雙離心機法線加速度計動態(tài)校準中三參數(shù)余弦算法實現(xiàn)及應用

秦朝俊

（航空工業(yè)北京長城計量測試技術研究所，北京100095）

0 引言

在雙離心機的動態(tài)校準中主要對被測加速度計的幅頻特性、相頻特性以及幅值線性度進行計量。在幅頻特性和相頻特性的計量中，在被測加速度計工作頻率范圍內(nèi)選取n個點［1］，主離心機保持恒定加速度輸出，即輸入正弦加速度信號峰值保持不變［2］，從離心機同時進行變速和轉(zhuǎn)角運動，改變加速度計敏感軸輸入角和頻率，達到產(chǎn)生正弦動態(tài)加速度的目的［3］，實現(xiàn)加速度計動態(tài)校準［4］。通過采集處理加速度計的輸出值，計算出每個頻率點下的靈敏度和正弦分量的相位延遲。在幅值線性度計量中，輸入正弦加速度信號頻率保持不變，在被測加速度計量程范圍內(nèi)選取n個點，依次增大輸入正弦加速度信號幅值［1］（即從離心機保持恒定速度輸出不變，主離心機進行變速運動），通過采集處理加速度計的輸出值，計算出幅值線性度。其中數(shù)據(jù)處理部分要對采集的加速度計的輸出值進行三角曲線擬合，用到的擬合算法均為三參數(shù)的余弦擬合算法。本文對三參數(shù)余弦算法的原理進行分析，并介紹其在雙離心機線加速度計動態(tài)校準數(shù)據(jù)處理過程中的實際應用和程序?qū)崿F(xiàn)。同時介紹了在幅頻特性和相頻特性中采集點的優(yōu)化選取方式。利用雙離心機進行某型線加速度計動態(tài)校準，對采集的數(shù)據(jù)點進行曲線擬合得到測試結(jié)果，驗證編寫的三參數(shù)余弦算法程序的可行性。

1 三參數(shù)余弦算法

三參數(shù)余弦擬合，特指信號頻率已知時獲取幅度、相位和直流偏移的波形擬合方法，其宗旨是擬合函數(shù)和采樣序列各點的殘差平方和最小，從而獲得正弦波形序列最小二乘擬合結(jié)果。它是一種閉合算法，無需迭代即能獲得結(jié)果，沒有收斂問題，具有良好的實用性［5］。

在雙離心機的動態(tài)校準中，由于所用的測量工具、環(huán)境條件、測量方法、重復次數(shù)以及操作者不變，即測量條件不變，所以是等精度測量，在這種情況下所進行的各次測量結(jié)果具有同等可靠程度，具有同樣的精度。為了使得殘余誤差v的平方和最小，即=最小（p為各次測量結(jié)果的權重），在等精度測量中，p1=p2=… =pn，殘余誤差平方和最小可寫為：+… +v2n=最小。

設理想正弦信號為

式中：f為頻率；t為時間；C0，A0，B0，D0為參數(shù)。三參數(shù)余弦曲線擬合過程中，數(shù)據(jù)采樣序列為時刻t1，t2，t3，…，tn，輸入角頻率ω已知，尋找 A，B，D，使得式（2）的殘差平方和E最小。

式中：i為采樣點數(shù)；參數(shù)A，B，D為A0，B0，D0的最小二乘擬合值。為尋找出A，B，D，構造以下矩陣

線性參數(shù)的誤差方程可表示為

在等精度測量時，殘余誤差平方和

為了求最佳估計值A，B，D使得式（5）的值最小，可利用求極值的方法來滿足上式的條件，因為殘余誤差平方和大于等于0，所以一定存在極小值，即當一階殘余誤差平方和最小，即

式中：yT為常數(shù)矩陣；MT為系數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。則式（7）可以寫為

擬合函數(shù)的幅值C和相位θ表達形式為［6］

2 三參數(shù)余弦算法的程序?qū)崿F(xiàn)

根據(jù)三參數(shù)余弦算法的計算過程，采用軟件Visual Studio 2013進行編程，程序?qū)崿F(xiàn)分為以下步驟：建立M矩陣、求M轉(zhuǎn)置矩陣、MTM矩陣、（MTM）-1矩陣、MTy矩陣、（MTM）-1MTy矩陣。其中MT為3行n列矩陣，M為n行3列矩陣，y為n行1列矩陣，nAcq-Time為采樣點數(shù)，F(xiàn)req為輸入頻率，acqData為采集到的實際值。圖1為計算流程圖。

從流程圖中可以看出構建正確的M矩陣和y矩陣，對正確處理數(shù)據(jù)起到關鍵作用，以下是構建的過程。

1）M矩陣

for（i=0；i＜nAcqTime；i++） //存放 M矩陣的值，0.01表示采樣間隔為10 ms

｛

M［i］［2］ =1；

M［i］［1］=sin（2*PII*Freq*（i+1）*0.01）；//Freq為輸入頻率

圖1 計算流程圖

M［i］［0］=cos（2*PII*Freq*（i+1）*0.01）；

｝

2）y矩陣

for（i=0；i＜nAcqTime；i++）

｛

yout［i］［0］ =g_AcqData-＞acqData［i］； //acqData為采集到的加計輸出值。

｝

根據(jù)流程圖計算順序計算出（MTM）-1MTy，計算結(jié)果存放在result矩陣中，result矩陣為3行1列矩陣，其中的數(shù)據(jù)即為要求的最佳擬合值A，B，D。

3 幅、相頻測試中采集點的獲取

根據(jù)被測加速度計的幅頻特性和相頻特性測試的測試過程和計算結(jié)果分析，被測加速度計的幅頻特性和相頻特性完全可以測試一次得出結(jié)論。確定被測加速度計質(zhì)心精確位置是困難的，根據(jù)被測加速度計的輸出多次調(diào)整工裝安裝位置，盡量減少質(zhì)心與從離心機旋轉(zhuǎn)軸安裝偏差［7-10］?？紤]到初始相位角的計算條件一致性問題，在確定被校加速度計初始相位后，將從離心機光柵編碼器進行光學尋零位后，再轉(zhuǎn)過初始相位角，數(shù)顯表角度歸零。

為了保證每個頻率點的采集數(shù)據(jù)有效，需要保證開始采集數(shù)據(jù)時，從離心機轉(zhuǎn)過的角度剛好是360°的整數(shù)倍。當接收到采集的信號時，判斷上一次采集的角度/360，并向下取整，當前采集的角度/360，并向下取整，兩者相減，剛好等于1。這樣就保證了當前開始采集的角度剛好是過360°的整數(shù)倍的角度，減少相位延遲的計算不會產(chǎn)生因為采集數(shù)據(jù)造成的影響。數(shù)據(jù)采集流程如圖2所示。

圖2 數(shù)據(jù)采集流程圖

數(shù)據(jù)采集程序為：

pos=PCodeFuncPort（Axis_Func_Get_CurPos）-＞getCurPos（）；

if（g_CmdData-＞bAcqFlag［id］）

｛

if（abs（floor（lastPos/360）-floor（pos/360））==1）

｛

RtSetEvent（hACQEvent［id-1］）；

g_RptData-＞bAcqReceived［id］=TRUE；

g_RptData-＞startacqpos［id］=pos；

g_CmdData-＞bAcqFlag［id］=0；

g_AcqData-＞count=0；

g_AcqData-＞bAcqfinish=FALSE；

｝

｝

lastPos=pos；

4 曲線擬合以及校準結(jié)果

選用某型線加速度計進行幅頻、相頻特性試驗，基于雙離心機的技術指標［8］，選定主離心機復現(xiàn)正弦加速度幅值100 m/s2，從離心機給定頻率0.1，1，5，10 Hz四個頻率點，進行此型線加速度計動態(tài)校準試驗。圖3至圖6中給出的是采集板卡采集加速度計電壓后的實測曲線。

通過式（14），根據(jù)采樣點數(shù)、選定的采集頻率及采集到的加速度計輸出值構建M矩陣和y矩陣，依據(jù)圖1的流程圖，計算出（MTM）-1MTy，可求出X0矩陣中A，B，D的值，進而求得擬合幅值和相位。

圖3 0.1 Hz實測曲線

圖4 1 Hz實測曲線

圖5 5 Hz實測曲線

圖6 10 Hz實測曲線

通過擬合運算可以得到回歸值曲線，如圖7至圖10所示。

圖7 0.1 Hz擬合曲線

圖8 1 Hz擬合曲線

圖9 5 Hz擬合曲線

根據(jù)計算得到對應頻率點下加速度計的靈敏度Si，以加速度計在重力場下的標度因數(shù)S0為參照，依據(jù)式（15）進行歸一化處理，求出加速度計在相應頻率點的比值，計算結(jié)果如表1和表2所示。

式中：i為頻率點數(shù)，i=1，2，3，…，n。

圖10 10 Hz擬合曲線

表1 幅頻特性校準（輸入峰值為100 m/s2）

表2 歸一化處理后的靈敏度

通過起始試驗確定加速度計初始相位角φ-0，并通過動態(tài)校準數(shù)據(jù)擬合計算出各頻率點下的相位角φ-ι，根據(jù)式（16）得到對應頻率點下的相位延遲角Δφi，計算結(jié)果如表3和表4所示。

表3 相頻特性校準（輸入峰值為100 m/s2）

表4 各個頻率點的相位延遲

最終通過動態(tài)校準實驗測試計算結(jié)果即可獲到某型加速度計的幅頻特性和相頻特性曲線，如圖11和圖12所示。通過以上實驗，證明本文編寫的三參數(shù)余弦算法程序在雙離心機法線加速度計動態(tài)校準中具有運行高效、準確、智能化程度高等各項優(yōu)點，具有很好的可行性與實際應用價值。

圖11 幅頻特性曲線

圖12 相頻特性曲線

5 結(jié)論

選用加速度計進行動態(tài)校準并對獲取的試驗點進行數(shù)據(jù)擬合，按照最小二乘法的條件計算，能夠充分利用誤差的抵償作用，有效降低隨機誤差的影響，所得到的結(jié)果具有最可依賴性。三參數(shù)余弦算法的推導就是建立在以上條件下進行的，由于實際測量問題多屬線性，而且非線性參數(shù)借助于級數(shù)展開的方法可在某一區(qū)域近似地轉(zhuǎn)化成線性的形式，所以整個推導過程用的是線性參數(shù)的測量方程。

在雙離心機的動態(tài)校準中，加速度計的幅頻特性、相頻特性、幅值線性度參數(shù)的準確獲取，關鍵在于數(shù)據(jù)處理過程中的三角曲線擬合，因此三參數(shù)余弦算法貫穿在整個動態(tài)校準過程中，具有關鍵作用，數(shù)據(jù)處理的結(jié)果直接體現(xiàn)出被測加速度計的本身特性。雙離心機線加速度計動態(tài)校準中數(shù)據(jù)采集處理的程序化，極大地提高了測試效率和測試精度，為加速度計動態(tài)特性的測試工作提供重要支撐。