基于數(shù)學核心素養(yǎng)的單元教學研究實踐探索

張紫茵

【摘? 要】數(shù)學單元教學是在整體思維指導下，對單元整體內(nèi)容進行重組和優(yōu)化，從而形成相對獨立、動態(tài)的教學設計。本文以《三角函數(shù)公式的認知與應用》為例，對數(shù)學單元教學進行分析。

【關鍵詞】高中數(shù)學;單元教學;三角函數(shù)

數(shù)學單元教學設計，就是在整體思維指導下，旨在提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，通過教學團隊的合作，統(tǒng)籌重組和優(yōu)化相關教學內(nèi)容，再將優(yōu)化后的教學內(nèi)容作為一個相對獨立的教學單元，這樣做的目的是突出數(shù)學教學內(nèi)容的主線以及知識間的聯(lián)系性。數(shù)學單元教學設計是對教學單元整體進行循環(huán)改進的動態(tài)教學設計。單元教學的關鍵環(huán)節(jié)：一是確定單元內(nèi)容、二是分析教學要素、三是設計教學流程、四是分析教學資源、五是評價反思與修改。下面，我以人教A版高中數(shù)學必修第一冊《三角函數(shù)公式的認知與應用》為例，進行單元教學研究。

一、確定單元內(nèi)容

本單元教學內(nèi)容及課時安排如下：單元分講一：三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)關系、誘導公式，共4課時。單元分講二：兩角和與差的正弦、余弦和正切公式、二倍角的正弦、余弦和正切公式，共3課時。單元分講三：簡單的三角恒等變換，共3課時。

二、分析教學要素

（一）數(shù)學分析

本單元的數(shù)學要點有以下幾點：1.在直角坐標系中研究角的意義、通過公式的推導、了解公式的來源，掌握它們之間內(nèi)在聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的規(guī)律。2.在推導過程中，進一步形成嚴密而準確的數(shù)學思維方法，掌握變量替換、構造法等思想方法，以及用已知解決未知問題的化歸數(shù)學思想。3.正確、熟練、靈活地運用公式進行求值、化簡、證明。

（二）分析教學要素——課標分析

1.三角函數(shù)的概念：借助單位圓理解任意角三角函數(shù)的定義，推導出誘導公式。2.同角三角函數(shù)的基本關系式：理解同角三角函數(shù)的基本關系式。3.三角恒等變換。（1）經(jīng)歷推導兩角差余弦公式的過程，知道兩角差余弦公式的意義。（2）能從兩角差余弦公式推導出兩角和與差的三角公式，二倍角公式，了解內(nèi)在聯(lián)系。（3）能運用上述公式進行簡單的恒等變換。

（三）分析教學要素——學情分析

具備：本單元學習認知基礎是前面建立的函數(shù)一般概念，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的研究經(jīng)驗。另外還有圓的有關知識。

欠缺：在三角函數(shù)中，影響單位圓上點的坐標變化因素較多，是“[α]”與“ [x]，[y]直接對應”，與學生已有經(jīng)驗距離較大，學生從聯(lián)系觀點看問題的經(jīng)驗不足。

（四）分析教學要素——重難點分析

教學重點分析：1.任意角三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)關系。2.利用圓的對稱性探究誘導公式，運用誘導公式進行簡單三角函數(shù)式的求值、化簡與恒等式的證明。3.利用圓的旋轉(zhuǎn)對稱性推導兩角差的余弦公式，兩角和與差的三角函數(shù)的其他公式與其內(nèi)在聯(lián)系。

教學難點分析：1.三角函數(shù)的定義方式的理解。2.發(fā)現(xiàn)圓的對稱性與三角函數(shù)的聯(lián)系。3.發(fā)現(xiàn)圓的旋轉(zhuǎn)對稱性與兩角和（差）余弦公式的聯(lián)系，認識三角恒等變換的特點。

（五）分析教學要素——教材分析

與按照《標準（2003年版）》編寫教科書相比，該單元內(nèi)容有如下一些變化：1.三角函數(shù)的定義：直接從建立周期現(xiàn)象的數(shù)學模型出發(fā)，利用單位圓上點坐標定義三角函數(shù)，然后再建立與銳角三角函數(shù)的聯(lián)系，刪除三角函數(shù)線;2.誘導公式：通過把圓的對稱性“代數(shù)化“，獲得誘導公式;3.三角恒等變換：一以貫之地強調(diào)單位圓的作用，利用圓的對稱性導出兩角差的余弦公式。

三、設計教學流程

下面以《三角函數(shù)的概念》為例，進行教學流程設計。

（一）創(chuàng)設情境，引出主題

問題：已知摩天輪的中心離地面的高度為[h]0 ，它的直徑為2[r]，逆時針做勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動一周需要360 秒，若現(xiàn)在你坐在座艙中，從初始位置點[A]出發(fā)，求相對于地面的高度[h]與時間[t]的函數(shù)解析式。

問題1：這種運動如何通過數(shù)學模型來刻畫？如果我們先從特殊情形入手。例如，過了20s后，此時人距離地面的高度是多少？

問題2：你能試著闡釋這個數(shù)學式子嗎？

問題3：隨著摩天輪的轉(zhuǎn)動，從銳角推廣到了任意角。如何定義任意角[α]？

設計意圖：通過實際問題引入任意角三角函數(shù)概念，突出研究問題的“周期性”特點，為給出三角函數(shù)的定義做好準備。

（二）概念生成、理解定義

問題：當點[P]在圓周上運動時，[∠POA]隨之變化，任一個[∠POA]，對應著唯一點[P]，進而有唯一[MP]，得到：[sint±MPr]。能否用一個量去代[±MP]，使上述表示形式更簡單？

設計意圖：引導學生將坐標系引入到任意角三角函數(shù)的定義中。

以單位圓的圓心[O]為原點，以射線[OA]為[x]軸的非負半軸，建立直角坐標系，點[A]的坐標為（1，0），點[P]的坐標為（[x]，[y]）。射線[OA]從[x]軸的非負半軸開始，繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角[α]，終邊位置為[OP]。

（1）當[α]=[π6]或[π2]或[2π3]時，點[P]的坐標是什么？

（2）利用信息技術，任意畫一個角[α]，觀察終邊[OP]與單位圓的交點P的坐標，有什么發(fā)現(xiàn)？

設計意圖：通過實例，由特殊到一般，使學生理解三角函數(shù)的對應關系。

問題（1）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的對應關系分別是什么？問題（2）符號sinα，cosα，tanα分別表示什么？以往的學習中有類似的引入特定符號表示一種量的經(jīng)歷嗎？問題（3）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義域分別是什么？

設計意圖：在“問題串”引導下，使學生明確三角函數(shù)的“三要素”，引導學生理解三角函數(shù)符號的意義。

問題：初中我們學習銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)。設x∈（0，[π2]），把按銳角三角函數(shù)定義求得的銳角[x]的正弦記為[z]1，并把按本節(jié)三角函數(shù)定義求得的[x]的正弦記為[y]1。[z]1和[y]1相等嗎？對于余弦和正切也有相同的結(jié)論嗎？

設計意圖：建立銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)的聯(lián)系，讓學生體會兩個定義的和諧性。

（三）概念運用，典例示范

例1.利用三角函數(shù)的定義求[5π3]的正弦、余弦和正切值。

設計意圖：通過概念的簡單應用，明確用定義求三角函數(shù)值的基本步驟。

例2，設[α]是一個任意角，它的終邊上任意一點P（不與原點O重合）的坐標為（x，y）。點P與原點的距離為r。求證：sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。

追問：例2給出了任意角三角函數(shù)的另外一種定義，而且這種定義與已知定義是等價的。你能用嚴格的數(shù)學語言敘述一下這種定義嗎？

設計意圖：加強學生對三角函數(shù)定義的理解。

（四）及時反饋，目標檢測

已知角θ的終邊過點P（-12，5），求角θ的三角函數(shù)值。

設計意圖：考查學生對三角函數(shù)定義的理解情況。

（五）小結(jié)提升，布置作業(yè)

作業(yè)：完成本節(jié)學案。

小結(jié)：讓學生回味本節(jié)課生成知識和應用的方法，積累數(shù)學知識和活動經(jīng)驗。

四、分析教學資源

教師在本單元教學活動的實施過程中運用了GGB軟件。利用信息技術建立任意角、角的終邊與單位圓的交點、角的旋轉(zhuǎn)量、交點坐標等之間的關聯(lián)，加強學生對單位圓上點的坐標隨角（圓心角）變化而變化的直觀感受。

五、結(jié)語

單元教學評價標準有三點：一、全面了解學生單元數(shù)學學習的歷程和成效;二、發(fā)現(xiàn)和發(fā)展學生的數(shù)學潛能、激勵學生的數(shù)學學習;三、對數(shù)學學習的“知識與技能”“過程與方法”“情感、態(tài)度與價值觀”進行全面評價。全面評價學生在本單元數(shù)學學習中的學習態(tài)度、知識和技能掌握、數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展等情況。單元教學設計應以立德樹人為根本任務，站在數(shù)學課程標準和數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培育高度下，以培養(yǎng)學生四基，提升四能為根本目的，做到把握數(shù)學本質(zhì)，優(yōu)化課堂結(jié)構。

參考文獻：

[1]張靜.核心素養(yǎng)下的高中數(shù)學課堂教學[J].數(shù)學大世界（下旬），2019（6）.

（責任編輯? 范娛艷）