基于渦致振動(dòng)的內(nèi)置壓電懸臂梁柔性圓管能量收集結(jié)構(gòu)的數(shù)值模擬

李 莉，林杉杉，王金亮，安然然，路晨賀

(沈陽化工大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，沈陽 110142)

圓柱繞流現(xiàn)象是一種普遍的自然現(xiàn)象，當(dāng)流體流經(jīng)圓柱等非流線型結(jié)構(gòu)時(shí)，會(huì)在其尾流區(qū)產(chǎn)生交替脫落的漩渦，進(jìn)而產(chǎn)生周期作用在結(jié)構(gòu)上的力，使結(jié)構(gòu)體產(chǎn)生周期性的運(yùn)動(dòng)，即渦致振動(dòng)。當(dāng)結(jié)構(gòu)自身的固有頻率與漩渦的脫渦頻率接近時(shí)，會(huì)產(chǎn)生共振(鎖頻)現(xiàn)象，這會(huì)使得結(jié)構(gòu)振幅急劇變大，從而可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)體斷裂等破壞現(xiàn)象。長期以來，科研人員一直在研究如何抑制這種現(xiàn)象的發(fā)生。例如，陳威霖等[1]對(duì)小間距比的串列雙圓柱的渦致振動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值模擬，劉巨保等[2]研究了不同的間距比和排列方式的雙圓柱的流致振動(dòng)情況，研究結(jié)果均表明串列雙圓柱之間的間距對(duì)于圓柱的振動(dòng)狀態(tài)有很大的影響。但是近年來，利用渦致振動(dòng)現(xiàn)象進(jìn)行能量收集得到了科學(xué)界的重視。中外一些研究者對(duì)基于渦致振動(dòng)的壓電俘能器進(jìn)行了探索性研究。其中Taylor等[3]提出了“鰻魚”(EEL)結(jié)構(gòu)，即利用PVDF壓電膜制備的壓電能量收集器，最高可以產(chǎn)生從微瓦到1 W級(jí)電量，能量的收集效率可以達(dá)到37%，從而證明了利用渦致振動(dòng)進(jìn)行壓電能量收集的實(shí)際可行性。Abdelkefi等[4]研究了基于渦致振動(dòng)的硬質(zhì)圓柱的能量收集結(jié)構(gòu)，結(jié)果表明輸出電壓隨施加負(fù)載電阻的增大而增大。宋汝君等[5]提出了將壓電懸臂梁與圓柱末端進(jìn)行連接的壓電俘能器，并對(duì)其進(jìn)行了建模和實(shí)驗(yàn)研究，得出了在外接電阻為0.5 MΩ，流速為0.41 m/s時(shí)輸出最大功率為8.3 μW。張敏等[6]提出了一種雙晶壓電臂一端連接質(zhì)量塊，一端固定于圓柱底端的水下能量收集裝置，并在水槽中進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果表明在流速0.816 m/s，外加電阻680 kΩ時(shí)最大輸出功率為6.444 μW。Molino-Minero-Re等[7]對(duì)圓柱外加單懸臂梁的壓電裝置進(jìn)行了水槽內(nèi)渦激振動(dòng)的能量收集實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)研究了不同尺寸的圓柱時(shí)實(shí)驗(yàn)裝置的產(chǎn)能情況，其最大可以產(chǎn)生0.3 μW的電能。雖然已有的研究結(jié)果已經(jīng)證明了渦致振動(dòng)能量收集技術(shù)的可行性，但是其能量收集效率還比較低，因此研究和優(yōu)化壓電能量收集結(jié)構(gòu)，對(duì)提高渦致振動(dòng)能量收集效率具有重要的意義。

對(duì)課題組提出的一種內(nèi)置雙晶壓電懸臂梁的柔性圓管壓電能量收集裝置[8](簡稱柔性圓管)如圖1所示，進(jìn)行了流固耦合以及壓電耦合的數(shù)值模擬。該結(jié)構(gòu)中壓電陶瓷片附著在銅片基板的兩側(cè)構(gòu)成雙晶壓電懸臂梁，并沿軸向(即Z方向)放入柔性輕質(zhì)圓管內(nèi)部。圓管底端固定，上端自由立于流體域內(nèi)，其軸向與來流方向(即X方向)垂直，圓管內(nèi)懸臂梁中性面與水流方向平行。當(dāng)流體繞流圓管產(chǎn)生渦致振動(dòng)時(shí)，柔性圓管在垂直于來流方向(即Y方向)產(chǎn)生周期性的彎曲振動(dòng)，帶動(dòng)圓管內(nèi)壓電懸臂梁振動(dòng)并產(chǎn)生電能。通過數(shù)值計(jì)算和模擬分析了圓管結(jié)構(gòu)參數(shù)及阻流體與柔性圓管間距對(duì)振動(dòng)情況和開路輸出電壓的影響，為實(shí)驗(yàn)研究該結(jié)構(gòu)的能量收集器件提供了理論上的參考。

圖1 壓電能量收集結(jié)構(gòu)簡化模型

1 數(shù)值計(jì)算方法

1.1 渦致振動(dòng)理論分析

渦致振動(dòng)屬于非線性流固耦合運(yùn)動(dòng)，由于柔性圓管內(nèi)部壓電懸臂梁的支撐作用，使得結(jié)構(gòu)沿順流方向的運(yùn)動(dòng)很小，所以順流方向的振動(dòng)可以忽略不計(jì)?？紤]到流固耦合，其流動(dòng)控制方程采用Navier-Stokes(N-S)方程，即：

(1)

式(1)中：U為流體的速度向量;t為時(shí)間;為拉普拉斯算子;ρ為流體的密度;p為流體壓強(qiáng);ν為流體運(yùn)動(dòng)黏度系數(shù);g為重力加速度。

根據(jù)李保慶[9]的研究，柔性圓管在Y方向所受到的力F為

(2)

圓管在流場中的運(yùn)動(dòng)可簡化為質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)，則底端固定上端自由的圓管的振動(dòng)方程為

(3)

式(3)中：m為圓管質(zhì)量；c為阻尼系數(shù)；k為剛度；y為圓管位移。將阻尼系數(shù)進(jìn)行無量綱化，定義相對(duì)阻尼系數(shù)ξ，其表達(dá)式為

(4)

式(4)中：ωn為圓管的固有角頻率，ωn=2πfn，fn為圓管的固有頻率。將式(2)與式(4)代入式(3)可得圓管的振動(dòng)表達(dá)式為

(5)

在對(duì)線性常微分方程進(jìn)行求解時(shí)，假設(shè)其振動(dòng)響應(yīng)為

y=Aysin(ωst+φ)

(6)

(7)

將式(7)代入式(6)，得圓管的振動(dòng)方程：

(8)

由式(8)可以看出圓管的運(yùn)動(dòng)函數(shù)為正弦函數(shù)，且當(dāng)脫渦頻率與圓管的固有頻率相等時(shí)，圓管產(chǎn)生共振，此時(shí)的振幅達(dá)到最大。

1.2 壓電懸臂梁理論分析

根據(jù)圖1，壓電能量收集結(jié)構(gòu)為內(nèi)置雙晶壓電懸臂梁的柔性圓管，懸臂梁選用銅片作為基板，銅片的兩側(cè)為鋯鈦酸鉛壓電陶瓷并聯(lián)結(jié)構(gòu)，壓電懸臂梁的一端固定在柔性圓管的底部。當(dāng)柔性圓管在渦致振動(dòng)的作用下發(fā)生形變時(shí)，懸臂梁也隨之振動(dòng)，由此產(chǎn)生電荷。壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)如圖2(a)所示，其簡化的等效電路如圖2(b)所示。

圖2 壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)及等效電路

根據(jù)Akaydin等[10]的研究，由圖2(b)建立單自由度的壓電能量收集結(jié)構(gòu)的機(jī)電耦合模型：

(9)

2 流固耦合數(shù)值模擬及結(jié)果分析

2.1 單柔性圓管結(jié)構(gòu)參數(shù)的選取

將柔性圓管壓電能量收集結(jié)構(gòu)直接立于流體域中，其底端固定，上端自由，將流體域與結(jié)構(gòu)體模型進(jìn)行相互耦合求解，流固耦合模型圖如圖3所示。

對(duì)不同尺寸的柔性圓管結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值模擬，以確定結(jié)構(gòu)的最佳尺寸，其流固耦合的具體參數(shù)如表1所示。

圖3 單柔性圓管流固耦合模型

表1 柔性圓管與流體域參數(shù)

對(duì)單個(gè)柔性圓管在流體域中的振動(dòng)情況進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)，由于海水的實(shí)際流速一般較低，故選取模擬流速為1.1 m/s，柔性圓管的直徑分別選取0.02、0.03、0.04 m。為了研究柔性圓管高度對(duì)渦致振動(dòng)情況的影響，仿真中設(shè)置圓管高度從0.05 m增加到0.13 m，增量為0.01 m。通過數(shù)值模擬得到各個(gè)圓管的振幅響應(yīng)隨高度的變化情況如圖4所示。

圖4 不同高度和直徑的柔性圓管振幅響應(yīng)

從圖4中可以看出，在數(shù)值模擬范圍內(nèi)不同直徑的柔性圓管在流體域中的振幅均是隨著圓管高度的增加而增大，達(dá)到一個(gè)臨界值后，振幅基本保持不變。當(dāng)柔性圓管的高度小于0.085 m時(shí)，柔性圓管的振幅響應(yīng)隨著圓管直徑的增大而增大，當(dāng)柔性圓管的高度大于0.085 m時(shí)，其直徑為0.03 m時(shí)產(chǎn)生的振幅響應(yīng)要遠(yuǎn)大于另外兩組，因此可以認(rèn)為在流速為1.1 m/s時(shí)，直徑為0.03 m的柔性圓管的振動(dòng)性能要優(yōu)于另外兩種直徑，故仿真研究了直徑為0.03 m的柔性圓管在不同高度時(shí)的振幅響應(yīng)隨時(shí)間變化情況，其響應(yīng)曲線如圖5所示。

圖5 不同高度的振幅響應(yīng)-時(shí)間曲線

從圖5中可以看出，當(dāng)柔性圓管高度為0.06 m時(shí)，產(chǎn)生的振幅響應(yīng)情況不穩(wěn)定，不利于壓電能量收集裝置進(jìn)行持續(xù)穩(wěn)定的輸出電壓；當(dāng)高度為0.12 m時(shí)，柔性圓管的振幅響應(yīng)經(jīng)歷先逐漸增大鎖頻后又逐漸減小的過程；當(dāng)高度為0.07～0.11 m時(shí)，柔性圓管產(chǎn)生了規(guī)律的振動(dòng)，產(chǎn)生的振幅響應(yīng)為規(guī)則的簡諧曲線，當(dāng)高度為0.11 m時(shí)，產(chǎn)生的振幅響應(yīng)最大值為8.51×10-4m，此時(shí)出現(xiàn)鎖頻現(xiàn)象，對(duì)其進(jìn)行傅里葉變換得到的頻譜分析如圖6所示。

圖6 頻譜圖(高度為0.11 m)

由圖6可得，柔性圓管的振動(dòng)頻率為7.5 Hz，在研究范圍內(nèi)圓管的振動(dòng)形式為單一的穩(wěn)定振動(dòng)。綜上分析可以得出，當(dāng)流速為1.1 m/s，柔性圓管直徑為0.03 m，高度0.11 m時(shí)，壓電能量收集裝置出現(xiàn)規(guī)律性的振動(dòng)，并出現(xiàn)鎖頻現(xiàn)象，其振幅響應(yīng)最大值為8.51×10-4m，為內(nèi)置雙晶壓電懸臂梁柔性圓管能量收集裝置的最佳結(jié)構(gòu)尺寸。以此結(jié)構(gòu)參數(shù)，研究前置阻流體與柔性圓管之間距離對(duì)振動(dòng)情況的影響。

2.2 前置剛性阻流體的數(shù)值模擬

當(dāng)流體流經(jīng)阻流體時(shí)，會(huì)在阻流體后方產(chǎn)生兩列交叉排列的規(guī)則漩渦，漩渦作用在柔性圓管上使圓管產(chǎn)生規(guī)律性的振動(dòng)。其流體域與結(jié)構(gòu)體建模如圖7所示。

對(duì)上述模型進(jìn)行流固耦合計(jì)算，得到壓力云圖和柔性圓管的變形情況如圖8所示。由8(a)可以看出，在阻流體后方產(chǎn)生了規(guī)律的漩渦，并作用于后面的柔性圓管上，從而使柔性圓管發(fā)生形變，如圖8(b)所示。

圖7 前置剛性阻流體流固耦合模型圖

圖8 流固耦合處理結(jié)果

折合速度為影響渦致振動(dòng)的重要參數(shù)，為了使模擬規(guī)范化，因此將來流速度無量綱化為折合速度，其表達(dá)式為

(10)

式(10)中：fn為能量收集結(jié)構(gòu)固有頻率；D為圓柱體直徑。

由于海洋流速一般較低(≤1.5 m/s)，為了使數(shù)值模擬更加接近海洋的真實(shí)流速，其模擬結(jié)果更具現(xiàn)實(shí)意義，選取的模擬流速為0.5～1.4 m/s，增量為0.1 m/s,代入式(10)，得到折合速度為1.3～4.0。根據(jù)周杰等[12]的實(shí)驗(yàn)研究，當(dāng)阻流體與柔性圓管的中心距小于3D時(shí)，由于兩個(gè)圓管之間的距離較近，在整個(gè)流場中相當(dāng)于一個(gè)整體，當(dāng)流體流經(jīng)上游的阻流體后，產(chǎn)生的漩渦不能作用于下游的柔性圓管。當(dāng)阻流體與柔性圓管的中心距過大時(shí)，上游圓柱阻流體產(chǎn)生的漩渦對(duì)柔性圓管的周期性的作用就會(huì)不明顯，因此選擇中心距為3D～6D進(jìn)行數(shù)值模擬，以確定柔性圓管的最佳位置，其振幅響應(yīng)隨折合速度的變化如圖9所示。

圖9 不同中心距的振幅響應(yīng)-折合速度

由圖9可知，柔性圓管的振幅響應(yīng)均隨折合速度的增加而增加，趨勢(shì)與Javed等[13]的研究結(jié)果相同，證明了數(shù)值模擬的正確性。當(dāng)中心距為3D時(shí)，由于兩個(gè)圓柱之間的距離較近，流體在繞過阻流體后，在形成完整的周期脫落的漩渦之前就開始繞過下游的柔性圓管，對(duì)柔性圓管的振幅響應(yīng)的影響較小；然后隨著中心距的增大，即當(dāng)中心距為4D、5D時(shí)，流體流經(jīng)阻流體后，產(chǎn)生周期脫落的漩渦作用在柔性圓管上，使柔性圓管產(chǎn)生規(guī)律性的震動(dòng)，其振幅響應(yīng)也明顯變大；當(dāng)中心距為6D時(shí)，阻流體與柔性圓管之間的距離過大，流體流經(jīng)阻流體后產(chǎn)生的漩渦被擾亂，對(duì)下游柔性圓管的影響明顯減小，此時(shí)柔性圓管的振幅響應(yīng)也明顯減小。本文選取中心距為4D，折合速度為2.2，對(duì)柔性圓管產(chǎn)生的振幅響應(yīng)進(jìn)行分析，得到圖10、圖11。

圖10 振幅響應(yīng)-時(shí)間曲線

圖11 頻譜圖(中心距離為4D)

由圖10、圖11可得，前置剛性阻流體的柔性圓管能量收集結(jié)構(gòu)產(chǎn)生了穩(wěn)定的周期性規(guī)律振動(dòng)，并且出現(xiàn)了鎖頻現(xiàn)象，產(chǎn)生的振幅響應(yīng)遠(yuǎn)大于壓電能量收集結(jié)構(gòu)直接放入流體域中，而這種穩(wěn)定的周期性振動(dòng)狀態(tài)正是能量收集時(shí)所需要的振動(dòng)狀態(tài)，因此將此振幅響應(yīng)y=Asin(2πft+φ)作為壓電耦合的振幅輸入值，對(duì)能量收集結(jié)構(gòu)的壓電耦合情況進(jìn)行分析。其中,A為柔性圓管產(chǎn)生的振幅響應(yīng);f為經(jīng)過傅里葉變換得到的頻率;t為時(shí)間;φ為相位角。

3 壓電耦合數(shù)值模擬及結(jié)果分析

柔性圓管在流體作用下產(chǎn)生了規(guī)律性振動(dòng)，由于壓電懸臂梁內(nèi)嵌入柔性圓管中，且與柔性圓管壁粘合，柔性圓管會(huì)帶動(dòng)內(nèi)置的壓電懸臂梁以相同的頻率和振幅振動(dòng)，因此可將柔性圓管的振幅響應(yīng)函數(shù)作為壓電懸臂梁的機(jī)械能輸入，進(jìn)行壓電耦合模擬。其壓電耦合數(shù)值模擬的具體參數(shù)如表2所示。

表2 壓電懸臂梁具體參數(shù)表

根據(jù)數(shù)值計(jì)算方法，由于柔性圓管在渦致振動(dòng)時(shí)的垂直水流方向的位移遠(yuǎn)大于順流方向位移，且壓電懸臂梁平面與水流方向平行且相對(duì)位置固定，進(jìn)一步減小了柔性圓管順流方向的位移，因此壓電耦合數(shù)值模擬除了將壓電懸臂梁的底端邊界條件設(shè)置為固定外，還將壓電懸臂梁順流方向的位移設(shè)置為對(duì)稱的邊界條件。對(duì)前置剛性阻流體的壓電能量收集系統(tǒng)進(jìn)行模擬，產(chǎn)生的電壓云圖和電壓時(shí)程曲線分別如圖12所示。

圖12 壓電仿真結(jié)果

從圖12(a)中可以看出，將流體域中得到的運(yùn)動(dòng)函數(shù)施加在壓電能量收集結(jié)構(gòu)上，壓電懸臂梁壓電層上產(chǎn)生的電壓呈階梯狀的分布，根部產(chǎn)生的位移形變較大，產(chǎn)生的電壓也較大(紅色區(qū)域)，中間部分產(chǎn)生的位移形變較小，產(chǎn)生的電壓也較小(綠色和橙色區(qū)域)，符合實(shí)際情況。由圖12(b)可以看出，隨時(shí)間的推移，壓電懸臂梁產(chǎn)生了規(guī)律的正弦電壓曲線，證明了由于流體的渦致振動(dòng)的作用，可以驅(qū)動(dòng)柔性圓管帶動(dòng)內(nèi)置壓電懸臂梁產(chǎn)生周期變化的電壓，可以將此電壓存儲(chǔ)至電容中，從而進(jìn)行能量的收集。

對(duì)圖9中的各種條件參數(shù)進(jìn)行分組壓電數(shù)值模擬，得到的電壓隨中心距離和折合速度變化曲線如圖13所示。

圖13 不同中心距的電壓-折合速度

由圖13可以看出，電壓隨各參數(shù)的變化規(guī)律與柔性圓管振幅響應(yīng)規(guī)律一致。在測(cè)試范圍內(nèi)，電壓均隨折合速度的增大而增大，當(dāng)剛性阻流體與柔性圓管之間的距離為4D、5D時(shí)產(chǎn)生的電壓較大，當(dāng)中心距為5D，折合流速為4.0時(shí)，產(chǎn)生的電壓最大值為6.75 V。

4 結(jié)論

對(duì)一種基于渦致振動(dòng)的內(nèi)置雙晶壓電懸臂梁柔性圓管的壓電能量收集結(jié)構(gòu)進(jìn)行了流固耦合和壓電耦合數(shù)值模擬，對(duì)該結(jié)構(gòu)在渦致振動(dòng)下的振幅響應(yīng)和電壓情況進(jìn)行了分析。首先推導(dǎo)了柔性圓管的渦致振動(dòng)數(shù)值計(jì)算公式，分析了柔性圓管的振動(dòng)狀態(tài)。然后對(duì)柔性圓管進(jìn)行了流固耦合數(shù)值模擬，分析了圓管高度、直徑、折合速度以及阻流體與柔性圓管距離等參數(shù)變化對(duì)其振動(dòng)狀態(tài)的影響。最后對(duì)內(nèi)置壓電懸臂梁進(jìn)行了壓電耦合數(shù)值模擬，分析了折合速度和阻流體與能量收集結(jié)構(gòu)間距等參數(shù)對(duì)開路輸出電壓的影響，得到以下結(jié)論。

(1)在沒有前置阻流體，流速為1.1 m/s的情況下，當(dāng)柔性圓管的直徑為0.03 m，高度為0.11 m時(shí)柔性圓管的渦致振動(dòng)出現(xiàn)了鎖頻現(xiàn)象，其振幅響應(yīng)為8.51×10-4m。

(2)在前置等徑剛性圓柱阻流體的情況下，當(dāng)折合速度為1.3～4.0，中心距為3D～6D的范圍內(nèi)時(shí)，柔性圓管的振幅響應(yīng)隨折合速度的增大而增大，與Javed等[13]的研究結(jié)果一致，當(dāng)中心距為4D、5D時(shí)，柔性圓管產(chǎn)生規(guī)律的振動(dòng)，并出現(xiàn)鎖頻現(xiàn)象，振幅響應(yīng)最大值為2.38×10-3m，遠(yuǎn)大于沒有前置阻流體的柔性圓管的振動(dòng)幅值。

(3)將前置阻流體條件下得到的振幅響應(yīng)函數(shù)作為雙晶壓電懸臂梁的機(jī)械能輸入進(jìn)行壓電耦合數(shù)值模擬的結(jié)果顯示，壓電懸臂梁產(chǎn)生了規(guī)律的正弦電壓曲線，得到的電壓幅值變化規(guī)律與振幅響應(yīng)變化規(guī)律一致，電壓最大值可達(dá)6.75 V。研究結(jié)果可以為后續(xù)的實(shí)驗(yàn)研究渦致振動(dòng)壓電能量收集結(jié)構(gòu)提供理論參考。