自由段彈道目標(biāo)跟蹤算法在工程中的應(yīng)用

李啟飛，吳 芳，范趙鵬

（1.91550部隊(duì)，遼寧大連116000；2.海軍航空大學(xué)，山東煙臺(tái)264001；3.91001部隊(duì)，北京100000）

彈道目標(biāo)跟蹤是彈道防御系統(tǒng)中極其重要的任務(wù)之一[1-3]，跟蹤的精度將直接影響彈道預(yù)報(bào)初值點(diǎn)的精度，會(huì)影響彈道的攔截[4-5]。因此，對(duì)目標(biāo)精確跟蹤是當(dāng)前雷達(dá)技術(shù)領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)和難點(diǎn)。與助推段和再入段相比，彈道目標(biāo)自由段防御具有更加重要的地位[5]，其優(yōu)點(diǎn)主要有：防御面積大，可以節(jié)省大量的兵力；攔截時(shí)間長(zhǎng)，可實(shí)施多次攔截。但在大氣層以外飛行，受地球引力的作用，彈道目標(biāo)的自由防御段難以進(jìn)行有效的機(jī)動(dòng)。且彈道相對(duì)單一，彈頭從彈體分離后常呈現(xiàn)加速飛行的特點(diǎn)[6-7]。因此，彈道目標(biāo)自由段防御的軍事研究?jī)r(jià)值顯得尤為重要。

本文主要研究自由段的彈道目標(biāo)跟蹤問題，在這個(gè)階段，目標(biāo)在大氣層外運(yùn)動(dòng)，空氣阻力和其他攝動(dòng)力可以忽略，僅考慮地球引力作用[8]。通常來(lái)說目標(biāo)飛行平穩(wěn)，僅有某些先進(jìn)的目標(biāo)可以進(jìn)行些小的機(jī)動(dòng)[9-10]。彈道目標(biāo)的跟蹤是一個(gè)連續(xù)的非線性濾波過程，其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)非線性、量測(cè)非線性。傳統(tǒng)的彈道目標(biāo)跟蹤方法，利用擴(kuò)展卡爾曼濾波器（EKF）進(jìn)行非線性濾波[9]，但是本文選取自適應(yīng)跟蹤模型[11-13]，其可以將機(jī)動(dòng)加速度轉(zhuǎn)化為一個(gè)不相關(guān)的白噪聲。此時(shí)，用卡爾曼濾波（KF）即可獲得較好的跟蹤效果，而無(wú)須采用擴(kuò)展卡爾曼再次對(duì)目標(biāo)量測(cè)模型進(jìn)行線性化，從而簡(jiǎn)化算法，減少運(yùn)算時(shí)間。為了驗(yàn)證算法性能，本文中采用Singer和當(dāng)前統(tǒng)計(jì)（CS）2種自適應(yīng)跟蹤模型結(jié)合卡爾曼濾波進(jìn)行目標(biāo)跟蹤，與擴(kuò)展卡爾曼濾波進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證。

1 基于Singer-KF的跟蹤濾波算法

為了更好地對(duì)彈道目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，這里采用比較精確的包含地球形狀動(dòng)力學(xué)系數(shù)J2項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)橢球地球重力模型[14-16]，并將其和Singer算法相結(jié)合解決彈道目標(biāo)跟蹤問題。

在雷達(dá)站ENU坐標(biāo)系下的目標(biāo)動(dòng)力學(xué)模型為：

設(shè)B 為雷達(dá)站大地緯度，φ 為雷達(dá)站地心緯度，則地心緯度與大地緯度間的轉(zhuǎn)換關(guān)系式為：

式（3）中：a、b 分別為地球橢圓長(zhǎng)半軸、短半軸，且a=6 378 137 m，b=6 356 755 m。

令θ=B-φ，則

式（4）中，ρ=re+z，z 為ENU坐標(biāo)系下的z 軸數(shù)據(jù)，而

這 里 ， ω 為 地 球 自 轉(zhuǎn) 角 速 度 ，且ω=7.27×10-5rad/s。

彈道目標(biāo)的狀態(tài)方程為：

且

式（8）、（9）中：0 為3×3的全零矩陣，T 為采樣間隔，α是機(jī)動(dòng)時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)，即機(jī)動(dòng)頻率，而

可得狀態(tài)的一步預(yù)測(cè)為：

狀態(tài)預(yù)測(cè)值的估計(jì)誤差：

協(xié)方差的一步預(yù)測(cè)：

式（13）中，過程噪聲協(xié)方差矩陣為：

式（14）中：

式（15）中：σ2

m是目標(biāo)的加速度方差。而

對(duì)于機(jī)動(dòng)加速度方差σ2

m，可由下式獲得：

式（17）中：pM為目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度等于極大值aM或極小值-aM的概率p0為非機(jī)動(dòng)概率（機(jī)動(dòng)加速度等于0的概率），機(jī)動(dòng)加速度在區(qū)間[ ]-aM,aM上近似服從均勻分布。

量測(cè)值的進(jìn)一步預(yù)測(cè)

式中，量測(cè)矩陣H(k+1)為：

新息協(xié)方差為：

式中，R(k+1)為ENU 直角坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換量測(cè)噪聲協(xié)方差矩陣。

增益為：

狀態(tài)更新方程為：

式（23）中：I 為9×9的單位陣。

須要強(qiáng)調(diào)的是，運(yùn)動(dòng)模型是在ENU 直角坐標(biāo)系下，量測(cè)模型是在雷達(dá)站極坐標(biāo)下，跟蹤濾波過程需要進(jìn)行坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換[8]。

2 基于CS-KF的跟蹤濾波算法

該算法采用修正瑞利分布來(lái)描述機(jī)動(dòng)加速度的統(tǒng)計(jì)特性，所假設(shè)的分布具有分布隨均值變化而變化，方差由均值決定的優(yōu)點(diǎn)[17]。因此，算法在估計(jì)目標(biāo)狀態(tài)的同時(shí)，還可辨識(shí)出機(jī)動(dòng)加速度均值，從而實(shí)時(shí)地修正加速度分布，并通過方差反饋到下一時(shí)刻的濾波增益中，實(shí)現(xiàn)了閉環(huán)自適應(yīng)跟蹤。

設(shè)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程為：

式（24）中，F(xiàn)(k)如式（8）所述，G(k)為輸入控制矩陣，即

該算法的一步預(yù)測(cè)方程為：

其余跟蹤步驟同第1節(jié)。

3 自適應(yīng)模型下EKF濾波算法

跟前文一樣，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可選擇用Singer 或者CS模型，這里選擇用EKF進(jìn)行濾波。

量測(cè)方程為：

式（29）中，

V(k)是離散時(shí)間白噪聲序列，且

與其相伴的協(xié)方差（近似的均方誤差）為：

其中，雅可比矩陣[18]為：

增益為：

狀態(tài)更新方程為：

協(xié)方差更新方程為：

4 仿真及結(jié)果分析

設(shè)關(guān)機(jī)點(diǎn)目標(biāo)的經(jīng)度為0°，緯度為0°，高度為80 km，在地心地固坐標(biāo)系下三軸上的速度分量均為3 km/s。雷達(dá)站經(jīng)緯度為東經(jīng)1.5°，北緯9.5°，大地高程0 m，雷達(dá)探測(cè)頻率1 Hz，采樣時(shí)間860 s，雷達(dá)的測(cè)距誤差均方差為6 m，方位和俯仰測(cè)角誤差均方差為0.001 4 rad，通過給定的誤差均方差，基于高斯分布模型隨機(jī)產(chǎn)生各觀測(cè)時(shí)刻距離、方位角誤差數(shù)據(jù)，并疊加于仿真彈道，生成的雷達(dá)對(duì)彈頭的測(cè)量數(shù)據(jù)，如圖1 所示。Singer 模型中選取參數(shù)α=1 000 ，aM=100，pM=0.6，p0=0.2，ENU 坐標(biāo)系下分別采用Singer模型結(jié)合卡爾曼濾波和擴(kuò)展卡爾曼濾波對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，為更清晰顯示濾波結(jié)果，選取其中401～450 s 測(cè)量時(shí)間段內(nèi)的50 個(gè)跟蹤步數(shù)進(jìn)行放大顯示，如圖2 所示。CS 模型中選取參數(shù)α=0.1，aM=100，ENU坐標(biāo)系下采用CS模型結(jié)合卡爾曼濾波和擴(kuò)展卡爾曼濾波的跟蹤結(jié)果（401～450 s）如圖3所示。

圖1 雷達(dá)對(duì)彈頭的測(cè)量數(shù)據(jù)圖Fig.1 Radar measurement data map of warhead

圖2 Singer-KF與Singer-EKF的放大濾波圖Fig.2 Enlarged filter map of Singer-KF and Singer-EKF

圖3 CS-KF與CS-EKF的放大濾波圖Fig.3 Enlarged filter diagram of CS-KF and CS-EKF

由圖2、3可以看出，2種自適應(yīng)模型與兩種濾波算法相結(jié)合后都能取得較好的濾波效果。

為了分析比較2 種濾波方式的濾波精度，本文選取位置均方根誤差（RMSE）作為衡量參數(shù)，圖4 顯示的是50個(gè)跟蹤步驟中Singer-KF與Singer-EKF的位置均方根誤差的對(duì)比，圖5 顯示的是50 個(gè)跟蹤步驟中CS-KF與CS-EKF位置均方根誤差的對(duì)比。仿真結(jié)果表明，與自適應(yīng)算法結(jié)合后，卡爾曼濾波精度與擴(kuò)展卡爾曼濾波精度基本一致。

圖4 Singer-KF與Singer-EKF的RMSE放大圖Fig.4 RMSE enlarged drawing of Singer-KF and Singer-EKF

圖5 CS-KF與CS-EKF的RMSE的放大圖Fig.5 Enlarged RMSE of CS-KF and CS-EKF

表1 2種算法下的單步耗時(shí)比較Tab.1 Comparision of single step time between the two algorithms

4 結(jié)論

本文基于工程需要研究了自由段彈道目標(biāo)的跟蹤問題。通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，KF、EKF 2 種濾波方式分別與自適應(yīng)跟蹤模型相結(jié)合后，KF 濾波可以達(dá)到與EKF 濾波幾乎相同的濾波效果，但其算法簡(jiǎn)單、運(yùn)算時(shí)間短，可以較好滿足自由段彈道目標(biāo)跟蹤的工程需求。另外，本文采用的是仿真測(cè)量數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)測(cè)量較為理想，在實(shí)際彈道跟蹤問題的解決中還需要針對(duì)部分時(shí)刻測(cè)量數(shù)據(jù)的缺失以及虛假干擾數(shù)據(jù)信息進(jìn)行特殊算法處理，從而更好地解決自由段彈道目標(biāo)的跟蹤問題。