ(m+2)=1.

2y2-4μ(x+2)y+(1-4λ)(x+2)2=0.