巖石抗壓強度的統(tǒng)計推斷
——應(yīng)用自助法的實例

藍兆松

(福州市規(guī)劃勘測設(shè)計研究總院 福建福州 350108)

1 工程概況

福州市規(guī)劃勘測設(shè)計總院(下文簡稱“我院”)承擔(dān)了某區(qū)間詳勘成果鉆孔抽樣驗證工作，具體包含外業(yè)鉆探及室內(nèi)巖石抗壓試驗兩大項工作。3個抽樣驗證鉆孔均由業(yè)主指定，分別為Q3XZ1、Q3XZ3及Q3XZ16孔。為本次核查小組驗證工作提供3個驗證孔巖石抗壓試驗資料。

外業(yè)鉆探及取樣依據(jù)現(xiàn)行標準《建筑工程地質(zhì)勘探與取樣技術(shù)規(guī)程》進行；巖石制樣及抗壓試驗依據(jù)現(xiàn)行國標《工程巖土試驗方法標準》進行。

依據(jù)原孔的取樣深度進行取樣，并在其它深度(主要為穿越隧道段)加取若干巖樣。利用鉆探巖芯樣制作成可滿足抗壓試驗要求的巖石試件，所有巖石試件均進行天然狀態(tài)下單軸抗壓強度試驗。

1.1 工作實施

1.1.1放樣定點

根據(jù)原勘3個孔的坐標，采用衛(wèi)星定位儀GPS-RTK在現(xiàn)場找到原勘3個孔(Q3XZ1、Q3XZ3及Q3XZ16)并得到原勘單位確認后，在3個孔邊上各布置1個鉆孔，鉆孔編號分別為YZ-Q3XZ1、YZ-Q3XZ3及YZ-Q3XZ16。與原孔孔距分別為0.5m、0.8m及0.92m，均控制在1m以內(nèi)，高程基本一致，滿足核查要求。3個鉆孔孔深均控制在穿過隧道底板下1m～3m。

1.1.2鉆探及封孔

采用XY-100型鉆機，金剛石鉆頭，泥漿護壁回轉(zhuǎn)鉆進工藝，鉆探過程嚴格控制回次進尺，所取巖土芯均進行現(xiàn)場擺樣，確保了巖土層分層的準確性。

1.1.3取樣及制樣

原則上取樣位置(標高)與原孔一致，位置一致處若巖芯破碎，則在上下相鄰處取相對較為完整的巖芯樣。對確認的巖芯樣進行孔號及深度標記并密封保存。此外，在其它深度(穿越隧道段)加取若干巖芯樣。3個鉆孔施鉆完畢，集齊所有同深度巖樣后通知業(yè)主聯(lián)系核查小組現(xiàn)場見證制樣過程。

1.1.4抗壓試驗

同深度巖樣制樣完畢后，在我院土工試驗室進行天然單軸抗壓強度試驗。先進行各巖樣復(fù)核，再進行各巖樣尺寸測量，最后進行抗壓試驗并將結(jié)果換算成標準試樣抗壓強度指標。

1.2 抗壓試驗成果

本次抗壓試驗分2次進行，第1次進行與原勘鉆孔同深度巖樣的天然單軸抗壓強度試驗，具體試驗結(jié)果見表1，為a組數(shù)據(jù)。第2次進行余下巖樣的天然單軸抗壓強度試驗，具體試驗結(jié)果見表2，為b組數(shù)據(jù)。

表1 同深度巖樣天然單軸抗壓強度成果表(a組數(shù)據(jù))

表2 余下巖樣天然單軸抗壓強度成果表(b組數(shù)據(jù))

從鉆孔放樣、外業(yè)鉆探、選取巖樣、制作樣本以及抗壓試驗等全過程均在核查小組各方成員共同見證，確認獲得的巖石抗壓試驗數(shù)據(jù)真實可靠。

2 規(guī)范給出的統(tǒng)計方法

2.1 統(tǒng)計指標

根據(jù)《巖土工程勘察規(guī)范》(GB500021-2001,2009年版)，對指標進行統(tǒng)計。按有關(guān)規(guī)范及試驗、測試要求的方法，對室內(nèi)試驗和原位測試的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計獲取指標。其中的標準值，按不利組合考慮。巖土層指標數(shù)據(jù)的粗差，剔除原則上采用三倍標準差法，個別數(shù)據(jù)由于巖土層的不均勻性或為夾層而造成數(shù)據(jù)離散性明顯較大的，也予以剔除。有關(guān)參數(shù)的平均值φm、標準差σf、變異系數(shù)δ、標準值φk的計算公式如下[1]：

(1)

(2)

(3)

巖土參數(shù)標準值：φk=γsφm

(4)

(5)

式中：

φm——巖土參數(shù)的平均值；

n——參加統(tǒng)計的子樣數(shù)；

σf——巖土參數(shù)的標準差；

δ——巖土參數(shù)的變異系數(shù)；

γs——統(tǒng)計修正系數(shù)，式中正負號按不利組合考慮。

2.2 統(tǒng)計數(shù)據(jù)的可靠性

統(tǒng)計數(shù)據(jù)源于試驗資料，試驗樣品源于采樣。本次工作中所有巖樣，樣品具有代表性，試驗測試方法與操作正確，數(shù)據(jù)合理。

2.3 指標的統(tǒng)計值與建議值

表1(a組數(shù)據(jù))的統(tǒng)計結(jié)果：平均值=92.0417;標準差=41.4695;總數(shù)=12;變異系數(shù)=0.4506;標準值=113.7878;最大值152.4;最小值32.3。

表2(b組數(shù)據(jù))的統(tǒng)計結(jié)果：平均值=71.4219；標準差=26.0831；總數(shù)=32；變異系數(shù)=0.3652；標準值=79.3980；最大值136.2；最小值38.3。

《巖土工程勘察規(guī)范》(GB50021-2001)采用隨機場理論，能較好模擬巖土的空間變異性和相關(guān)性，但是涉及到巖土相關(guān)距離的合理取值問題的影響，該方法未實際運用[2]。而且，此處a組數(shù)據(jù)屬于小樣本，樣本數(shù)量對參數(shù)統(tǒng)計推斷值有影響。在相同的置信度及變異系數(shù)情況下,試驗數(shù)量越小,參數(shù)統(tǒng)計均值及可靠指標的相對誤差就越大，即可靠指標與試驗數(shù)量、參數(shù)統(tǒng)計置信度及參數(shù)的變異系數(shù)有關(guān)[3]。據(jù)此處結(jié)果可知，變異系數(shù)較大。想得到的不是幾個巖樣數(shù)據(jù)，而是總體的趨勢。下一步，利用自助法進一步進行探討分析。

3 利用自助算法

總體的分布F未知，但是已經(jīng)有一個容量為n的來自分布F的數(shù)據(jù)樣本，自這樣本按放回抽樣的方法抽取一個容量為n的樣本，這樣的樣本稱之為自助樣本。相繼地，獨立自原始樣本中選取很多個bootstrap樣本，利用這些樣本對總體F進行推斷統(tǒng)計的方法，稱為非參數(shù)bootstrap方法[4]，即自助法。

Bootstrap算法是現(xiàn)代統(tǒng)計學(xué)上的一種重要的方法。即利用有限的樣本經(jīng)多次有放回的重復(fù)抽樣，重新建立起足以代表母體樣本分布之新樣本。bootstrap可以指依賴于重置隨機抽樣的一切試驗，可用于計算樣本估計的準確性。對于一個采樣，只能計算出某個統(tǒng)計量(如均值)的一個取值，無法知道均值統(tǒng)計量的分布情況，通過自助法則可模擬出均值統(tǒng)計量的近似分布。通常新樣本的數(shù)量可取為1000～10000。精度要求高的話，可以增加新樣本的數(shù)量。用非參數(shù)估計的優(yōu)點是，不需要對總體分布作任何的假設(shè)，且在小樣本時也適用。無需假設(shè)所研究的總體的分布函數(shù)F的形式，樣本來自于已知的原始樣本數(shù)據(jù)，方法簡單。

自助算法需要大量的計算，要依靠強大計算功能的計算機才能方便進行。本文中的數(shù)據(jù)分析和計算通過MATLAB語言來完成。MATLAB具有強大的科學(xué)計算和分析功能，具有簡單易學(xué)的編程語言和包羅萬象的工具箱，可以使用其內(nèi)部函數(shù)進行計算，還可以根據(jù)自己的算法進行擴展編程。

下文簡介該工程中利用自助法得到的巖石抗壓強度自助樣本的平均值、置信區(qū)間及假設(shè)檢驗實現(xiàn)統(tǒng)計推斷的方法，來進行對數(shù)據(jù)的分析和討論。

3.1 平均值

將B個自助樣本的均數(shù)進行平均就得到自助樣本均數(shù)，用此代表總體均數(shù)。令s(x*i)為第i個自助樣本的均數(shù)，i=1,2，…，B,則自助樣本均數(shù)：

MATLAB程序文件如下：

% 巖石強度bootstrap法計算：

y=[43.0,35.4,62.9,97.5,115.9,106.0,103.8,139.2,152.4,80.0,136.1,32.3]

ma=bootstrp(10,@mean,y);

mb=bootstrp(100,@mean,y);

mc=bootstrp(1000,@mean,y);

md=bootstrp(10000,@mean,y); % 得到bootstrap法抽樣的均值

Tma=ma′;

Tmb=mb′;

Tmc=mc′;

Tmd=md′;

M0=mean(y)

S0=std(y)

M1=mean(Tma)

S1=std(Tma)

M2=mean(Tmb)

S2=std(Tmb)

M3=mean(Tmc)

S3=std(Tmc)

M4=mean(Tmd)

S4=std(Tmd)

xm=[1 10 100 1000 10000]

ym=[M0 M1 M2 M3 M4]

ys=[S0 S1 S2 S3 S4]

semilogx(xm,ym,′o-′,xm,ys,′x-′)

legend(′均值′,′標準差′)

xlabel(′抽樣次數(shù)′)

ylabel(′參數(shù)估計值′)

grid on

運行以上程序得到圖1。圖1為自助法抽樣次數(shù)與參數(shù)估計值關(guān)系圖。橫坐標為抽樣次數(shù)，橫坐標采用對數(shù)坐標；縱坐標為參數(shù)估計值(巖石單軸抗壓強度)。藍線所示為均值，紅線所示為標準差。從實踐來看，計算抽樣次數(shù)在1000次以上時計算結(jié)果趨于穩(wěn)定。如圖中抽樣1000次計算時，均值為92.2273MPa，標準差為10.9148MPa。依靠MATLAB強大的函數(shù)功能，在實際計算中，計算時間成本很小。

圖1 自助法抽樣次數(shù)與參數(shù)估計值關(guān)系圖

圖2為自助法抽樣10 000次的抗壓強度平均值的頻率直方圖和正態(tài)分布密度曲線。從圖來看，近似正態(tài)分布。

圖2 抗壓強度平均值的頻率直方圖和正態(tài)分布密度曲線

3.2 置信區(qū)間

利用分位數(shù)法計算置信區(qū)間[4-5]。利用有放回的抽樣產(chǎn)生B個自助樣本(1個自助樣本的樣本容量為N，本文中a組數(shù)據(jù)的N=12)，計算每個自助樣本均數(shù)s(x*i),i=1,2,…,B，可得到均數(shù)的抽樣分布，將自助樣本均數(shù)按從小到大排列，從數(shù)據(jù)兩端各截去∝B/2個觀察值(1-α為置信水平，在巖土工程中一般取為95%)，便得到分位數(shù)法置信區(qū)間，即表示為：

3.3 假設(shè)檢驗

假設(shè)兩組數(shù)據(jù)沒有顯著差異，H0：μ1-μ2=0

(2)重復(fù)以上步驟1999次，共獲得2000個W值，按照從小到大排列，得到W2.5%和W97.5%，若區(qū)間(W2.5%，W97.5%)包含0，則接受原假設(shè)，否則拒絕原假設(shè)。

隨后，計算判斷a組數(shù)據(jù)與b組數(shù)據(jù)是否存在顯著性差異。利用此方法計算，編寫MATLAB語句文件計算，抽樣2000次計算得本例子(W2.5%，W97.5%)區(qū)間為 [-4.1344，43.7958] ，包含0，接受原假設(shè)，易知通過a、b兩組數(shù)據(jù)的顯著性差異的比較，結(jié)果顯示不存在顯著差異，表明樣本來自于同一總體。采用上述方法可以很方便地比較原勘數(shù)據(jù)與此次抽樣驗證數(shù)據(jù)的差別。該方法及結(jié)果可提供設(shè)計和施工參考使用。

4 結(jié)語

作為自然、歷史產(chǎn)物的巖土，其成分、結(jié)構(gòu)和構(gòu)造充滿隨機性和不確定性，勘察取樣也是隨機的。因此，只有在隨機數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上展開對巖土參數(shù)的分析統(tǒng)計，獲得代表性的參數(shù)，理解和使用參數(shù)才有意義。

本文根據(jù)規(guī)范方法取得巖石抗壓樣本并進行試驗，分別用規(guī)范提供的方法和提議的自助法對巖石單軸抗壓強度進行參數(shù)估計，對巖樣強度進行均值、置信區(qū)間及假設(shè)檢驗等統(tǒng)計推斷，數(shù)據(jù)是基于嚴格方法取樣和室內(nèi)試驗基礎(chǔ)上的真實數(shù)據(jù)，其結(jié)果可供設(shè)計施工參考使用。對于一個采樣，用規(guī)范方法只能計算出某個統(tǒng)計量但無法知道統(tǒng)計量的分布情況，但是求助于自助法可以模擬出統(tǒng)計量的近似分布。自助算法提供了規(guī)范的方法之外的另一種嘗試，具有無需對總體分布作任何的假設(shè)，具有在高離散性、小樣本時也可以使用的優(yōu)點。