借助工具，發(fā)展數(shù)學(xué)思考能力

吳軍強

【摘 要】 高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容繁多，難度較大，為了進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的思考能力與思辨能力，數(shù)學(xué)老師要嘗試借助相關(guān)的工具來推動數(shù)學(xué)課堂的開展。本文主要探討工具的選取、在課堂上的具體應(yīng)用以及它的價值。

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學(xué);工具;思考能力

數(shù)學(xué)工具，顧名思義，是幫助學(xué)生思考的工具。其作為輔助材料，能夠幫助老師突破教學(xué)的重難點，完成本節(jié)教學(xué)的目標(biāo)和任務(wù)。同時，利用工具開展數(shù)學(xué)活動時，老師可以有效地向?qū)W生滲透一些簡單的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

一、借助表格，豐富思維體驗

表格是一種最為常見的工具。制作表格，學(xué)生可以把零散的數(shù)據(jù)整體化，把復(fù)雜的問題簡單化?？梢詿o形中向?qū)W生滲透“化繁為簡”“化零為整”的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生獲得良好的思維體驗。

例如，在教學(xué)《古典概型》時，為了引出古典概型的概念，老師設(shè)置了一個與學(xué)生生活緊密聯(lián)系的數(shù)學(xué)問題：同時擲兩個骰子，一共有多少種不同的結(jié)果？其中向上的點數(shù)之和為6的結(jié)果有多少種？向上的點數(shù)之和為6的概率又是多少？投擲一枚骰子會出現(xiàn)6個點數(shù)，那么兩個骰子會有36種組合。有的同學(xué)嘗試用列舉法一一列舉，可是數(shù)據(jù)龐大，容易混淆，不太現(xiàn)實，而且數(shù)據(jù)零散，不容易看出其中的規(guī)律。綜合考慮，有的同學(xué)借助表格分析實際問題，列出的表格如下：

總共有36種情況，而向上的點數(shù)之和為6的結(jié)果總共有5種，已經(jīng)在表格中標(biāo)記出來。我們可以算出向上的點數(shù)之和為6的概率是。老師告訴學(xué)生：此概率事件屬于古典概型，并讓學(xué)生反思、總結(jié)提煉出古典概型的特點。學(xué)生已經(jīng)了解基本事件的概念和特征，像這樣，表格中任何兩個基本事件都是相互獨立的，任何事件（除了不可能事件）都可以表示成基本事件的和。所以古典概型的兩個重要條件在于等可能性和有限性。每個事件發(fā)生的可能性都是相等的，基本事件的總數(shù)有限的，是可以表示出來的。同學(xué)利用表格對數(shù)據(jù)進(jìn)行了整理，在整理數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)了古典概型的特點，有效地擴展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

二、借助多媒體，豐富操作體驗

幾何模塊也是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分之一，幾何模塊的學(xué)習(xí)要求學(xué)生具有較強的想象力，能夠在腦海中想象出點或者是圖形的運動。因此，想象能力比較薄弱的學(xué)生可以利用多媒體，促進(jìn)自己想象力的發(fā)展。

《幾何畫板》最突出的特點在于“動態(tài)變化”，它可以讓一個點隨意地運動，為學(xué)生的想象力提供了無限的可能。學(xué)生可以利用幾何畫板任意拖動圖形、觀察圖形，猜測并且驗證某個定理，在具體繪制圖形的過程中對圖形本身有著更為深刻的認(rèn)識。在向?qū)W生普及《幾何畫板》這一思考工具時，老師可以先教學(xué)生一些基本的操作，帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識工具，學(xué)會編輯;然后讓學(xué)生繪制一些簡單的平面圖形，再上升到立體圖形;隨后可以從幾何模塊的學(xué)習(xí)過渡到函數(shù)模塊的學(xué)習(xí)。學(xué)生可以同時繪制指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖像，比較這三個函數(shù)圖像的特點，還可以便捷地畫出一些分段函數(shù)圖像。

例如，對“二分法求零點”這個定理的學(xué)習(xí)，很多學(xué)生認(rèn)為這個定律比較煩瑣。對于在區(qū)間（a，b）上連續(xù)不斷，且f（a）f（b）<0的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)f（x）的零點所在區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫二分法。為了得到較為精確的零點近似值，學(xué)生首先要找準(zhǔn)范圍，然后不斷逼近，計算多個準(zhǔn)確的數(shù)值，過程十分煩瑣。但利用幾何畫板就可以省去計算的過程，在操作時對二分法定理進(jìn)行驗證，進(jìn)而深入理解定理，對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很有幫助。與其讓學(xué)生花過多的時間在計算上，還不如讓學(xué)生動手操作體會二分法的實用性和價值。

因此，對于學(xué)生來說，幾何畫板是一個良好的學(xué)習(xí)工具，學(xué)生在課下可以探索相關(guān)的數(shù)學(xué)知識。對于老師來說，幾何畫板也是良好的教學(xué)工具，能夠把抽象的數(shù)學(xué)知識以簡單直觀的方式呈現(xiàn)在學(xué)生的眼前。

三、借助方格紙，拓展思維空間

方格紙是畫圖的材料，用方格紙畫出的圖形會更加規(guī)范和直觀。在方格紙上畫出圖形，分析圖形的特點，對比相關(guān)圖形之間的關(guān)系，能夠幫助學(xué)生理解一些數(shù)學(xué)概念。

例如，在教學(xué)《中心投影與平行投影》時，老師和學(xué)生一起先回顧三視圖的概念：光線從幾何體的前面向后面正投影得到的投影圖叫幾何體的正視圖，光線從左面向右面正投影得到幾何體的俯視圖，光線從幾何體的上面向下面正投影會得到俯視圖，這三幅圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖。老師向?qū)W生展示一個長為2厘米、寬為3厘米、高為4厘米的長方體，讓同學(xué)依次在方格紙上畫出它的正視圖、俯視圖和側(cè)視圖。方格紙和白紙有著較為明顯的不同：在白紙上畫圖，我們看不出長度關(guān)系，但是方格的數(shù)量可以表征出一定的數(shù)量關(guān)系。例如，將一個小方格的邊長設(shè)置為1厘米，兩個小方格就表示為2厘米。結(jié)合老師給出的長、寬、高等數(shù)據(jù)，同學(xué)依次畫出了這個長方體的三視圖。然后讓學(xué)生總結(jié)歸納三視圖的基本特征：一個幾何體的俯視圖和正視圖的高度一樣，俯視圖和正視圖的長度一樣，俯視圖與側(cè)視圖的寬度一樣，這也是本節(jié)課老師想要向?qū)W生重點傳授的三視圖口訣“長對正、高平齊、寬相等”。隨后老師又借助方格紙，讓學(xué)生分別了解中心投影、平行投影的概念和特點。學(xué)生學(xué)習(xí)完后便可以歸納出平行投影和中心投影的優(yōu)缺點。比如，中心投影能夠逼真地反映物體原來的形狀，主要運用于繪畫領(lǐng)域。對于學(xué)生自我總結(jié)探索的規(guī)律和定理，學(xué)生會產(chǎn)生強烈的認(rèn)同感，對學(xué)生的學(xué)習(xí)發(fā)揮了積極的作用。

高中數(shù)學(xué)知識點較為抽象，恰當(dāng)?shù)剡\用一些數(shù)學(xué)思考工具可以把抽象的知識直觀化，幫助學(xué)生理解和吸收。同時，利用工具進(jìn)行學(xué)習(xí)可以做到深入思考，培養(yǎng)學(xué)生的思考能力。