基于擴展卡爾曼濾波觀測器的無刷直流電機無位置傳感器控制系統(tǒng)研究

徐會風(fēng)，蘇少平，杜慶誠，唐忠文

(西安交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，西安 710049)

0 引 言

無刷直流電機擁有功率因數(shù)高、動態(tài)性能優(yōu)良、且便于維護、控制方法簡單等優(yōu)點，在中小功率的電機驅(qū)動場合應(yīng)用廣泛[1-3]。無刷直流電機無位置傳感器控制技術(shù)因其對環(huán)境適應(yīng)能力強、成本低的優(yōu)點，在近些年來無刷直流電機無傳感器的研究領(lǐng)域逐漸成為熱點研究內(nèi)容。無傳感器控制技術(shù)原理主要是采用電機內(nèi)部容易獲得的繞組電壓和相電流信號，經(jīng)過所采用的算法進行處理，進而可以重新構(gòu)建電機的轉(zhuǎn)子位置信號。目前，常用的的轉(zhuǎn)子位置檢測方法主要有反電勢法[4-7]、續(xù)流二極管法[8]、電感法[9]、人工智能[10]，狀態(tài)觀測器法等。

擴展卡爾曼濾波算法是屬于狀態(tài)觀測器中的一類，其原本為卡爾曼濾波算法，因為需要應(yīng)用于非線性控制系統(tǒng)，所以才出現(xiàn)了擴展卡爾曼濾波算法的發(fā)展。其基本思想是利用控制系統(tǒng)中較為容易獲得的電機端電壓、相電流等信號，由此可以構(gòu)建適用于擴展卡爾曼濾波算法的電機狀態(tài)方程，利用擴展卡爾曼濾波算法對電機控制系統(tǒng)參數(shù)的在線估計，從而可以得到轉(zhuǎn)子位置的信號。由于擴展卡爾曼濾波算法本身考慮到干擾和測量中的誤差影響，所以該方法對參數(shù)的變化和外界的干擾適應(yīng)能力強。且卡爾曼濾波算法實現(xiàn)起來較為簡單，這為無刷直流電機在無位置傳感器的控制方面應(yīng)用提供了很好的途徑[11-12]。

1 無刷直流電機數(shù)學(xué)模型

圖1為三相星形聯(lián)接無刷直流電機，假設(shè)三相繞組對稱。

圖1 無刷直流電機等效原理圖

T1-T6為功率開關(guān)管。則其電壓方程為

(1)

式中,uA、uB、uC為定子繞組相電壓；iA、iB、iC為定子繞組相電流；eA、eB、eC為定子繞組反電勢；L、R、M為電機的每相繞組自感、電阻和相間互感。

電機的電磁轉(zhuǎn)矩方程為

T=(eAiA+eBiB+eCiC)/wm

(2)

式中,ωm為電機轉(zhuǎn)子的機械角速度。

電機轉(zhuǎn)子軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程為

(3)

式中,B為阻尼系數(shù)；J為轉(zhuǎn)動慣量；TL為負載轉(zhuǎn)矩。

2 擴展卡爾曼濾波算法

2.1 擴展卡爾曼濾波算法工作原理

擴展卡爾曼濾波是卡爾曼濾波在非線性領(lǐng)域的拓展。因為實際系統(tǒng)是非線性的，擴展卡爾曼濾波正好可以應(yīng)用于這種情況，所以在此之前應(yīng)該將非線性方程進行線性化處理，然后再利用卡爾曼濾波處理即可[13-14]。

假設(shè)一個非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程和測量方程為

(4)

式中,w(t)為系統(tǒng)噪聲；v(t)為測量噪聲。

由此可得狀態(tài)變量在某一點的增量為

(5)

假設(shè)Δx(t)足夠小，將函數(shù)f(x(t),u,t)在該點泰勒級數(shù)展開得到：

(6)

忽略泰勒展開式的高次項可得：

(7)

(8)

將測量方程泰勒級數(shù)可以得到

(9)

其中，雅克比矩陣可以表示為

(10)

可以得到線性化后的狀態(tài)方程和測量方程：

(11)

式中,F(x)為狀態(tài)方程雅克比矩陣；H(t)為測量方程雅克比矩陣。

將上述方程離散化可得：

(12)

式中,Φ(k,k-1)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣近似為

(13)

由此可到離散化的擴展卡爾曼濾波方程為

(14)

P(k)=Φ(k,k-1)P(k)Φ(k,k-1)T+Q(k-1)

(15)

(16)

P(k)=P(k-1)-K(k)H(k)P(k-1)

(17)

K(k)=P(k,k-1)H(k)T(H(k)P(k,k-1)H(k)T+R)-1

(18)

2.2 擴展卡爾曼濾波觀測器的設(shè)計

本文是以兩兩導(dǎo)通三相六狀態(tài)星型連接的無刷直流電機為例，重寫電機三相電壓平衡方程如下[15]。由于電機的中性點一般不直接引出，所以電機的繞組相電壓無法直接測量得到，故可以得到電機線電壓模型：

(19)

式中,uAB、uBC為電機線電壓；iAB、iBC為電機線電流；eAB、eBC為電機線反電勢。

三個線反電勢之間存在的關(guān)系：

eAB+eBC+eCA=0

(20)

因此，通過檢測無刷直流電機的三相端電壓uAG、uBG、uCG和任意兩相電流iA、iB就可以得到無刷直流電機的線反電勢。并且以線反電勢過零點作為換相時刻不需要進行相移，控制更加方便。

現(xiàn)將式(19)中的線電流iAB、iBC和線反電勢eAB、eBC作為擴展系統(tǒng)的狀態(tài)變量，將電機線電壓和線電流作為控制系統(tǒng)的輸入和輸出，可以得到無刷直流電機的狀態(tài)方程如下：

(21)

其中,Xk=[iAB(k)iBC(k)eAB(k)eBC(k)]T；

yk=[iAB(k)iBC(k)]T；

Uk=[uAB(k)uBC(k)]T；

其中,可以令f(x)表達式如下：

(22)

由上節(jié)可知f(x)的雅克比矩陣為

(23)

則

(24)

根據(jù)擴展卡爾曼濾波觀測器得到的電機線反電勢，進而可以得到電機的轉(zhuǎn)子位置信息和電機的轉(zhuǎn)速。電機的轉(zhuǎn)子位置用來進行電機的正常換相，得到的轉(zhuǎn)速可以用來實現(xiàn)電機的速度閉環(huán)控制。下面先確定線反電勢的過零點和繞組導(dǎo)通順序之間的關(guān)系，如表1所示。

表1 線反電勢信號和功率管導(dǎo)通順序的關(guān)系

3 基于擴展卡爾曼濾波的無位置傳感器控制系統(tǒng)仿真

3.1 Matlab仿真模型

擴展卡爾曼濾波器模塊采用S函數(shù)編寫，并沒有用模塊進行搭建，EKF5.m主要程序內(nèi)容如下：

function sys=mdlUpdate(t,x,u)

global P0;

Rs=0.9;

Ls=0.0032;

J=2e-4;

Q=diag([1 1 100 100]);

R=diag([0.05 0.05 ]);

T=5e-6;

vs_ab=[u(1) u(2)]′;

is_ab=[u(3) u(4)]′;

H=[1 0 0 0 ; 0 1 0 0 ];

B=[1/(Ls),0,0,0 ;0 1/(Ls) 0 0 ]′;

F=[-Rs/Ls,0,-1/(Ls),0; 0,-Rs/Ls,0,-1/(Ls); 0 0 0 0 ; 0 0 0 0];

f1=[-x(1)*Rs/Ls-x(3)/(Ls);-x(2)*Rs/Ls-x(4)/(Ls);0;0];

f2=diag([1 1 1 1])+T*F;

X_pred=x+T*(f1+B*vs_ab);

Y_pred=H*X_pred;

Y=is_ab;

P_pred=f2*P0*f2′+Q;

K=P_pred*H′*inv(H*P_pred*H′+R);

sys = X_pred+K*(Y-Y_pred);

P0=P_pred-K*H*P_pred;

圖2 基于擴展卡爾曼濾波的無刷直流電機無位置傳感器仿真模型

圖2為基于擴展卡爾曼濾波的無刷直流電機無位置傳感器仿真模型速度計算模塊如圖3所示，該模塊主要實現(xiàn)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速計算。由擴展卡爾曼濾波觀測器得到的線反電勢信息，根據(jù)線反電勢過零點信息得到電機虛擬霍爾信號，由于電機的線反電勢的變化頻率與電機的轉(zhuǎn)速一樣，因此可以由電機的線反電勢信號計算得到電機的轉(zhuǎn)速，具體公式如下：

(25)

式中,p為電機極對數(shù)；ΔT為相鄰兩次換相時間間隔。

PWM模塊是電機的起動和閉環(huán)切換，主要采用三段式起動策略，起動過程分為轉(zhuǎn)子預(yù)定位、開環(huán)加速、閉環(huán)切入運行三個狀態(tài)。圖4為PWM起動和閉環(huán)切換模式。

圖3 轉(zhuǎn)速計算模塊

圖4 PWM起動和閉環(huán)切換模塊

3.2 仿真結(jié)果及分析

無刷直流電機參數(shù)：電機功率為60W，電機的電壓為24V，電機定子電阻0.9Ω，定子電感為3.5mH，極對數(shù)為4，額定轉(zhuǎn)速為2000r/min，仿真時間為0.5s。

無刷直流電機工況設(shè)定為額定轉(zhuǎn)速下負載轉(zhuǎn)矩為0.3Nm的狀態(tài)進行仿真。選取狀態(tài)變量初始值x0，狀態(tài)方差P0、系統(tǒng)噪聲Q、測量噪聲R結(jié)果如下：

x0=[0 0 0 0]；

P0=[0.5 0.5 10 10]；

Q=diag[0.1 0.1 30 30]；

R=diag[0.05 0.05]。

(1)穩(wěn)態(tài)運行過程的仿真分析：電機在額定轉(zhuǎn)速下運行且負載大小恒定為0.3Nm。

如圖5所示，電機從0s開始運行，大約0.05s的時間達到額定轉(zhuǎn)速，電機轉(zhuǎn)速超調(diào)較小，達到穩(wěn)態(tài)的時間小。如圖6所示，電機實際轉(zhuǎn)速和估算轉(zhuǎn)速之間誤差很小，0.05s之前轉(zhuǎn)速誤差為40轉(zhuǎn)左右，電機達到穩(wěn)態(tài)后轉(zhuǎn)速誤差基本為零。從圖7所示電機定子電流波形頂部較為平整，仿真給的電機電流限幅為10A，在電機達到穩(wěn)態(tài)后，電流波形較好。圖8為電機的線反電勢波形對比圖，圖9為電機的真實霍爾信號和虛擬霍爾信號對比圖，從圖中可以看出兩者的誤差很小。

圖5 n=2000r/min時電機轉(zhuǎn)速波形

圖6 n=2000r/min時電機轉(zhuǎn)速誤差波形

圖7 n=2000r/min時電機定子電流波形

圖8 n=2000r/min時電機線反電勢波形

圖9 n=2000r/min時真實和虛擬霍爾信號波形

(2)動態(tài)運行過程的仿真分析：電機在額定轉(zhuǎn)速下變換負載大小，0.3s時刻負載大小由0.3Nm變?yōu)?.5Nm，分析電機的轉(zhuǎn)速、電流、線反電勢等信息。

圖10為電機轉(zhuǎn)速波形，電機在0.3s時間切入負載，電機的轉(zhuǎn)速下降較小，系統(tǒng)動態(tài)穩(wěn)定性能優(yōu)良。從圖11可以看出電機的轉(zhuǎn)速誤差較小，在切入負載時刻電機轉(zhuǎn)速誤差波動在10轉(zhuǎn)左右，可以滿足系統(tǒng)需要。從圖12可以看出，在電機突加負載時刻，電流波形變化平緩，整個系統(tǒng)切換平滑。圖13為電機的線電勢在負載突加時刻有所降低，這屬于正?，F(xiàn)象，在系統(tǒng)達到另外一穩(wěn)態(tài)時重新恢復(fù)到原狀態(tài)。圖14為電機在負載突加情況下的真實霍爾信號和虛擬霍爾信號對比圖，從圖中的局部放大圖可以看出，兩者之間的相位差很小，大概在0.16ms左右，因此可以采用估算出來的虛擬霍爾信號來代替實際的霍爾信號。

圖10 電機突加負載時的轉(zhuǎn)速波形

圖11 電機突加負載時的轉(zhuǎn)速誤差波形

圖12 電機突加負載時的電流波形

圖13 電機突加負載時的線反電勢波形

圖14 電機突加負載時的真實和虛擬霍爾信號波形

(3)變轉(zhuǎn)速時電機仿真分析：初始轉(zhuǎn)速給定為2000r/min，在0.3s下降為1500r/min，負載轉(zhuǎn)矩則保持在0.3Nm不變。在此基礎(chǔ)上分析電機的轉(zhuǎn)速、電流等信息。

如圖15所示，電機突降轉(zhuǎn)速時候，轉(zhuǎn)速在0.05s左右的時間重新達到穩(wěn)態(tài)，系統(tǒng)響應(yīng)速度較快，動態(tài)性能較好。與此同時，從圖16可以看出，電機的轉(zhuǎn)速誤差在突減轉(zhuǎn)速后誤差不足20轉(zhuǎn)，且在達到穩(wěn)態(tài)后電機的速度誤差在5轉(zhuǎn)以內(nèi)，這是因為電機的PI調(diào)節(jié)器存在的靜態(tài)誤差，需要再次調(diào)節(jié)PI參數(shù)即可消除靜差。圖17為電機的實際線反電勢和估算得到的線反電勢對比圖，兩者之間的誤差較小，可以實現(xiàn)電機的轉(zhuǎn)速和位置的估算。圖18為電機突減轉(zhuǎn)速時的真實和虛擬霍爾信號對比圖，從圖中可以看出，虛擬的霍爾信號在相位上與實際的霍爾信號幾乎一致。

圖15 電機突減轉(zhuǎn)速時的轉(zhuǎn)速波形

圖16 電機突減轉(zhuǎn)速時的轉(zhuǎn)速誤差波形

圖17 電機突減轉(zhuǎn)速時的線反電勢波形

圖18 電機突減轉(zhuǎn)速時的真實和虛擬霍爾信號波形

綜上所述，本文所采用的擴展卡爾曼濾波狀態(tài)觀測器獲得的電機轉(zhuǎn)速和位置信號誤差小，精度高，跟隨性好。用于無位置控制時，所建立的模型靜態(tài)和動態(tài)性能較好，電機可以在負載的擾動和轉(zhuǎn)速突變下平穩(wěn)運行。

4 實驗驗證

為驗證本文所提出方法的有效性，搭建如圖19的實驗平臺，實驗的樣機為一臺三相星型連接的永磁無刷直流電機，具體參數(shù)如表2所示。

實驗裝置主要包括無刷直流電機功率板、DSP2812控制板、無刷直流電機和勵磁直流電動機等。其中無刷直流電機和直流勵磁電機通過聯(lián)軸器連接在一起，無刷直流電機作為電動機方式運行，拖動直流勵磁電機轉(zhuǎn)動，此時的直流勵磁電機則相當(dāng)于做為電機負載，且運行在發(fā)電模式下，勵磁直流電機的電樞回路可以連接電阻等負載進行電機輸出轉(zhuǎn)矩大小的改變，從而實現(xiàn)對無刷直流電機的不同負載轉(zhuǎn)矩的改變。直流勵磁電機的勵磁電壓可以通過調(diào)壓方式改變，最大勵磁電壓為220V。

表2 BLDCM實驗參數(shù)表

圖19 實驗平臺

4.1 電機空載運行實驗

電機的空載運行實驗主要是電機在空載運行下的穩(wěn)態(tài)性能部分，分析電機在所采用控制策略下的穩(wěn)態(tài)運行性能。電機在空載條件下起動到轉(zhuǎn)速為2000 r/min，通過分析電機的轉(zhuǎn)速、電流、轉(zhuǎn)子位置等信息來驗證所采用控制策略的有效性。

圖20為電機在額定轉(zhuǎn)速下空載起動電機轉(zhuǎn)速波形，在1.8s左右的時間電機估算轉(zhuǎn)速出現(xiàn)了跳變，這是因為電機在此時達到了600 r/min，即切換為無位置的運行方式，所以會出現(xiàn)估算轉(zhuǎn)速的跳變。

圖20 n=2000 r/min時的電機轉(zhuǎn)速波形

由圖21可以看出電機的轉(zhuǎn)速誤差在切換時有較大誤差，但是穩(wěn)定后轉(zhuǎn)速誤差較小。

圖21 n=2000 r/min時的電機轉(zhuǎn)速誤差波形

圖22為電機相電流波形，可以看出電機在開環(huán)起動加速過程中電流波動較大，約為額定電流的3倍左右，在可以接受的范圍內(nèi)。

圖22 n=2000 r/min時的電機電流波形

圖23為電機的實際霍爾信號局部波形和估算出來的虛擬霍爾信號波形圖，所截取時間段為電機處于穩(wěn)定運行階段，可以看出兩者的位置誤差較小，因此可以使用估算出來的虛擬霍爾信號代替實際的霍爾信號實現(xiàn)電機的轉(zhuǎn)子位置估算。

圖23 n=2000 r/min時的電機霍爾信號波形

4.2 電機變轉(zhuǎn)速實驗

為了驗證電機在無位置控制策略下的動態(tài)性能，這里選擇電機的運行方式為空載運行，然后進行電機的變轉(zhuǎn)速實驗，進一步驗證電機的動態(tài)性能。首先電機在給定轉(zhuǎn)速1500 r/min下起動，之后升高轉(zhuǎn)速為2000 r/min，最后轉(zhuǎn)速再下降為1500 r/min。

圖24為電機變轉(zhuǎn)速時的轉(zhuǎn)速波形圖，在達到初始設(shè)定轉(zhuǎn)速后繼續(xù)升高轉(zhuǎn)速，然后再降低轉(zhuǎn)速，電機都可以準(zhǔn)確的跟隨，說明系統(tǒng)的動態(tài)性能優(yōu)良，轉(zhuǎn)速跟隨性能較好。從圖25可以看出電機轉(zhuǎn)速的誤差較小，說明估算出來的電機轉(zhuǎn)速和實際的電機轉(zhuǎn)速相近。

圖24 電機變轉(zhuǎn)速時的轉(zhuǎn)速波形

圖25 電機變轉(zhuǎn)速時的轉(zhuǎn)速誤差波形

從圖26電流的局部放大波形來看，電機的電流波形較為良好，電機運行的整體性能不錯。

圖26 電機變轉(zhuǎn)速時的電流局部波形

如圖27為電機的霍爾信號波形，可以看出兩者霍爾信號的差別較小，即估算出來的電機虛擬霍爾信號可以適應(yīng)電機的轉(zhuǎn)速突變，說明本系統(tǒng)采用的控制策略可以在電機動態(tài)運行情況下準(zhǔn)確的得到虛擬霍爾信號，進而代替實際的電機霍爾信號。

圖27 電機變轉(zhuǎn)速時的霍爾信號波形

4.3 電機切換負載實驗

電機切換負載實驗是為了驗證所選控制策略在電機的實際負載變動情況下，系統(tǒng)的抗干擾能力。

圖28為電機的轉(zhuǎn)速波形，從圖中可以看出電機的估算轉(zhuǎn)速波形基本平穩(wěn)，沒太大的波動，圖29為電機的轉(zhuǎn)速誤差波形，可以看出誤差波形較小。

圖28 切換負載時的電機轉(zhuǎn)速波形

圖29 切換負載時的電機轉(zhuǎn)速誤差波形

圖30和圖31為電機的相電流和局部電流波形圖，從兩者的分析來看，電機的10s左右切入負載，電流隨之升高到額定電流3.6A左右，電流波形的端部較為平整，則說明電機的運行狀態(tài)穩(wěn)定，在動態(tài)情況下仍然可以實現(xiàn)無位置傳感器的準(zhǔn)確運行，說明本系統(tǒng)具有一定的抗負載擾動性能。

圖30 切換負載時的電機相電流波形

圖31 切換負載時的電機相電流局部波形

5 結(jié) 論

實驗驗證了所提的基于擴展卡爾曼濾波觀測器的控制策略可以實現(xiàn)無刷直流電機的狀態(tài)觀測，并能將觀測數(shù)值應(yīng)用于無位置傳感器控制，并且基于擴展卡爾曼濾波觀測器無位置控制系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)態(tài)與動態(tài)性能，電機能夠適應(yīng)轉(zhuǎn)速和負載的突變。