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    基于改進(jìn)Jerk模型的高超聲速滑翔目標(biāo)跟蹤

    2020-06-12 09:24:28曲智國董宇輝
    關(guān)鍵詞:狀態(tài)方程機(jī)動(dòng)濾波

    馮 耀, 王 紅, 曲智國, 李 凡, 董宇輝

    (1.空軍預(yù)警學(xué)院防空預(yù)警裝備系, 武漢, 430019; 2.95980部隊(duì), 湖北襄陽, 441000)

    構(gòu)建合理的跟蹤模型是機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤的關(guān)鍵,對于高機(jī)動(dòng)的高超聲速滑翔目標(biāo)(Hypersonic Gliding Target,HGT)跟蹤問題更是如此。HGT采用Sanger彈道,除了縱向上的跳躍機(jī)動(dòng)外,還能夠?qū)崿F(xiàn)橫向擺動(dòng)式機(jī)動(dòng)[1-3],且在彈道不同階段表現(xiàn)為不同的機(jī)動(dòng)特性,在控制律未知的情況下難以進(jìn)行預(yù)測,相比于彈道導(dǎo)彈目標(biāo)及常規(guī)飛行目標(biāo)而言,HGT較強(qiáng)的突防能力對現(xiàn)有的機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤模型提出了更高的要求[4-6]。

    Jerk模型是目前公開文獻(xiàn)中階數(shù)最高的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型[7-10],它在Singer模型的基礎(chǔ)上增加了一維加加速度估計(jì),將目標(biāo)機(jī)動(dòng)加加速度描述為一階時(shí)間相關(guān)過程,在對高速高機(jī)動(dòng)目標(biāo)的跟蹤時(shí)經(jīng)常采用該模型。文獻(xiàn)[11~12]針對強(qiáng)機(jī)動(dòng)目標(biāo),借鑒“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)(Current Statistical,CS)模型的思想,建立了一種基于“當(dāng)前”統(tǒng)計(jì)的CS Jerk模型,使得對目標(biāo)加加速度的估計(jì)更加符合強(qiáng)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的實(shí)際。但是在實(shí)際運(yùn)用中發(fā)現(xiàn),Jerk模型的模型參數(shù)由人為設(shè)定,一般取前人研究的經(jīng)驗(yàn)值[13],所以HGT機(jī)動(dòng)特性發(fā)生變化時(shí),模型參數(shù)不能隨之進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整,導(dǎo)致其不能有效匹配HGT的機(jī)動(dòng)特性,進(jìn)而影響跟蹤效果。針對這一問題,本文借鑒一階AR模型[14]的思想,將其運(yùn)用到Jerk模型參數(shù)的實(shí)時(shí)估計(jì)中,使得目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)的同時(shí)能夠?qū)δP蛥?shù)進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整。

    1 Jerk模型及觀測模型的構(gòu)建

    1.1 Jerk模型

    設(shè)HGT的加加速度為j(t),通常也被稱為“急動(dòng)”,根據(jù)Jerk模型的假設(shè)[15],將j(t)建模為指數(shù)自相關(guān)零均值隨機(jī)噪聲過程,其時(shí)間相關(guān)函數(shù)為:

    (1)

    Jerk模型將j(t)建模為有色噪聲過程,但是應(yīng)用Kalman濾波時(shí),要求它是一個(gè)不相關(guān)的白噪聲過程,所以這里運(yùn)用Wiener Kolmogoron有色噪聲白化處理方法[16]將j(t)“白化”。首先對j(t)的時(shí)間相關(guān)函數(shù)R(τ)進(jìn)行拉普拉斯變換:

    W(s)H(s)H(-s)

    (2)

    式中:H(s)為白化濾波器的傳遞函數(shù);W(s)為輸入噪聲的拉普拉斯變換,分別表示為:

    (3)

    j(t)白化后可以用一階時(shí)間相關(guān)模型表示為:

    (4)

    (5)

    式中:連續(xù)模型的系統(tǒng)矩陣為:

    (6)

    由于機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤時(shí)一般使用離散的濾波器,所以需要對式(5)進(jìn)行離散化處理,離散化后的狀態(tài)方程表示為:

    X(k+1)=F(k)X(k)+W(k)

    (7)

    設(shè)系統(tǒng)的采樣周期為T0,則離散化后的Jerk模型的系統(tǒng)矩陣F為:

    (8)

    式中:

    連續(xù)模型狀態(tài)方程離散化后的過程噪聲協(xié)方差為:

    (9)

    式中:

    1.2 雷達(dá)觀測模型的建立

    圖1 雷達(dá)直角坐標(biāo)與觀測參數(shù)的關(guān)系

    k時(shí)刻直角坐標(biāo)系下的量測值z(k)表示為:

    (10)

    k時(shí)刻直角坐標(biāo)系下的量測噪聲協(xié)方差R(k)表示為:

    (11)

    式中:

    2 改進(jìn)的Jerk模型

    假設(shè)目標(biāo)狀態(tài)方程可以解耦為3個(gè)獨(dú)立的通道,跟蹤濾波器可以在每個(gè)通道上獨(dú)立工作,設(shè)其中一維的量測方程為:

    Y(k)=C(k)X(k)+V(k)

    (12)

    (13)

    根據(jù)牛頓定律得[17]:

    (14)

    (15)

    (16)

    令:

    ξ(k)=v(k)-2v(k-1)+2v(k-3)-v(k-4)

    (17)

    并將式(14)~(17)代入式(13),得:

    3j(k-2)-j(k-3)+j(k-4)]+ξ(k)

    (18)

    (19)

    根據(jù)式(7)得:

    m(k)=5j(k-1)+3j(k-2)-j(k-3)+j(k-4)=5[λj(k-2)+w(k-2)]+3[λj(k-3)+w(k-3)]-[λj(k-4)+w(k-4)]+[λj(k-5)+w(k-5)]=λm(k-1)+ε(k-1)

    (20)

    式中:

    ε(k-1)=5w(k-2)+3w(k-3)-w(k-4)+w(k-5)

    (21)

    式(19)~(20)共同構(gòu)成了m(k)的狀態(tài)方程和量測方程:

    (22)

    對式(4)的一階AR過程進(jìn)行Z變換,有

    (23)

    根據(jù)Z變換性質(zhì)可得:

    (24)

    (25)

    (26)

    (27)

    式中:ζ為遺忘因子(0<ζ<1),ζ越接近1,其估計(jì)方差越小,但是r(·)收斂越慢,無法快速響應(yīng)參數(shù)α的變化;ζ的取值越接近0,r(·)收斂越快,使其能夠快速響應(yīng)參數(shù)α的變化,但是ζ的估計(jì)方差越大。

    3 基于改進(jìn)Jerk模型的參數(shù)自適應(yīng)濾波算法

    式(7)和式(22)共同構(gòu)成了新的線性離散系統(tǒng),其狀態(tài)方程和量測方程如下:

    (28)

    狀態(tài)方程中,

    (29)

    根據(jù)式(21)求得新的線性離散系統(tǒng)的過程噪聲方差為:

    (30)

    式中:

    根據(jù)式(17)求得新的線性離散系統(tǒng)的量測噪聲方差為:

    (31)

    基于改進(jìn)Jerk模型的參數(shù)自適應(yīng)濾波算法流程如下,其中k=1,2,…,N。

    (32)

    (33)

    (34)

    根據(jù)式(32)可得新息協(xié)方差或量測協(xié)方差為:

    (35)

    進(jìn)而可求得濾波器增益為:

    (36)

    最后根據(jù)濾波增益得到當(dāng)前步的狀態(tài)估計(jì)值及狀態(tài)估計(jì)方差:

    (37)

    (38)

    4 仿真分析

    參考美國洛克希德-馬丁公司設(shè)計(jì)CAV-H模型設(shè)置飛行器的基本參數(shù)[19]:m=900 kg,S=0.48 m2,熱流密度、動(dòng)壓、過載約束分別為6 000 kW/m2、45 kPa和4。假設(shè)飛行器保持固定的攻角和傾側(cè)角飛行,攻角取最大升阻比下的攻角值α=11.6°,傾側(cè)角φv=10°。采用指數(shù)型大氣模型[20],仿真時(shí)間t=700 s。設(shè)飛行器滑翔段初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的速度為15Ma,初始位置為E110°N78°,飛行高度為80 km,航跡傾角為0°,航跡方位角為180°。在E110°N50°處前沿部署一部平流層飛艇載雷達(dá),架設(shè)高度20 km,最大探測距離Rmax=1 000 km,距離誤差100 m、方位角和俯仰角誤差均為0.1°。

    雷達(dá)探測跟蹤過程中,不得不考慮地球曲率的影響,雷達(dá)直視距離與雷達(dá)天線架設(shè)高度和目標(biāo)高度有如下關(guān)系:

    (39)

    式中:ha為雷達(dá)架設(shè)高度;ht為目標(biāo)高度。設(shè)雷達(dá)與目標(biāo)之間的距離為d,只有在d

    4.1 位置跟蹤精度比較及分析

    圖2 HGT真實(shí)軌跡及濾波軌跡比較

    由圖2可知,傳統(tǒng)的Jerk模型及本文改進(jìn)的Jerk模型均能夠較好地實(shí)現(xiàn)對HGT的穩(wěn)定跟蹤,為了進(jìn)一步直觀地比較2種模型下的HGT跟蹤效果,此處以均方根誤差(RMSE)來對其進(jìn)行評估[21]。設(shè)目標(biāo)在時(shí)刻teval的濾波值和真實(shí)值之差為:

    (40)

    (41)

    目標(biāo)狀態(tài)向量為:

    (42)

    位置總RMSE及速度總RMSE計(jì)算公式為:

    (43)

    2種模型下各個(gè)坐標(biāo)軸方向的位置RMSE及總的位置RMSE見圖3,紅色線條表示改進(jìn)Jerk模型的濾波誤差,藍(lán)色線條表示傳統(tǒng)Jerk模型的濾波誤差。

    圖3 位置均方根誤差比較

    由圖3可得,在3個(gè)坐標(biāo)軸方向上,基于改進(jìn)Jerk模型的位置濾波RMSE均低于基于傳統(tǒng)Jerk模型的位置RMSE,模型參數(shù)的實(shí)時(shí)估計(jì)調(diào)整使得基于改進(jìn)Jerk模型進(jìn)行跟蹤時(shí),能夠使跟蹤模型與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)在很短的時(shí)間內(nèi)得到較好匹配,進(jìn)而使位置濾波誤差能夠很快降低并保持基本穩(wěn)定,改進(jìn)Jerk模型尤其在跟蹤前期的優(yōu)勢更加明顯。由圖3(d)可知,采用改進(jìn)的Jerk模型代替?zhèn)鹘y(tǒng)Jerk模型對HGT軌跡進(jìn)行跟蹤濾波時(shí),能夠降低約50%的位置均方根誤差,可實(shí)現(xiàn)對HGT軌跡更加精確穩(wěn)定的跟蹤。

    4.2 速度跟蹤精度比較及分析

    2種模型下各個(gè)坐標(biāo)軸方向的速度RMSE及總的速度RMSE見圖4,紅色線條表示改進(jìn)Jerk模型的濾波誤差,藍(lán)色線條表示傳統(tǒng)Jerk模型的濾波誤差。

    圖4 速度均方根誤差比較

    與位置跟蹤精度類似,由圖4可得,在3個(gè)坐標(biāo)軸方向上,基于改進(jìn)Jerk模型的速度濾波RMSE均低于基于傳統(tǒng)Jerk模型的速度RMSE,除此之外,由于模型參數(shù)的自適應(yīng)調(diào)整,基于改進(jìn)Jerk模型跟蹤時(shí),能夠一直保持比較低的的速度濾波誤差。由圖4(d)可知,采用改進(jìn)的Jerk模型代替?zhèn)鹘y(tǒng)Jerk模型對HGT軌跡進(jìn)行跟蹤濾波時(shí),總的速度跟蹤精度能夠得到大幅度提升,從而實(shí)現(xiàn)對HGT軌跡更加精確穩(wěn)定的跟蹤。

    5 結(jié)語

    隨著越來越多高超聲速滑翔飛行器的試驗(yàn)成功及陸續(xù)服役,研究與HGT高速高機(jī)動(dòng)特性相匹配的跟蹤模型顯得十分迫切。本文針對實(shí)際運(yùn)用中現(xiàn)有Jerk跟蹤模型對參數(shù)預(yù)設(shè)的不合理性,將一階AR模型的思想運(yùn)用到對模型參數(shù)的實(shí)時(shí)估計(jì)中,提出了改進(jìn)的Jerk模型,實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)的同時(shí)對模型參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整,使跟蹤模型與目標(biāo)機(jī)動(dòng)特性盡可能得到匹配。最后基于HGT軌跡進(jìn)行仿真,證明了改進(jìn)Jerk模型相對于傳統(tǒng)Jerk模型的優(yōu)勢。所提模型對其他高機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤問題的研究也有一定的借鑒意義。

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