借助畫圖策略 助力問題解決

張玉翠

（福建省廈門市同安區(qū)第二實驗小學(xué)，福建廈門 361000）

引 言

畫圖策略就是通過圖形把一些抽象的數(shù)學(xué)問題具體化，幫助學(xué)生更好地理解問題，從而達(dá)到解決問題的目的。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生借助畫圖的方法畫出符合題意的示意圖、線段圖、幾何圖，讓學(xué)生更好地理解題意、厘清數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而有效地提高學(xué)生分析和解決問題的能力，使他們享受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來的樂趣。

一、借助示意圖幫助學(xué)生理解題目意思

在解決問題的過程中，一部分學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、理解能力較弱，時常遇到困難，而畫圖恰好可以成為這部分學(xué)生解決問題的法寶，以圖求解，借助示意圖，將題意變得清晰、直觀，易于學(xué)生理解和接受。因此，畫圖成了學(xué)生成功解決問題的重要工具[1]。

例如，花店新進(jìn)了一批鮮花：郁金香56 枝，玫瑰花46枝，百合花66 枝。如果6 枝郁金香、5 枝玫瑰花、8 枝百合花扎成一束，這些花最多可以扎幾束這樣的花束？解答這道題，大部分學(xué)生的做法是： 56+46+66=168（枝） 6+5+8=19（枝）168÷19=8（束）……16（枝）。很顯然這樣的做法是錯誤的，與題目的意思完全不符，說明學(xué)生沒有理解題意，而是按照一貫的思維去解題，導(dǎo)致解題思路錯誤。此時教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目的表述一步一步畫出簡單的示意圖（見圖1），在分析示意圖的基礎(chǔ)上理解題意，尋求正確的解答方法。 56÷6=9（束）……2（枝）46÷5=9（束）……1(枝） 66÷8=8（束）……2（枝）。學(xué)生列出算式后，選擇最小的數(shù)8 束，就是最后的答案。

圖1

學(xué)生借助示意圖整理信息，直觀地表示題意，糾正了錯誤的理解，打破了自身的思維定式。

再如，市第一醫(yī)院包扎用的三角巾的底和高分別是9 分米和8 分米的直角三角形?，F(xiàn)有一塊長36 分米、寬32 分米的白布，最多可以做多少塊這樣的三角巾？

學(xué)生解決這類問題的一般做法是用長方形的面積除以三角形的面積（包含除），即36×32÷（8×9÷2）=32（塊）。有個別學(xué)生能從行列的角度來思考問題，即36÷9=4，32÷8=4，4×4×2=32（塊）。這樣計算的道理何在？為什么還要乘2？這時教師不需要講太多，可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)算式畫一下示意圖（見圖2）。借助示意圖，學(xué)生自然理解了36÷9=4 表示每一行可以剪4 個，32÷8=4 表示有這樣的4 行，因為是先轉(zhuǎn)化成長方形，所以還要再乘2。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)化兩種方法，發(fā)現(xiàn)第一種方法計算容易出錯，第二種方法更簡便。

圖2

教師借助示意圖幫助學(xué)生找到了更簡單的解題方法。

接著改變數(shù)據(jù)，如果三角巾的形狀變成等腰直角三角形，底和高都是8 分米，這時又能剪幾個呢？很多學(xué)生認(rèn)為底變小了，可以剪的數(shù)量也就多了，結(jié)果一定比32 塊還多。這時，教師引導(dǎo)學(xué)生畫示意圖（見圖3）。借助示意圖，學(xué)生發(fā)現(xiàn)剩余的部分不夠再剪了，所以還是只能做32 塊，列式：36÷8=4（個）……4（分米） 32÷8=4（個） 4×4×2=32（塊）。一位學(xué)生提出了疑問，用第一種方法（包含除）36×32÷（8×8÷2）=36（塊）求出的塊數(shù)為什么不一樣呢？此時，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察兩幅示意圖，通過對比分析，總結(jié)得出：如果長方形的長和寬剛好是三角形底和高的倍數(shù)，就可以用包含除的方法：如果不是倍數(shù)關(guān)系的，就得從行和列的角度思考問題。

圖3

教師借助示意圖，抓住容易混淆的內(nèi)容進(jìn)行對比，能夠培養(yǎng)學(xué)生的分析、辨別能力，有效地防止學(xué)生在解題時生搬硬套，從而使其靈活地解決數(shù)學(xué)問題。

二、借助線段圖幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系

解決問題的關(guān)鍵在于正確分析題目中的數(shù)量關(guān)系，但是往往有些數(shù)學(xué)問題的數(shù)量關(guān)系不能一眼看出，如果將文字?jǐn)⑹龅念}目轉(zhuǎn)化為線段圖來表示，那么隱蔽的數(shù)量關(guān)系就會變得明朗。學(xué)生通過畫圖搭橋，借圖分析數(shù)量關(guān)系，厘清思路，能夠順利解決問題[2]。

例如，書架上擺著科技書和故事書，兩種書共有78 本，科技書比故事書多12 本。兩種書各有多少本？這是典型的和差問題，學(xué)生在解題時存在著一定的困難。在教學(xué)時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先畫出線段圖，把題目的條件和問題表示出來，接著充分發(fā)揮線段圖直觀明了的優(yōu)勢，引導(dǎo)學(xué)生借助線段圖分析數(shù)量關(guān)系。學(xué)生畫的線段圖如圖4 所示。

圖4

從圖4 分析可知：總數(shù)78 減去科技書比故事書多的12 本，兩種書現(xiàn)在的數(shù)量就同樣多了。故事書：（78－12）÷2=33（本） 科技書：33+12=45（本）

圖5

從圖5 分析可知：故事書的數(shù)量加上12 本就和科技書一樣多，這時總數(shù)就變成78+12=90（本）科技書：（78+12）÷2=45（本） 故事書：45－12=33（本）

圖6

從圖6 分析得出：把科技書比故事書多的12 本分一半給小明，兩人的書就變得同樣多?？萍紩?8÷2－6=33（本） 故事書：78÷2+6=45（本）

教師通過直觀的線段圖把復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系形象化、多樣化。線段圖不同，解題的思路也就不同。教師可在算法多樣化的基礎(chǔ)上優(yōu)化三種方法，選出最容易理解的方法，同時引導(dǎo)學(xué)生比較三種方法，思考它們有什么相同的地方？學(xué)生通過觀察比較三個線段圖，發(fā)現(xiàn)它們都是把數(shù)量不相等的兩條線段變得相等。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生將三種不同的解法進(jìn)行類比、歸納，總結(jié)出所有方法的本質(zhì)。這樣，學(xué)生借助線段圖，厘清和差問題的數(shù)量關(guān)系，找到解決和差問題的方法，建立起此類問題的數(shù)學(xué)模型，提高了自身的學(xué)習(xí)能力[3]。

三、借助幾何圖幫助學(xué)生尋找解題途徑

數(shù)學(xué)中有些問題的綜合性較強(qiáng)，復(fù)雜而抽象，乍一看題目，感覺很難，不知如何解決問題，其實一畫草圖題意就清晰了。學(xué)生能從圖中找到解決問題的突破口與關(guān)鍵點，快速而順利地攻破難題。

例如，有兩個自然數(shù)A 和B，如果把A 增加22，B 不變，積就增加132；如果A 不變，B 增加12，積就增加240，那么原來兩數(shù)的積是多少？

這道題比較抽象，單純從字面上理解，學(xué)生很難正確解答出這道題。教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助長方形圖來解題，先畫一個長方形（見圖7）A 表示長，B 表示寬，那么AB 的積就是長方形的面積。根據(jù)題目表達(dá)的意思，當(dāng)A 增加22 也就是長增加22，B 不變，即寬不變，即畫出圖8；當(dāng)A 不變，也就是長不變，B 增加12 即寬增加12，畫出圖9。

圖7

圖8

圖9

觀察圖8，根據(jù)長方形的面積公式求出長方形的寬也就是B=132÷22=6；觀察圖9，根據(jù)長方形的面積公式求出長方形的長也就是A=240÷12=20；那么，A、B 的積為20×6=120。

學(xué)生借助長方形圖，找到了解題的關(guān)鍵點。

再如，不計算，你能比較43×52 和42×53，到底誰的積大嗎？剛開始看這道題，學(xué)生會不知從何下手。其實這道題也可以借助長方形圖，把問題轉(zhuǎn)化為長方形的面積問題。根據(jù)這兩個算式，畫出兩個長方形，一個長為52，寬為43，另一個長為53，寬為42。根據(jù)已有的知識經(jīng)驗告訴我們：周長相等的兩個長方形，長與寬的差越少，面積就越大。因為43+52=42+53，52－43=9，53－42=11，所以43×52 的積大。

結(jié) 語

總之，借助畫圖解題是學(xué)生打開解決問題大門的一把金鑰匙，教師在教學(xué)過程中，要善于借助畫圖策略，幫助學(xué)生打開思維的閘門，使畫圖解題真正走入課堂，深入學(xué)生內(nèi)心。以圖促思，畫圖搭橋，有了畫圖這一座橋梁，學(xué)生分析問題和解決問題的能力將得到提升，從而愛上數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué)。