Schwarz不等式在交流電有效值中的應用

陳日繁 陳日輝

(惠州市博羅中學 廣東 惠州 516100)

1 問題提出

【例1】(2014年高考全國Ⅱ卷理綜第21題)如圖1所示，一理想變壓器原、副線圈的匝數(shù)分別為n1,n2.原線圈通過一理想電流表A接正弦交流電源，一個二極管和阻值為R的負載電阻串聯(lián)后接到副線圈的兩端.假設(shè)該二極管的正向電阻為零，反向電阻無窮大.用交流電壓表測得a,b端和c,d端的電壓分別為Uab和Ucd，則( )

A．Uab∶Ucd=n1∶n2

B．增大負載電阻的阻值R，電流表的讀數(shù)變小

C．負載電阻的阻值越小，cd間的電壓Ucd越大

D．將二極管短路，電流表的讀數(shù)加倍

圖1 例1題圖

答案：B,D.

這就引出了一個值得思考的問題：在交流電有效值的命題中，應當如何避免進入類似這樣的誤區(qū)呢？本文嘗試通過對交流電有效值做更為一般的計算，對易錯公式進行分析.

2 有效值的定義

人教版教材對交流電有效值的定義為：讓交流和恒定電流分別通過大小相同的電阻，如果在交流的一個周期內(nèi)它們產(chǎn)生的熱量相等，而這個恒定電流是I、電壓是U，我們就把I，U叫做這個交流電的有效值[3].有效值是根據(jù)電流的熱效應來定義的，經(jīng)過分析，可以寫出交流電有效值定義的積分形式如下

(1)

(2)

式中i和u分別表示交流電的電流瞬時值和電壓瞬時值，T表示周期.式(1)、(2)表明，交流電有效值是電流或電壓對時間的方均根.需要注意的是，這里所指的交流電是一般形式的交流電，而不是特指正弦式交流電，所以下面的討論更具有普遍性.

3 公式適用范圍的一般性討論

交流電一個周期的功率又稱為平均功率或有功功率[4]，其計算方法如下

(3)

電壓有效值和電流有效值的乘積稱為視在功率[4]，用S表示，即

S=UI

(4)

結(jié)合式(1)、(2)可得

(5)

根據(jù)Schwarz不等式得[5]

(6)

晚上，我們到了酒店，登記好客房后，前臺服務(wù)員給了我們兩張早餐券。我與爸爸、媽媽是三個人，只有兩張券，明天早上我吃什么呢？我有些焦急，媽媽說：“沒事，到時我和你老爸一人省一點給你吃就行了?！卑职终f：“不用操這個心，我們吃好后再帶你到外面買吃的?！?/p>

S≥P

(7)

下面對并聯(lián)電路的電流關(guān)系做類似的分析.兩個電路元件并聯(lián)接入交流電源，電流的瞬時值分別為i1和i2，總電流的瞬時值為i，它們之間的關(guān)系如下

i=i1+i2

(8)

結(jié)合有效值的定義式(1)，作以下計算

T[(I1+I2)2-I2]=

(9)

I1+I2≥I

(10)

類似的推導可以知道，兩個電路元件串聯(lián)接入交流電源時，電壓有效值滿足下式

U1+U2≥U

(11)

4 一個例子

圖2 例2題圖

解法三:電路的總功率為P=150 W，副線圈電壓有效值為U=50 V，故電流為3 A.

在考察交流電有效值的題目中，如果出現(xiàn)I=I1+I2,U=U1+U2和P=UI不能使用的情況，高中生由于無法理解其原因，故無法判斷哪個答案才是正確的.在命題的時候，要避免出現(xiàn)此類型的題目，以免造成學生在認識上的混亂.