在核心問題的引領下

張春新

摘要：復習課教學內容面廣量大，過細、過散、過淺、過窄的問題往往會導致學生的思維膚淺、單一，而好的問題，特別是好的“核心問題”，能起到引領和推進的作用。《“平面圖形的面積”總復習課》，通過三個核心問題的引領，讓學生的認識和思維更加深刻。

關鍵詞：核心問題復習課《“平面圖形的面積”總復習課》

復習課教學內容面廣量大，如果“眉毛胡子一把抓”，過細、過散、過淺、過窄的問題往往會導致學生思維膚淺、單一，而好的問題，特別是好的“核心問題”，能起到引領和推進的作用。教學“平面圖形的面積”總復習課，如何讓學生在夯實平面圖形面積計算方法的基礎上抓住計算的本質，促使他們的認識和思維更加深刻？我嘗試通過三個核心問題的引領來實現(xiàn)這樣的教學追求。

一、在核心問題的引領下感悟本質

【片段1】

（學生交流長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓的面積公式推導過程。）

師回顧這些平面圖形的學習過程，我們先學習的是什么圖形的面積計算？

生長方形和正方形。

師大家有沒有想過，為什么我們先學習長方形、正方形的面積計算，再學習平行四邊形、三角形、梯形的面積計算，最后才學習圓的面積計算呢？可不可以調換一下順序呢？大家小組交流一下。

（學生小組內熱烈地交流。）

生長方形的面積計算最簡單。

生長方形四個角都是直角，其他圖形不是。

生單位面積是邊長1厘米的小正方形的面積，長方形可以直接用這些小正方形去擺，從而算出面積，其他圖形不行。

生（邊說邊在黑板上畫）是的，長方形可以用邊長1厘米的小正方形去擺，看看沿著長可以擺幾個，沿著寬可以擺幾排;每排小正方形的個數(shù)×排數(shù)=總的小正方形的個數(shù)，也就是長方形的面積。而其他平面圖形，比如平行四邊形，用小正方形就不能正好擺滿。

生我知道了，所以我們先學長方形的面積計算，用擺小正方形的方式推導出長方形的面積公式;再學習平行四邊形、三角形、梯形的面積計算，它們不好用小正方形去擺，可以用轉化的策略轉化成學過的長方形來計算。

學生以前是一個圖形接著一個圖形學，現(xiàn)在回過頭一看：為什么先學習長方形的面積計算？可不可以先學習其他圖形呢？學生會非常好奇，會激起思考和探究的欲望。這個問題實際上是學生思維的盲點，同時又是學習平面圖形面積計算的核心問題。抓住了它，就抓住了平面圖形面積計算的本質，即圖形中所含面積單位（小正方形）的個數(shù)。通過對這一核心問題的思考，牽一發(fā)而動全身，學生不但知道了為什么要先學習長方形的面積計算，而且對為什么要將后面學習的平面圖形轉化成已經學過的圖形有了更加深刻的認識。

這樣，通過“瞻前”——對“為什么先學習長方形的面積計算”這一核心問題的探尋，讓學生回到原點思考，從源頭抵達知識的本質。同時也為“顧后”——體積度量本質的理解做了知識和方法上的鋪墊。

二、在核心問題的引領下整體建構

（一）以長方形的面積計算為基礎整體建構，感受由易到難的過程

【片段2】

師通過回顧，我們知道了長方形的面積公式是學習其他平面圖形面積計算的基礎，這6種圖形之間是有聯(lián)系的。你能用圖表示出它們之間的聯(lián)系嗎？

（學生分組整理，典型的整理結果有兩種，分別如圖1、圖2。）

生（邊指圖1邊說）我們小組是這樣梳理的：長方形的面積由數(shù)含有小正方形的個數(shù)獲得，是計算其他平面圖形面積的基礎，所以將長方形畫在最下面;由長方形的面積公式推導出了正方形、平行四邊形、圓的面積公式，將

這3種圖形畫在第2層;再由平行四邊形的面積公式推導出了三角形和梯形的面積公式，將三角形和梯形畫在最上層。

生我來補充一下：從上往下看，就是三角形、梯形是通過轉化成平行四邊形推導出面積公式的，平行四邊形、圓是通過轉化成長方形推導出面積公式的;它們都不能直接用小正方形去擺、去數(shù)，都運用了轉化的方法。

生（邊指圖2邊說）我們是這樣整理的：將其他5種平面圖形都轉化成長方形來推導。

生我來補充：雖然我們小組之間轉化的圖形不一樣，但共同的地方都是轉化成已經學過的圖形來推導面積公式，都是以長方形的面積公式為基礎來轉化的。

……

通過對“為什么先學習長方形的面積公式”這一核心問題的探尋，學生從本質上理解了長方形的面積計算是其他平面圖形面積計算的基礎。這時，再讓學生通過思維導圖來梳理各個圖形面積之間的聯(lián)系，融入自己的認知圖式。

（二）以梯形的面積計算為中心整體建構，感受化繁為簡的過程

【片段3】

師前面我們以長方形的面積公式為基礎推導出了其他5種平面圖形的面積公式，是由易到難。（板書：由易到難）我們還能化繁為簡，（板書：化繁為簡）把這6種圖形的面積公式都用梯形的面積公式來表示，大家相信嗎？

（學生都露出不相信的神情。）

師不相信？看著圖形想一想：可以把這些平面圖形看作怎樣的梯形？

（課件展示動態(tài)過程：梯形下底不變，上底慢慢縮短，變成三角形;上底慢慢延長，變成平行四邊形……學生交流討論。）

生三角形可以看作上底為0的特殊梯形。

（教師同步定格課件于圖3。）

生平行四邊形可以看作上底a和下底b相等的特殊梯形。

（教師同步定格課件于圖4。）

生長方形可以看作上底a和下底b相等，且上底a、下底b與腰h分別垂直的特殊梯形。（教師同步定格課件于圖5。）

生正方形可以看作上底、下底和腰相等，即a=b=h，且a、b與h分別垂直的特殊梯形。

（教師同步定格課件于圖6。）

生圓可以看作上底為0，下底為圓的周長（即2πr），高為圓的半徑（即r）的特殊梯形。

師圓是封閉的曲線圖形，你是怎樣想的？

生我們之前學習圓的面積計算時，是把圓割成“小三角形”，然后拼成“平行四邊形”計算的。這里，我將圓割、拼成“大三角形”，然后將圓心（長度為0）看成梯形的上底，將圓的一周（長度為2πr）拉直，看成梯形的下底，這時半徑r就是梯形的高。

師真不簡單，能化曲為直，將圓看作這樣的特殊梯形，真是愛動腦筋的孩子！那么，這些平面圖形的面積能用梯形的面積公式計算嗎？要怎么做？

生用梯形的面積公式算算看。

師好，每人選一個平面圖形算算看。計算好后，仔細觀察。你發(fā)現(xiàn)了什么？在小組內交流各自的發(fā)現(xiàn)。

（學生計算、觀察、交流。）

生我選的是三角形。用梯形的面積公式計算：（0+a）×h÷2=a×h÷2，和用三角形的面積公式算一樣。所以三角形的面積可以用梯形的面積公式計算。

生我選的是平行四邊形。用梯形的面積公式計算：（a+a）×h÷2=a×h，和用平行四邊形的面積公式算一樣。所以平行四邊形的面積可以用梯形的面積公式計算。

生平行四邊形的面積可以用梯形的面積公式計算，長方形、正方形是特殊的平行四邊形，所以不需要計算就知道長方形和正方形的面積也可以用梯形的面積公式計算。

生我選的是圓。用梯形的面積公式計算：（0+2πr）×r÷2=πr2 。所以圓的面積也可以用梯形的面積公式計算。

生（展示圖7）圓也可以近似等積變形為梯形，所以圓的面積可以用梯形的面積公式計算。

師現(xiàn)在你們想說——

生梯形的面積公式真神奇呀！好多平面圖形的面積都可以用它來計算。

緊扣“6種平面圖形的面積都可以用梯形的面積公式來計算嗎？”這一核心問題展開探究，通過課件展示梯形（下底和高不變）上底和腰的動態(tài)變化過程，讓學生感受到其他平面圖形與梯形的緊密聯(lián)系，進而通過深入探究將梯形的面積公式與其他圖形的面積公式相勾連，感受化繁為簡的數(shù)學魅力。

這樣由易到難、化繁為簡的整體建構，不再只是知識的整體建構，同時也是思維的整體建構。

三、在核心問題的引領下反思提升

【片段4】

師（出示圖8、圖9）大正方形的邊長a為10厘米，那么兩個圖形中陰影部分的面積相等嗎？為什么？

（學生小組合作，討論探究。）

生圖8中陰影部分的左邊雖然是三角形，但它的底、高都不知道，也很難求出;右邊可用四分之一圓的面積減去下面空白小三角形的面積，但下面空白小三角形的高不知道，所以也不好求出。所以我們小組思考能不能用轉化的方法，把復雜的圖形轉化成簡單的圖形。

生我們發(fā)現(xiàn)，圖8左邊大梯形ABCF的面積等于空白大三角形ABE的面積：左邊大梯形ABCF的面積是（a+b）×b÷2，空白大三角形ABE的面積也是（a+b）×b÷2。而空白小梯形ABGF是它們公共的，那么△CBG的面積等于△EFG的面積。把△CBG的面積移到△EFG上，整個陰影部分的面積就等于四分之一圓的面積。這樣就把復雜的陰影部分圖形轉化成簡單的四分之一圓了，就很好算了。

生圖9也可以將復雜的陰影部分圖形轉換成簡單的圖形?？瞻状笕切蜛DF的面積是（a+a）×a÷2=a2，正方形ABEF的面積是a2，故空白大三角形ADF的面積等于正方形ABEF的面積。而空白梯形AFEG是它們公共的，那么△ABG的面積等于△EDG的面積，將△ABG的面積移到△EDG上，這樣陰影部分的面積就等于四分之一圓的面積了。

生兩幅圖中陰影部分的面積都等于四分之一圓的面積，而圓的半徑都是10厘米，故圓的面積相等，四分之一圓的面積相等，兩幅圖中陰影部分的面積也就相等。

師你們真不簡單！在常規(guī)方法無法解決問題的情況下，想到了運用轉化的策略來解決。

生我們是從之前平面圖形面積公式推導的過程得到的啟示：在推導平行四邊形、三角形、梯形等的面積公式時，都是轉化成我們已經學過的簡單的圖形來推導的。

生是的，在難以直接計算較復雜的平面圖形的面積時，我們可以換一種思路，看看能不能將較復雜的不規(guī)則平面圖形轉化成簡單的規(guī)則平面圖形來計算。

……

面對“陰影部分的面積相等嗎？”這一核心問題，常用的整分法（大面積減去多余的小面積）和分割法（將復雜的不規(guī)則圖形分割成幾個小的規(guī)則圖形）都無法或難以解決，思維困境激發(fā)了學生進一步挑戰(zhàn)的欲望和動力。學生進一步思考，想到運用轉化的策略將復雜的陰影部分轉化成簡單的圖形。怎樣轉化呢？學生小組內繼續(xù)思考，積極尋求圖形之間的關系，發(fā)現(xiàn)了面積相等的圖形，從而將陰影部分的一小部分移到與之面積相等的空白部分上，轉化得到簡單圖形（四分之一圓），使問題迎刃而解。

本節(jié)課中的三個核心問題，一方面使得那些與核心問題無關的多余環(huán)節(jié)、無效程序被刪除，課堂變得寬松，教學變得從容，學生也贏得了更多獨立學習的時空，從而更能沉下心來思考;另一方面引領學生經歷了由易到難、化繁為簡的整體建構，體會到運用轉化策略解決問題的深度思考的喜悅，促使他們的認識和思維更深刻。