基于電容式微機械聲學(xué)傳感的納米梁非線性振動控制

萬 磊, 劉燦昌, 孔維旭, 黎德祥, 周英超

(山東理工大學(xué)交通與車輛工程學(xué)院，淄博 255049)

隨著納機電系統(tǒng)(nano-electromechanical systems，NEMS)研究的快速發(fā)展，納機電系統(tǒng)的振動控制越來越引起相關(guān)研究人員的注意。納米梁在振動時容易產(chǎn)生多值等非線性現(xiàn)象，影響納機電系統(tǒng)的工作穩(wěn)定性。因此，納米梁的非線性振動控制成為納機電系統(tǒng)的一個重要研究方向[1]。

目前針對電容式微機械聲學(xué)傳感器(capacitive micro-mechanical acoustic sensors，CMUT)的研究也越來越多。張睿等[2]開展了對CMUT動態(tài)性能的仿真與測試。Mukhiya等[3]通過實驗驗證了在擠壓膜阻尼現(xiàn)象下具有頻移的單個六邊形單元的特性。Sangjun等[4]研究了具有低偏置電壓的CMUT有作為便攜式化學(xué)傳感器系統(tǒng)關(guān)鍵部件的潛力。Khan等[5]提出一種機載塌陷電容微機械超聲換能器作為一種實用的超聲換能器。張丹丹[6]研究了一種可以有效處理超聲波信號的CMUT樣品。卓文軍等[7]對電容式機械超聲陣列尺寸進(jìn)行了優(yōu)化。張慧等[8]對電容式微超聲換能器陣列進(jìn)行了一系列實驗研究。Engholm等[9]介紹了兩個換能器陣列探頭的特性。

近年來，對于納機電系統(tǒng)的非線性振動分析與控制研究取得較大的進(jìn)展。Liu等[10]研究得到了納米梁諧波激勵主共振的最優(yōu)控制。楊曉東等[11]分析了基于非局部效應(yīng)兩端鉸支納米梁的橫向非線性振動。Khaniki等[12]分析了嵌入變化非線性彈性環(huán)境中的納米梁。Bornassi等[13]建立了納米器件在靜電力和分子間力作用下的運動方程并進(jìn)行求解。Beni等[14]對梁式納機電系統(tǒng)的靜態(tài)不穩(wěn)定性進(jìn)行了理論研究。Ebrahimi等[15]提出了非經(jīng)典梁的模型，用于納米梁在彈性地基中的非線性振動分析。鞏慶梅等[16-17]研究了納米梁非線性振動電容式傳感器控制方法。Zhao等[18]研究了殘余表面應(yīng)力對懸臂納米梁非線性動力學(xué)行為的影響。Najar等[19]研究了在非線性力和直流電壓作用下納米梁的動態(tài)響應(yīng)。

納機電系統(tǒng)存在的問題是NEMS器件處于納米尺寸，普通的振動信號傳感器尺寸接近甚至大于納米梁和控制器件的尺寸，無法應(yīng)用到納米梁振動信號檢測中，所以振動信號的傳感成為納米梁振動控制的難題[1]。研究一種新型的基于電容式微機械聲學(xué)傳感的納米梁非線性振動控制方式，以期解決振動信號檢測難的問題。

基于電容式微機械聲學(xué)傳感的納米梁非線性振動控制，將CMUT器件置于納米梁下方作為振動信號檢測傳感器。以Euler-Bernoulli梁為振動模型，應(yīng)用多尺度方法研究納米梁的非線性振動控制。仿真出幅頻響應(yīng)曲線圖，分析納米梁的振動非線性，研究改變系統(tǒng)參數(shù)來減弱系統(tǒng)非線性的方法。希望通過選擇合適的系統(tǒng)參數(shù)可以減弱甚至消除系統(tǒng)振動的非線性，增強系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

利用了CMUT器件體積小、靈敏度高的優(yōu)點，將其作為振動信號傳感器應(yīng)用于納米梁振動信號的檢測中，以進(jìn)行納米梁非線性振動控制研究。

1 電容式微機械聲學(xué)傳感器原理

如圖1所示，電容式微機械聲學(xué)傳感器器件主要由石墨烯薄膜和電極構(gòu)成，在其接收模式下，聲波激勵薄膜使薄膜產(chǎn)生形變位移，從而導(dǎo)致薄膜與對應(yīng)的下面電極板之間的電容值發(fā)生改變。對薄膜位移的響應(yīng)，電容式微機械聲學(xué)傳感器的輸出電流i可以表示為[20]

(1)

式(1)中：ωa為聲波的角頻率；C為CMUT器件的電容；Vb為直流偏置電壓；Δx為薄膜位移；d0為導(dǎo)電薄膜與背部電極的距離;d為納米梁和上下極板間的初始距離;k為比例系數(shù)；w為納米梁的撓度。

圖1 電容式微機械聲學(xué)傳感器示意圖

2 基于電容信號傳感的納米梁靜電激勵振動控制模型

圖2 納米梁振動模型

作用于納米梁與靜電驅(qū)動極板間的激勵電壓V為

V=VD+Va=VD+V0cos(ωt)

(2)

式(2)中：Va=V0cos(ωt)為交流激勵電壓。

為便于分析，引入無量綱量:

(3)

式(3)中：u為納米梁振動時的無量綱位移；x*為X方向上的坐標(biāo)；x為X方向上的無量綱坐標(biāo)；l為納米梁的長度；t*為時間；t為無量綱時間；E為納米梁的楊氏模量；I為截面慣性矩；ρ為納米梁的密度；A為納米梁的橫截面積。

作用于納米梁與控制極板間的控制電壓VC為

(4)

式(4)中：g為控制增益。

在靜電控制力作用下，基于電容信號傳感的納米梁非線性振動微分方程可表示為

(5)

經(jīng)過無量綱處理后納米梁的動力學(xué)方程可變?yōu)?/p>

(6)

式(6)兩邊同乘(1-u)2(1+u)2得到：

(7)

ε[VD+V0cos(ωt)]2(n7x2+n8x+n9)

(8)

應(yīng)用多尺度法將式(8)的近似解用以下形式表示[21]：

x(t,ε)=x0(T0,T1,T2)+εx1(T0,T1,T2)+

εx2(T0,T1,T2)+…

(9)

式(9)中：ε是無量綱參數(shù)；T0=t，表示快變時間尺度；T1=εt，表示慢變時間尺度。

取納米梁外激勵頻率近似等于納米梁的固有頻率，得到激勵頻率為

ω=ωn+εσ

(10)

式(10)中：σ為激勵頻率調(diào)諧參數(shù)。

將式(9)與其對時間的導(dǎo)數(shù)代入式(8)，再將式(8)“=”兩邊ε同次冪的系數(shù)相等，得到：

(11)

μn2x0D0x0+μn3D0x0+

[VD+V0cos(ωt)]2×

(12)

將式(11)的近似解表示為

(13)

(14)

處理過程中利用以下變換:

(15)

將式(13)、式(15)代入式(12)，為避免出現(xiàn)久期項，得到：

n7VDV0A2e-jσT1=0

(16)

D1a=m1a3+m2a+(m3a2+m4)sinφ

(17)

aD1φ=σa-m5a3+m6a+(3m3a2+m4)cosφ

(18)

(19)

(20)

求得系統(tǒng)主共振的幅頻響應(yīng)方程和相頻響應(yīng)方程為

(21)

(22)

只考慮非線性項的影響，得到無量綱動力學(xué)方程對應(yīng)的Hamilton方程為

(23)

為便于分析，假定原點(x,y)=(0,0)處該保守系統(tǒng)的勢能為0，由此得到系統(tǒng)的勢能函數(shù)V(x)及Hamilton函數(shù)H(x,y)如下:

κx-(2κ-η)ln(x+1)+2γ-η+κ+

(2κ-η)ln1

(24)

(2κ-η)ln(x+1)+2γ-η+κ+

(2κ-η)ln1

(25)

3 數(shù)值模擬及分析

以Euler-Bernoulli梁一階振動模態(tài)為例進(jìn)行分析，納米梁的參數(shù)值如表1所示，進(jìn)行仿真之后得到系統(tǒng)振動的幅頻響應(yīng)曲線圖、非線性項變化圖以及勢能曲線圖。

表1 納米梁參數(shù)值

如圖3所示為控制增益g不同時的幅頻響應(yīng)a曲線。在所選取參數(shù)范圍內(nèi)以及其他參數(shù)保持不變時，改變控制增益的大小會對納米梁的振動非線性產(chǎn)生影響。當(dāng)g=10.80時，在共振頻率點左側(cè)出現(xiàn)系統(tǒng)振動不穩(wěn)定的非線性區(qū)間。當(dāng)g從10.40變?yōu)?0.02時，系統(tǒng)的最大振幅減小且系統(tǒng)振動非線性減弱，逐漸趨于穩(wěn)定。由此可得控制增益的取值在選取范圍內(nèi)時，控制增益減小，系統(tǒng)振動非線性減弱。

圖3 控制增益不同時的幅頻響應(yīng)曲線

如圖4所示為系統(tǒng)阻尼μ不同時的幅頻響應(yīng)曲線。在所選取參數(shù)范圍內(nèi)及其他參數(shù)保持不變時，改變系統(tǒng)的阻尼對納米梁振動的振幅和振動非線性同時產(chǎn)生影響。當(dāng)μ=0.7×10-2時，在共振頻率點左側(cè)出現(xiàn)系統(tǒng)振動不穩(wěn)定的非線性區(qū)間。當(dāng)μ從1.4×10-2變?yōu)?.1×10-2時，系統(tǒng)的最大振幅減小且系統(tǒng)振動非線性減弱，逐漸趨于穩(wěn)定。由此可得系統(tǒng)阻尼的取值在選取范圍內(nèi)時，系統(tǒng)阻尼越大，系統(tǒng)振動的振幅越小，振動非線性越弱。

圖4 系統(tǒng)阻尼不同時的幅頻響應(yīng)曲線

如圖5所示為直流激勵電壓不同時，非線性項隨控制增益變化曲線。將非線性項控制在合理范圍內(nèi)有助于提高系統(tǒng)振動的穩(wěn)定性。在所選取參數(shù)范圍內(nèi)以及其他參數(shù)保持不變的情況下，當(dāng)直流激勵電壓一定時，非線性項隨控制增益的增加呈現(xiàn)出先增加后減小的趨勢。當(dāng)控制增益一定時，直流激勵電壓越大，非線性項越小。

如圖6所示為交流激勵電壓不同時的幅頻響應(yīng)曲線。在所選取參數(shù)范圍內(nèi)以及其他參數(shù)保持不變時，改變交流激勵電壓會對納米梁振動的振幅和振動非線性同時產(chǎn)生影響。當(dāng)V0=0.85 V時，在共振頻率點左側(cè)出現(xiàn)系統(tǒng)振動不穩(wěn)定的非線性區(qū)間。當(dāng)V0從0.50 V變?yōu)?.15 V時，系統(tǒng)的最大振幅減小且系統(tǒng)振動非線性減弱。由此可得交流激勵電壓的取值在選取范圍內(nèi)時，交流激勵電壓越小，系統(tǒng)振動的振幅越小，振動非線性越弱。

圖5 直流激勵電壓不同時非線性項隨控制增益變化曲線

圖6 交流激勵電壓不同時的幅頻響應(yīng)曲線

如圖7所示為直流激勵電壓不同時的幅頻響應(yīng)曲線。在所選取參數(shù)范圍內(nèi)以及其他參數(shù)保持不變時，改變直流激勵電壓會對納米梁振動的振幅和振動非線性同時產(chǎn)生影響。當(dāng)VD=9.0 V時，在共振頻率點左側(cè)出現(xiàn)系統(tǒng)振動不穩(wěn)定的非線性區(qū)間。當(dāng)VD從9.6 V變?yōu)?0.0 V時，系統(tǒng)的最大振幅變化不大但是系統(tǒng)振動的非線性減弱。由此可得直流激勵電壓的取值在選取范圍內(nèi)時，直流激勵電壓越大，系統(tǒng)振動的非線性越弱。

圖7 直流激勵電壓不同時的幅頻響應(yīng)曲線

如圖8所示為勢能[V(x)]曲線隨參數(shù)γ的變化，可以看出，物理意義上的平衡點存在3個。在原點左側(cè)，勢能隨著γ的增大逐漸增大，在原點右側(cè)，勢能隨著γ的增大逐漸減小。

圖8 勢能曲線隨參數(shù)γ的變化

4 結(jié)論

(1)系統(tǒng)的阻尼、控制增益、直流激勵電壓和交流激勵電壓都是影響系統(tǒng)振動的因素，其中，改變系統(tǒng)阻尼和交流激勵電壓對系統(tǒng)振幅產(chǎn)生較大的影響，控制增益和直流激勵電壓對振幅影響較小。在所選取的參數(shù)范圍內(nèi)，適當(dāng)增大系統(tǒng)的阻尼和減小交流激勵電壓都可以減小系統(tǒng)的振幅。

(2)改變其中任何一個參數(shù)均對系統(tǒng)振動的非線性產(chǎn)生影響，選取合適的系統(tǒng)參數(shù)可以有效地對系統(tǒng)非線性振動進(jìn)行控制與調(diào)節(jié)，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

(3)分析幅頻響應(yīng)曲線可得，通過增大系統(tǒng)阻尼、減小控制增益、增大直流激勵電壓以及減小交流激勵電壓可以減弱系統(tǒng)振動的非線性。