直觀想象視域下的空間幾何體的外接球問題＊

■陸享飛

研究多面體的外接球問題，既要運用多面體的知識，又要運用球的知識。試題多是相對靈活的中檔問題，解題的關(guān)鍵是確定想象出球與多面體的位置關(guān)系，以及找出外接球的球心。

一、重視文字語言、圖形語言和符號語言的理解，提升直觀想象核心素養(yǎng)

例1如圖1所示，在三棱錐V-ABC中，∠VAC=∠VBC=90°，VC=6，求三棱錐的外接球的體積。

圖1

解析：依題意可知△VAC與△VBC是有公共斜邊的直角三角形，據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OA=OV=OC=OB。則球心為VC的中點O，外接球的半徑為3。所以。

評注：空間想象能力是對空間形式的觀察、分析、抽象的能力，主要表現(xiàn)為識圖、畫圖和對圖形的想象能力。識圖是指觀察研究所給圖形中幾何元素之間的相互關(guān)系。解題時并不需要我們畫出球，而應(yīng)想象出球與三棱錐的位置關(guān)系。

二、重視與平面圖形知識的聯(lián)系，突出化歸的數(shù)學思想

例2在平行四邊形ABCD中，∠CBA=120°，AD=4，對角線，將其沿對角線BD折起使平面ABD⊥平面BCD，若四面體ABCD的頂點在同一球面上，則該球的體積為多少?

圖2

解析：如圖2所示，由已知∠A=60°，AD=4，，由余弦定理可解得AB=2，故AB⊥BD。由平面ABD⊥平面BCD，可得AB⊥平面BCD，則AB⊥BC，AB⊥CD。所以CD⊥面ABD，則△ABC與△ACD是以AC為直角邊的直角三角形。所以AC即為球的直徑，則R=。所以。

評注：折疊類問題對于同學們而言是個難點，故應(yīng)認真分析折疊前后哪些量變、哪些量不變，平面圖形的性質(zhì)要會用。題中有線面垂直，所以可從線面垂直中抽象出線線垂直，從而轉(zhuǎn)化為四個頂點分布在有一公共斜邊的兩直角三角形問題，即球心為斜邊的中點。

三、形成良好的數(shù)學思維習慣，提升直觀想象核心素養(yǎng)

例3有一個三棱錐的六條棱分別是兩兩為，求這個三棱錐的表面積。

解析：觀察長度為三棱錐的棱長，故有兩個直角三角形。本題三棱錐圖形的放置很關(guān)鍵，應(yīng)該盡量找到垂直底面的側(cè)棱。

如圖3所示，AB=CD=3，AC=AD=2，BC=BD=1，則AB⊥面BCD，△BCD是等腰三角形，底面圓的半徑為1，球心到底面圓心的距離為。R2=1+，則。

圖3

評注：本題圖形位置的擺放很重要。對圖形的想象主要包括有圖想圖和無圖想圖兩種，是空間想象能力高層次的標志。以形輔數(shù)，可以讓同學們借助恰當?shù)膱D形去思考并解題。在幾何直觀視域下培養(yǎng)同學們的推理與解題能力，需理解圖形的特征，把握圖形的本質(zhì)，畫好示意圖，把握問題的本質(zhì)。